Theorem cvgratlem1ALT 8509

Description: Lemma for cvgrati 8517. Establish, by induction, an exponential upper bound for the terms of a real series, given that the ratio of successive terms is less than some positive constant A beyond a starting index B.

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratlem1ALT.1	|- F:NN-->RR
cvgratlem1ALT.2	|- A e. RR
cvgratlem1ALT.3	|- B e. NN
cvgratlem1ALT.4	|- C e. NN

Assertion

Ref	Expression
cvgratlem1ALT	|- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + C)) <_ ((A^C) x. (F` B)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F

Proof of Theorem cvgratlem1ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratlem1ALT.4	. . 3 |- C e. NN
2		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (y = 1 -> (B + y) = (B + 1))
3	2	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (y = 1 -> (F` (B + y)) = (F` (B + 1)))
4		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (y = 1 -> (A^y) = (A^1))
5	4	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (y = 1 -> ((A^y) x. (F` B)) = ((A^1) x. (F` B)))
6	3, 5	breq12d 3351	. . . . 5 |- (y = 1 -> ((F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B)) <-> (F` (B + 1)) < ((A^1) x. (F` B))))
7	6	imbi2d 674	. . . 4 |- (y = 1 -> (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B))) <-> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + 1)) < ((A^1) x. (F` B)))))
8		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (y = z -> (B + y) = (B + z))
9	8	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (y = z -> (F` (B + y)) = (F` (B + z)))
10		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (y = z -> (A^y) = (A^z))
11	10	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (y = z -> ((A^y) x. (F` B)) = ((A^z) x. (F` B)))
12	9, 11	breq12d 3351	. . . . 5 |- (y = z -> ((F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B)) <-> (F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B))))
13	12	imbi2d 674	. . . 4 |- (y = z -> (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B))) <-> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)))))
14		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (y = (z + 1) -> (B + y) = (B + (z + 1)))
15	14	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (y = (z + 1) -> (F` (B + y)) = (F` (B + (z + 1))))
16		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (y = (z + 1) -> (A^y) = (A^(z + 1)))
17	16	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (y = (z + 1) -> ((A^y) x. (F` B)) = ((A^(z + 1)) x. (F` B)))
18	15, 17	breq12d 3351	. . . . 5 |- (y = (z + 1) -> ((F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B)) <-> (F` (B + (z + 1))) < ((A^(z + 1)) x. (F` B))))
19	18	imbi2d 674	. . . 4 |- (y = (z + 1) -> (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B))) <-> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + (z + 1))) < ((A^(z + 1)) x. (F` B)))))
20		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (y = C -> (B + y) = (B + C))
21	20	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (y = C -> (F` (B + y)) = (F` (B + C)))
22		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (y = C -> (A^y) = (A^C))
23	22	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (y = C -> ((A^y) x. (F` B)) = ((A^C) x. (F` B)))
24	21, 23	breq12d 3351	. . . . 5 |- (y = C -> ((F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B)) <-> (F` (B + C)) < ((A^C) x. (F` B))))
25	24	imbi2d 674	. . . 4 |- (y = C -> (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + y)) < ((A^y) x. (F` B))) <-> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + C)) < ((A^C) x. (F` B)))))
26		cvgratlem1ALT.3	. . . . . . . . 9 |- B e. NN
27	26	nnrei 7114	. . . . . . . 8 |- B e. RR
28	27	leidi 6790	. . . . . . 7 |- B <_ B
29		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (x = B -> (B <_ x <-> B <_ B))
30		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = B -> (x + 1) = (B + 1))
31	30	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- (x = B -> (F` (x + 1)) = (F` (B + 1)))
32		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = B -> (F` x) = (F` B))
33	32	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . 11 |- (x = B -> (A x. (F` x)) = (A x. (F` B)))
34	31, 33	breq12d 3351	. . . . . . . . . 10 |- (x = B -> ((F` (x + 1)) < (A x. (F` x)) <-> (F` (B + 1)) < (A x. (F` B))))
35	29, 34	imbi12d 688	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> ((B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) <-> (B <_ B -> (F` (B + 1)) < (A x. (F` B)))))
36	35	rcla4v 2376	. . . . . . . 8 |- (B e. NN -> (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (B <_ B -> (F` (B + 1)) < (A x. (F` B)))))
37	26, 36	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (B <_ B -> (F` (B + 1)) < (A x. (F` B))))
38	28, 37	mpi 55	. . . . . 6 |- (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (F` (B + 1)) < (A x. (F` B)))
39		cvgratlem1ALT.2	. . . . . . . . 9 |- A e. RR
40	39	recni 6467	. . . . . . . 8 |- A e. CC
41		exp1 7816	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (A^1) = A)
42	40, 41	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (A^1) = A
43	42	opreq1i 4892	. . . . . 6 |- ((A^1) x. (F` B)) = (A x. (F` B))
44	38, 43	syl6breqr 3377	. . . . 5 |- (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (F` (B + 1)) < ((A^1) x. (F` B)))
45	44	adantl 424	. . . 4 |- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + 1)) < ((A^1) x. (F` B)))
46		nnaddcl 7123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B e. NN /\ z e. NN) -> (B + z) e. NN)
47	26, 46	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. NN -> (B + z) e. NN)
48		peano2nn 7118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B + z) e. NN -> ((B + z) + 1) e. NN)
49	47, 48	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> ((B + z) + 1) e. NN)
50		cvgratlem1ALT.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F:NN-->RR
51	50	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B + z) + 1) e. NN -> (F` ((B + z) + 1)) e. RR)
52	49, 51	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (F` ((B + z) + 1)) e. RR)
53		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ (F` (B + z)) e. RR) -> (A x. (F` (B + z))) e. RR)
54	50	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B + z) e. NN -> (F` (B + z)) e. RR)
55	47, 54	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> (F` (B + z)) e. RR)
56	53, 39, 55	sylancr 526	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (A x. (F` (B + z))) e. RR)
57		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ ((A^z) x. (F` B)) e. RR) -> (A x. ((A^z) x. (F` B))) e. RR)
58		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A^z) e. RR /\ (F` B) e. RR) -> ((A^z) x. (F` B)) e. RR)
59		reexpcl 7823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. RR /\ z e. NN0) -> (A^z) e. RR)
60		nnnn0 7315	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. NN -> z e. NN0)
61	59, 39, 60	sylancr 526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. NN -> (A^z) e. RR)
62	50	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B e. NN -> (F` B) e. RR)
63	26, 62	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F` B) e. RR
64	58, 61, 63	sylancl 525	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> ((A^z) x. (F` B)) e. RR)
65	57, 39, 64	sylancr 526	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (A x. ((A^z) x. (F` B))) e. RR)
66		axlttrn 6673	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F` ((B + z) + 1)) e. RR /\ (A x. (F` (B + z))) e. RR /\ (A x. ((A^z) x. (F` B))) e. RR) -> (((F` ((B + z) + 1)) < (A x. (F` (B + z))) /\ (A x. (F` (B + z))) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))
67	52, 56, 65, 66	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> (((F` ((B + z) + 1)) < (A x. (F` (B + z))) /\ (A x. (F` (B + z))) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))
68		nn0addge1 7339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. RR /\ z e. NN0) -> B <_ (B + z))
69	68, 27, 60	sylancr 526	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> B <_ (B + z))
70		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = (B + z) -> (B <_ x <-> B <_ (B + z)))
71		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = (B + z) -> (x + 1) = ((B + z) + 1))
72	71	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = (B + z) -> (F` (x + 1)) = (F` ((B + z) + 1)))
73		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = (B + z) -> (F` x) = (F` (B + z)))
74	73	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = (B + z) -> (A x. (F` x)) = (A x. (F` (B + z))))
75	72, 74	breq12d 3351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = (B + z) -> ((F` (x + 1)) < (A x. (F` x)) <-> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. (F` (B + z)))))
76	70, 75	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = (B + z) -> ((B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) <-> (B <_ (B + z) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. (F` (B + z))))))
77	76	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B + z) e. NN -> (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (B <_ (B + z) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. (F` (B + z))))))
78	47, 77	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (B <_ (B + z) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. (F` (B + z))))))
79	69, 78	mpid 58	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. (F` (B + z)))))
80	39	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> A e. RR)
81		ltmul2OLD 7010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((F` (B + z)) e. RR /\ ((A^z) x. (F` B)) e. RR /\ A e. RR) /\ 0 < A) -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) <-> (A x. (F` (B + z))) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))
82	81	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((F` (B + z)) e. RR /\ ((A^z) x. (F` B)) e. RR /\ A e. RR) /\ 0 < A) -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (A x. (F` (B + z))) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))
83	82	ex 402	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` (B + z)) e. RR /\ ((A^z) x. (F` B)) e. RR /\ A e. RR) -> (0 < A -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (A x. (F` (B + z))) < (A x. ((A^z) x. (F` B))))))
84	55, 64, 80, 83	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (0 < A -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (A x. (F` (B + z))) < (A x. ((A^z) x. (F` B))))))
85	84	imp3a 388	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> ((0 < A /\ (F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B))) -> (A x. (F` (B + z))) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))
86	67, 79, 85	syl2and 508	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> ((A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) /\ (0 < A /\ (F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)))) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))
87	86	exp4d 412	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> (0 < A -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))))
88	87	com23 36	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> (0 < A -> (A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))) -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))))
89	88	imp32 390	. . . . . . 7 |- ((z e. NN /\ (0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))))) -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B)))))
90		nncn 7113	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> z e. CC)
91	26	nncni 7115	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. CC
92		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
93		addass 6460	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. CC /\ z e. CC /\ 1 e. CC) -> ((B + z) + 1) = (B + (z + 1)))
94	91, 92, 93	mp3an13 1182	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. CC -> ((B + z) + 1) = (B + (z + 1)))
95	90, 94	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> ((B + z) + 1) = (B + (z + 1)))
96	95	fveq2d 4685	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> (F` ((B + z) + 1)) = (F` (B + (z + 1))))
97		expp1 7817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ z e. NN0) -> (A^(z + 1)) = ((A^z) x. A))
98	97, 40, 60	sylancr 526	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (A^(z + 1)) = ((A^z) x. A))
99		mulcom 6459	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A^z) e. CC /\ A e. CC) -> ((A^z) x. A) = (A x. (A^z)))
100		expcl 7824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CC /\ z e. NN0) -> (A^z) e. CC)
101	100, 40, 60	sylancr 526	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> (A^z) e. CC)
102	99, 101, 40	sylancl 525	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> ((A^z) x. A) = (A x. (A^z)))
103	98, 102	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> (A^(z + 1)) = (A x. (A^z)))
104	103	opreq1d 4897	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> ((A^(z + 1)) x. (F` B)) = ((A x. (A^z)) x. (F` B)))
105	63	recni 6467	. . . . . . . . . . . 12 |- (F` B) e. CC
106		mulass 6461	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ (A^z) e. CC /\ (F` B) e. CC) -> ((A x. (A^z)) x. (F` B)) = (A x. ((A^z) x. (F` B))))
107	40, 105, 106	mp3an13 1182	. . . . . . . . . . 11 |- ((A^z) e. CC -> ((A x. (A^z)) x. (F` B)) = (A x. ((A^z) x. (F` B))))
108	101, 107	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> ((A x. (A^z)) x. (F` B)) = (A x. ((A^z) x. (F` B))))
109	104, 108	eqtr2d 1926	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> (A x. ((A^z) x. (F` B))) = ((A^(z + 1)) x. (F` B)))
110	96, 109	breq12d 3351	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> ((F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B))) <-> (F` (B + (z + 1))) < ((A^(z + 1)) x. (F` B))))
111	110	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((z e. NN /\ (0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))))) -> ((F` ((B + z) + 1)) < (A x. ((A^z) x. (F` B))) <-> (F` (B + (z + 1))) < ((A^(z + 1)) x. (F` B))))
112	89, 111	sylibd 219	. . . . . 6 |- ((z e. NN /\ (0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x))))) -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (F` (B + (z + 1))) < ((A^(z + 1)) x. (F` B))))
113	112	ex 402	. . . . 5 |- (z e. NN -> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> ((F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B)) -> (F` (B + (z + 1))) < ((A^(z + 1)) x. (F` B)))))
114	113	a2d 16	. . . 4 |- (z e. NN -> (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + z)) < ((A^z) x. (F` B))) -> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + (z + 1))) < ((A^(z + 1)) x. (F` B)))))
115	7, 13, 19, 25, 45, 114	nnind 7120	. . 3 |- (C e. NN -> ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + C)) < ((A^C) x. (F` B))))
116	1, 115	ax-mp 7	. 2 |- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + C)) < ((A^C) x. (F` B)))
117		nnaddcl 7123	. . . . 5 |- ((B e. NN /\ C e. NN) -> (B + C) e. NN)
118	26, 1, 117	mp2an 761	. . . 4 |- (B + C) e. NN
119	50	ffvelrni 4788	. . . 4 |- ((B + C) e. NN -> (F` (B + C)) e. RR)
120	118, 119	ax-mp 7	. . 3 |- (F` (B + C)) e. RR
121		reexpcl 7823	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ C e. NN0) -> (A^C) e. RR)
122		nnnn0 7315	. . . . . 6 |- (C e. NN -> C e. NN0)
123	121, 122	sylan2 500	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ C e. NN) -> (A^C) e. RR)
124	39, 1, 123	mp2an 761	. . . 4 |- (A^C) e. RR
125	124, 63	remulcli 6488	. . 3 |- ((A^C) x. (F` B)) e. RR
126	120, 125	ltlei 6755	. 2 |- ((F` (B + C)) < ((A^C) x. (F` B)) -> (F` (B + C)) <_ ((A^C) x. (F` B)))
127	116, 126	syl 12	1 |- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (F` (x + 1)) < (A x. (F` x)))) -> (F` (B + C)) <_ ((A^C) x. (F` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450   < clt 6653  ^cexp 7811

This theorem is referenced by:  cvgratlem2ALT 8510

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain