Theorem cvgratlem2ALT 8510

Description: Lemma for cvgrati 8517. Using expsub 7841, restate cvgratlem1ALT 8509 with an absolute index C instead of just an offset from the starting index B.

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratlem1ALT.1	|- F:NN-->RR
cvgratlem1ALT.2	|- A e. RR
cvgratlem1ALT.3	|- B e. NN
cvgratlem1ALT.4	|- C e. NN

Assertion

Ref	Expression
cvgratlem2ALT	|- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (B < C -> (F` C) <_ (((F` B) / (A^B)) x. (A^C))))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F

Proof of Theorem cvgratlem2ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratlem1ALT.3	. . . . . 6 |- B e. NN
2		cvgratlem1ALT.4	. . . . . 6 |- C e. NN
3	1, 2	nnsubi 7140	. . . . 5 |- (B < C <-> (C - B) e. NN)
4		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- ((C - B) = if((C - B) e. NN, (C - B), 1) -> (B + (C - B)) = (B + if((C - B) e. NN, (C - B), 1)))
5	4	fveq2d 4685	. . . . . . . . 9 |- ((C - B) = if((C - B) e. NN, (C - B), 1) -> (F` (B + (C - B))) = (F` (B + if((C - B) e. NN, (C - B), 1))))
6		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- ((C - B) = if((C - B) e. NN, (C - B), 1) -> (A^(C - B)) = (A^if((C - B) e. NN, (C - B), 1)))
7	6	opreq1d 4897	. . . . . . . . 9 |- ((C - B) = if((C - B) e. NN, (C - B), 1) -> ((A^(C - B)) x. (F` B)) = ((A^if((C - B) e. NN, (C - B), 1)) x. (F` B)))
8	5, 7	breq12d 3351	. . . . . . . 8 |- ((C - B) = if((C - B) e. NN, (C - B), 1) -> ((F` (B + (C - B))) <_ ((A^(C - B)) x. (F` B)) <-> (F` (B + if((C - B) e. NN, (C - B), 1))) <_ ((A^if((C - B) e. NN, (C - B), 1)) x. (F` B))))
9	8	imbi2d 674	. . . . . . 7 |- ((C - B) = if((C - B) e. NN, (C - B), 1) -> (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + (C - B))) <_ ((A^(C - B)) x. (F` B))) <-> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + if((C - B) e. NN, (C - B), 1))) <_ ((A^if((C - B) e. NN, (C - B), 1)) x. (F` B)))))
10		cvgratlem1ALT.1	. . . . . . . 8 |- F:NN-->RR
11		cvgratlem1ALT.2	. . . . . . . 8 |- A e. RR
12		1nn 7117	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
13	12	elimel 3025	. . . . . . . 8 |- if((C - B) e. NN, (C - B), 1) e. NN
14	10, 11, 1, 13	cvgratlem1ALT 8509	. . . . . . 7 |- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + if((C - B) e. NN, (C - B), 1))) <_ ((A^if((C - B) e. NN, (C - B), 1)) x. (F` B)))
15	9, 14	dedth 3011	. . . . . 6 |- ((C - B) e. NN -> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + (C - B))) <_ ((A^(C - B)) x. (F` B))))
16	1	nncni 7115	. . . . . . . . 9 |- B e. CC
17	2	nncni 7115	. . . . . . . . 9 |- C e. CC
18	16, 17	pncan3i 6535	. . . . . . . 8 |- (B + (C - B)) = C
19	18	fveq2i 4684	. . . . . . 7 |- (F` (B + (C - B))) = (F` C)
20	19	breq1i 3345	. . . . . 6 |- ((F` (B + (C - B))) <_ ((A^(C - B)) x. (F` B)) <-> (F` C) <_ ((A^(C - B)) x. (F` B)))
21	15, 20	syl6ib 229	. . . . 5 |- ((C - B) e. NN -> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` C) <_ ((A^(C - B)) x. (F` B))))
22	3, 21	sylbi 216	. . . 4 |- (B < C -> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` C) <_ ((A^(C - B)) x. (F` B))))
23	22	impcom 378	. . 3 |- (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) /\ B < C) -> (F` C) <_ ((A^(C - B)) x. (F` B)))
24	11	recni 6467	. . . . . . . . 9 |- A e. CC
25	24, 2, 1	3pm3.2i 1048	. . . . . . . 8 |- (A e. CC /\ C e. NN /\ B e. NN)
26		simpr 350	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. CC /\ C e. NN /\ B e. NN) /\ A =/= 0) -> A =/= 0)
27	26, 24	jctil 316	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ C e. NN /\ B e. NN) /\ A =/= 0) -> (A e. CC /\ A =/= 0))
28		nnnn0 7315	. . . . . . . . . . . . 13 |- (C e. NN -> C e. NN0)
29	28	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ C e. NN /\ B e. NN) -> C e. NN0)
30	29	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ C e. NN /\ B e. NN) /\ A =/= 0) -> C e. NN0)
31		nnnn0 7315	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. NN -> B e. NN0)
32	31	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ C e. NN /\ B e. NN) -> B e. NN0)
33	32	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ C e. NN /\ B e. NN) /\ A =/= 0) -> B e. NN0)
34	27, 30, 33	3jca 1050	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CC /\ C e. NN /\ B e. NN) /\ A =/= 0) -> ((A e. CC /\ A =/= 0) /\ C e. NN0 /\ B e. NN0))
35	34	adantrr 431	. . . . . . . . 9 |- (((A e. CC /\ C e. NN /\ B e. NN) /\ (A =/= 0 /\ B < C)) -> ((A e. CC /\ A =/= 0) /\ C e. NN0 /\ B e. NN0))
36		ltle 6690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (B < C -> B <_ C))
37		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. NN -> B e. RR)
38		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (C e. NN -> C e. RR)
39	36, 37, 38	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. NN /\ C e. NN) -> (B < C -> B <_ C))
40	39	ancoms 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. NN /\ B e. NN) -> (B < C -> B <_ C))
41	40	imp 377	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. NN /\ B e. NN) /\ B < C) -> B <_ C)
42	41	3adantl1 1032	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CC /\ C e. NN /\ B e. NN) /\ B < C) -> B <_ C)
43	42	adantrl 430	. . . . . . . . 9 |- (((A e. CC /\ C e. NN /\ B e. NN) /\ (A =/= 0 /\ B < C)) -> B <_ C)
44		expsub 7841	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ C e. NN0 /\ B e. NN0) /\ B <_ C) -> (A^(C - B)) = ((A^C) / (A^B)))
45	35, 43, 44	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (((A e. CC /\ C e. NN /\ B e. NN) /\ (A =/= 0 /\ B < C)) -> (A^(C - B)) = ((A^C) / (A^B)))
46	25, 45	mpan 759	. . . . . . 7 |- ((A =/= 0 /\ B < C) -> (A^(C - B)) = ((A^C) / (A^B)))
47	11	gt0ne0i 6791	. . . . . . 7 |- (0 < A -> A =/= 0)
48	46, 47	sylan 497	. . . . . 6 |- ((0 < A /\ B < C) -> (A^(C - B)) = ((A^C) / (A^B)))
49	48	opreq1d 4897	. . . . 5 |- ((0 < A /\ B < C) -> ((A^(C - B)) x. (F` B)) = (((A^C) / (A^B)) x. (F` B)))
50	10	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . 10 |- (B e. NN -> (F` B) e. RR)
51	1, 50	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (F` B) e. RR
52	51	recni 6467	. . . . . . . 8 |- (F` B) e. CC
53		expcl 7824	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ C e. NN0) -> (A^C) e. CC)
54	53, 28	sylan2 500	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ C e. NN) -> (A^C) e. CC)
55	24, 2, 54	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- (A^C) e. CC
56		div13 6926	. . . . . . . 8 |- (((F` B) e. CC /\ ((A^B) e. CC /\ (A^B) =/= 0) /\ (A^C) e. CC) -> (((F` B) / (A^B)) x. (A^C)) = (((A^C) / (A^B)) x. (F` B)))
57	52, 55, 56	mp3an13 1182	. . . . . . 7 |- (((A^B) e. CC /\ (A^B) =/= 0) -> (((F` B) / (A^B)) x. (A^C)) = (((A^C) / (A^B)) x. (F` B)))
58		reexpcl 7823	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ B e. NN0) -> (A^B) e. RR)
59	58, 31	sylan2 500	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> (A^B) e. RR)
60	11, 1, 59	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- (A^B) e. RR
61	60	recni 6467	. . . . . . 7 |- (A^B) e. CC
62		expgt0 7831	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ B e. NN0 /\ 0 < A) -> 0 < (A^B))
63	62, 31	syl3an2 1131	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ 0 < A) -> 0 < (A^B))
64	11, 1, 63	mp3an12 1181	. . . . . . . 8 |- (0 < A -> 0 < (A^B))
65	60	gt0ne0i 6791	. . . . . . . 8 |- (0 < (A^B) -> (A^B) =/= 0)
66	64, 65	syl 12	. . . . . . 7 |- (0 < A -> (A^B) =/= 0)
67	57, 61, 66	sylancr 526	. . . . . 6 |- (0 < A -> (((F` B) / (A^B)) x. (A^C)) = (((A^C) / (A^B)) x. (F` B)))
68	67	adantr 425	. . . . 5 |- ((0 < A /\ B < C) -> (((F` B) / (A^B)) x. (A^C)) = (((A^C) / (A^B)) x. (F` B)))
69	49, 68	eqtr4d 1928	. . . 4 |- ((0 < A /\ B < C) -> ((A^(C - B)) x. (F` B)) = (((F` B) / (A^B)) x. (A^C)))
70	69	adantlr 429	. . 3 |- (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) /\ B < C) -> ((A^(C - B)) x. (F` B)) = (((F` B) / (A^B)) x. (A^C)))
71	23, 70	breqtrd 3361	. 2 |- (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) /\ B < C) -> (F` C) <_ (((F` B) / (A^B)) x. (A^C)))
72	71	ex 402	1 |- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (B < C -> (F` C) <_ (((F` B) / (A^B)) x. (A^C))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  ifcif 2982   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450   < clt 6653  ^cexp 7811

This theorem is referenced by:  cvgratlem3ALT 8511

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain