Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlatcvr2 Structured version   Unicode version

Theorem cvlatcvr2 33269
Description: An atom is covered by its join with a different atom. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlatcvr1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvlatcvr1.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
cvlatcvr1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvlatcvr2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  =/=  Q  <->  P C
( Q  .\/  P
) ) )

Proof of Theorem cvlatcvr2
StepHypRef Expression
1 cvlatcvr1.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
2 cvlatcvr1.c . . 3  |-  C  =  (  <o  `  K )
3 cvlatcvr1.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 3cvlatcvr1 33268 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  =/=  Q  <->  P C
( P  .\/  Q
) ) )
5 simp13 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  CvLat )
6 cvllat 33253 . . . . 5  |-  ( K  e.  CvLat  ->  K  e.  Lat )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
8 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
98, 3atbase 33216 . . . . 5  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
1093ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
118, 3atbase 33216 . . . . 5  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
12113ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
138, 1latjcom 15317 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  P
) )
147, 10, 12, 13syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  P
) )
1514breq2d 4388 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P C ( P  .\/  Q )  <->  P C ( Q 
.\/  P ) ) )
164, 15bitrd 253 1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  CvLat )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  =/=  Q  <->  P C
( Q  .\/  P
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757    =/= wne 2641   class class class wbr 4376   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Basecbs 14262   joincjn 15202   Latclat 15303   CLatccla 15365   OMLcoml 33102    <o ccvr 33189   Atomscatm 33190   CvLatclc 33192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-poset 15204  df-plt 15216  df-lub 15232  df-glb 15233  df-join 15234  df-meet 15235  df-p0 15297  df-lat 15304  df-clat 15366  df-oposet 33103  df-ol 33105  df-oml 33106  df-covers 33193  df-ats 33194  df-atl 33225  df-cvlat 33249
This theorem is referenced by:  atcvr2  33344
  Copyright terms: Public domain W3C validator