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Theorem cvlcvr1 32984
Description: The covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 25759 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlcvr1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvlcvr1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvlcvr1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvlcvr1.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
cvlcvr1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvlcvr1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <->  X C
( X  .\/  P
) ) )

Proof of Theorem cvlcvr1
Dummy variables  z 
q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp13 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  K  e.  CvLat )
2 cvllat 32971 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  CvLat  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
4 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  X  e.  B )
5 cvlcvr1.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 cvlcvr1.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 32934 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
873ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  P  e.  B )
9 cvlcvr1.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
11 cvlcvr1.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
125, 9, 10, 11latnle 15255 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  P  e.  B )  ->  ( -.  P  .<_  X  <-> 
X ( lt `  K ) ( X 
.\/  P ) ) )
133, 4, 8, 12syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <->  X ( lt `  K ) ( X  .\/  P ) ) )
1413biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  ->  X ( lt `  K ) ( X 
.\/  P ) ) )
15 simpl13 1065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  CvLat )
1615, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
17 simprll 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  z  e.  B
)
18 simpl2 992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  X  e.  B
)
19 simpl3 993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  P  e.  A
)
2019, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  P  e.  B
)
215, 11latjcl 15221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  P  e.  B )  ->  ( X  .\/  P
)  e.  B )
2216, 18, 20, 21syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  e.  B )
23 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  z  .<_  ( X 
.\/  P ) )
24 simprrl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  X ( lt
`  K ) z )
25 simpl11 1063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  OML )
26 simpl12 1064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  CLat )
27 cvlatl 32970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CvLat  ->  K  e.  AtLat
)
2815, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  AtLat )
295, 9, 10, 6atlrelat1 32966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( X ( lt `  K ) z  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )
3025, 26, 28, 18, 17, 29syl311anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  ( X ( lt `  K ) z  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )
3124, 30mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) )
3216adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  K  e.  Lat )
335, 6atbase 32934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  e.  A  ->  q  e.  B )
3433ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  q  e.  B )
3517adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  z  e.  B )
3622adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  e.  B )
37 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  q  .<_  z )
3823adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  z  .<_  ( X  .\/  P
) )
395, 9, 32, 34, 35, 36, 37, 38lattrd 15228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  q  .<_  ( X  .\/  P
) )
4015adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  K  e.  CvLat )
41 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  q  e.  A )
42 simpll3 1029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  P  e.  A )
43 simpll2 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  X  e.  B )
44 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  -.  q  .<_  X )
455, 9, 11, 6cvlexch1 32973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  (
q  e.  A  /\  P  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  -.  q  .<_  X )  ->  ( q  .<_  ( X  .\/  P )  ->  P  .<_  ( X 
.\/  q ) ) )
4640, 41, 42, 43, 44, 45syl131anc 1231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  (
q  .<_  ( X  .\/  P )  ->  P  .<_  ( X  .\/  q ) ) )
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  P  .<_  ( X  .\/  q
) )
48 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  -.  P  .<_  X )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  -.  P  .<_  X )
505, 9, 11, 6cvlexchb1 32975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( P  e.  A  /\  q  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  -.  P  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  q )  <-> 
( X  .\/  P
)  =  ( X 
.\/  q ) ) )
5140, 42, 41, 43, 49, 50syl131anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  q )  <->  ( X  .\/  P )  =  ( X  .\/  q ) ) )
5247, 51mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  =  ( X  .\/  q
) )
539, 10pltle 15131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( X ( lt
`  K ) z  ->  X  .<_  z ) )
5425, 18, 17, 53syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  ( X ( lt `  K ) z  ->  X  .<_  z ) )
5524, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  X  .<_  z )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  X  .<_  z )
575, 9, 11latjle12 15232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  q  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  z  /\  q  .<_  z )  <->  ( X  .\/  q )  .<_  z ) )
5832, 43, 34, 35, 57syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  (
( X  .<_  z  /\  q  .<_  z )  <->  ( X  .\/  q )  .<_  z ) )
5956, 37, 58mpbi2and 912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( X  .\/  q )  .<_  z )
6052, 59eqbrtrd 4312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  .<_  z )
6131, 60rexlimddv 2845 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  .<_  z )
625, 9, 16, 17, 22, 23, 61latasymd 15227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) )
6362exp44 613 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  (
z  e.  B  -> 
( -.  P  .<_  X  ->  ( ( X ( lt `  K
) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P
) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) ) )
6463imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( -.  P  .<_  X  ->  (
( X ( lt
`  K ) z  /\  z  .<_  ( X 
.\/  P ) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) )
6564ralrimdva 2806 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  ->  A. z  e.  B  ( ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) )
6614, 65jcad 533 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  -> 
( X ( lt
`  K ) ( X  .\/  P )  /\  A. z  e.  B  ( ( X ( lt `  K
) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P
) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) ) )
673, 4, 8, 21syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( X  .\/  P )  e.  B )
68 cvlcvr1.c . . . . 5  |-  C  =  (  <o  `  K )
695, 9, 10, 68cvrval2 32919 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( X  .\/  P )  e.  B )  -> 
( X C ( X  .\/  P )  <-> 
( X ( lt
`  K ) ( X  .\/  P )  /\  A. z  e.  B  ( ( X ( lt `  K
) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P
) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) ) )
703, 4, 67, 69syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( X C ( X  .\/  P )  <->  ( X ( lt `  K ) ( X  .\/  P
)  /\  A. z  e.  B  ( ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) ) )
7166, 70sylibrd 234 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  ->  X C ( X  .\/  P ) ) )
723adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  K  e.  Lat )
73 simpl2 992 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  X  e.  B
)
7467adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  ( X  .\/  P )  e.  B )
75 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  X C ( X  .\/  P ) )
765, 10, 68cvrlt 32915 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( X  .\/  P )  e.  B )  /\  X C ( X  .\/  P ) )  ->  X
( lt `  K
) ( X  .\/  P ) )
7772, 73, 74, 75, 76syl31anc 1221 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  X ( lt
`  K ) ( X  .\/  P ) )
7877ex 434 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( X C ( X  .\/  P )  ->  X ( lt `  K ) ( X  .\/  P ) ) )
7978, 13sylibrd 234 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( X C ( X  .\/  P )  ->  -.  P  .<_  X ) )
8071, 79impbid 191 1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <->  X C
( X  .\/  P
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   lecple 14245   ltcplt 15111   joincjn 15114   Latclat 15215   CLatccla 15277   OMLcoml 32820    <o ccvr 32907   Atomscatm 32908   AtLatcal 32909   CvLatclc 32910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-lat 15216  df-clat 15278  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967
This theorem is referenced by:  cvlcvrp  32985  cvr1  33054
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