Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlcvr1 Structured version   Unicode version

Theorem cvlcvr1 32874
Description: The covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 28006 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlcvr1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvlcvr1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvlcvr1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvlcvr1.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
cvlcvr1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvlcvr1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <->  X C
( X  .\/  P
) ) )

Proof of Theorem cvlcvr1
Dummy variables  z 
q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp13 1037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  K  e.  CvLat )
2 cvllat 32861 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  CvLat  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
4 simp2 1006 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  X  e.  B )
5 cvlcvr1.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 cvlcvr1.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 32824 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
873ad2ant3 1028 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  P  e.  B )
9 cvlcvr1.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
11 cvlcvr1.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
125, 9, 10, 11latnle 16330 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  P  e.  B )  ->  ( -.  P  .<_  X  <-> 
X ( lt `  K ) ( X 
.\/  P ) ) )
133, 4, 8, 12syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <->  X ( lt `  K ) ( X  .\/  P ) ) )
1413biimpd 210 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  ->  X ( lt `  K ) ( X 
.\/  P ) ) )
15 simpl13 1082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  CvLat )
1615, 2syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
17 simprll 770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  z  e.  B
)
18 simpl2 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  X  e.  B
)
19 simpl3 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  P  e.  A
)
2019, 7syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  P  e.  B
)
215, 11latjcl 16296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  P  e.  B )  ->  ( X  .\/  P
)  e.  B )
2216, 18, 20, 21syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  e.  B )
23 simprrr 773 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  z  .<_  ( X 
.\/  P ) )
24 simprrl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  X ( lt
`  K ) z )
25 simpl11 1080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  OML )
26 simpl12 1081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  CLat )
27 cvlatl 32860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CvLat  ->  K  e.  AtLat
)
2815, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  K  e.  AtLat )
295, 9, 10, 6atlrelat1 32856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( X ( lt `  K ) z  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )
3025, 26, 28, 18, 17, 29syl311anc 1278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  ( X ( lt `  K ) z  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )
3124, 30mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) )
3216adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  K  e.  Lat )
335, 6atbase 32824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  e.  A  ->  q  e.  B )
3433ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  q  e.  B )
3517adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  z  e.  B )
3622adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  e.  B )
37 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  q  .<_  z )
3823adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  z  .<_  ( X  .\/  P
) )
395, 9, 32, 34, 35, 36, 37, 38lattrd 16303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  q  .<_  ( X  .\/  P
) )
4015adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  K  e.  CvLat )
41 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  q  e.  A )
42 simpll3 1046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  P  e.  A )
43 simpll2 1045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  X  e.  B )
44 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  -.  q  .<_  X )
455, 9, 11, 6cvlexch1 32863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  (
q  e.  A  /\  P  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  -.  q  .<_  X )  ->  ( q  .<_  ( X  .\/  P )  ->  P  .<_  ( X 
.\/  q ) ) )
4640, 41, 42, 43, 44, 45syl131anc 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  (
q  .<_  ( X  .\/  P )  ->  P  .<_  ( X  .\/  q ) ) )
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  P  .<_  ( X  .\/  q
) )
48 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  -.  P  .<_  X )
4948adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  -.  P  .<_  X )
505, 9, 11, 6cvlexchb1 32865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( P  e.  A  /\  q  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  -.  P  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  q )  <-> 
( X  .\/  P
)  =  ( X 
.\/  q ) ) )
5140, 42, 41, 43, 49, 50syl131anc 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  q )  <->  ( X  .\/  P )  =  ( X  .\/  q ) ) )
5247, 51mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  =  ( X  .\/  q
) )
539, 10pltle 16206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( X ( lt
`  K ) z  ->  X  .<_  z ) )
5425, 18, 17, 53syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  ( X ( lt `  K ) z  ->  X  .<_  z ) )
5524, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  X  .<_  z )
5655adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  X  .<_  z )
575, 9, 11latjle12 16307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  q  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  z  /\  q  .<_  z )  <->  ( X  .\/  q )  .<_  z ) )
5832, 43, 34, 35, 57syl13anc 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  (
( X  .<_  z  /\  q  .<_  z )  <->  ( X  .\/  q )  .<_  z ) )
5956, 37, 58mpbi2and 929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( X  .\/  q )  .<_  z )
6052, 59eqbrtrd 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat
)  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  /\  ( q  e.  A  /\  ( -.  q  .<_  X  /\  q  .<_  z ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  .<_  z )
6131, 60rexlimddv 2918 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  ( X  .\/  P )  .<_  z )
625, 9, 16, 17, 22, 23, 61latasymd 16302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  ( ( z  e.  B  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) ) ) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) )
6362exp44 616 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  (
z  e.  B  -> 
( -.  P  .<_  X  ->  ( ( X ( lt `  K
) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P
) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) ) )
6463imp 430 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( -.  P  .<_  X  ->  (
( X ( lt
`  K ) z  /\  z  .<_  ( X 
.\/  P ) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) )
6564ralrimdva 2840 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  ->  A. z  e.  B  ( ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) )
6614, 65jcad 535 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  -> 
( X ( lt
`  K ) ( X  .\/  P )  /\  A. z  e.  B  ( ( X ( lt `  K
) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P
) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) ) )
673, 4, 8, 21syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( X  .\/  P )  e.  B )
68 cvlcvr1.c . . . . 5  |-  C  =  (  <o  `  K )
695, 9, 10, 68cvrval2 32809 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( X  .\/  P )  e.  B )  -> 
( X C ( X  .\/  P )  <-> 
( X ( lt
`  K ) ( X  .\/  P )  /\  A. z  e.  B  ( ( X ( lt `  K
) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P
) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) ) )
703, 4, 67, 69syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( X C ( X  .\/  P )  <->  ( X ( lt `  K ) ( X  .\/  P
)  /\  A. z  e.  B  ( ( X ( lt `  K ) z  /\  z  .<_  ( X  .\/  P ) )  ->  z  =  ( X  .\/  P ) ) ) ) )
7166, 70sylibrd 237 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  ->  X C ( X  .\/  P ) ) )
723adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  K  e.  Lat )
73 simpl2 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  X  e.  B
)
7467adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  ( X  .\/  P )  e.  B )
75 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  X C ( X  .\/  P ) )
765, 10, 68cvrlt 32805 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( X  .\/  P )  e.  B )  /\  X C ( X  .\/  P ) )  ->  X
( lt `  K
) ( X  .\/  P ) )
7772, 73, 74, 75, 76syl31anc 1267 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  /\  X C ( X 
.\/  P ) )  ->  X ( lt
`  K ) ( X  .\/  P ) )
7877ex 435 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( X C ( X  .\/  P )  ->  X ( lt `  K ) ( X  .\/  P ) ) )
7978, 13sylibrd 237 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( X C ( X  .\/  P )  ->  -.  P  .<_  X ) )
8071, 79impbid 193 1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  X  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P  .<_  X  <->  X C
( X  .\/  P
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15120   lecple 15196   ltcplt 16185   joincjn 16188   Latclat 16290   CLatccla 16352   OMLcoml 32710    <o ccvr 32797   Atomscatm 32798   AtLatcal 32799   CvLatclc 32800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-preset 16172  df-poset 16190  df-plt 16203  df-lub 16219  df-glb 16220  df-join 16221  df-meet 16222  df-p0 16284  df-lat 16291  df-clat 16353  df-oposet 32711  df-ol 32713  df-oml 32714  df-covers 32801  df-ats 32802  df-atl 32833  df-cvlat 32857
This theorem is referenced by:  cvlcvrp  32875  cvr1  32944
  Copyright terms: Public domain W3C validator