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Theorem cvgrat 13932
Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio  A of the absolute values of successive terms in an infinite sequence  F is less than 1 for all terms beyond some index  B, then the infinite sum of the terms of 
F converges to a complex number. Equivalent to first part of Exercise 4 of [Gleason] p. 182. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgrat.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgrat.2  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
cvgrat.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cvgrat.4  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
cvgrat.5  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgrat.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
cvgrat.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvgrat  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    k, N    ph, k    k, W   
k, Z

Proof of Theorem cvgrat
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgrat.2 . . 3  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
2 cvgrat.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
3 cvgrat.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
42, 3syl6eleq 2521 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 eluzelz 11170 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
7 uzid 11175 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
86, 7syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
98, 1syl6eleqr 2522 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  W )
10 oveq1 6310 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n  -  N )  =  ( k  -  N ) )
1110oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
12 eqid 2423 . . . . . 6  |-  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )
13 ovex 6331 . . . . . 6  |-  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5962 . . . . 5  |-  ( k  e.  W  ->  (
( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
k  -  N ) ) )
1514adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
k  -  N ) ) )
16 0re 9645 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
17 cvgrat.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
18 ifcl 3952 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR )
1916, 17, 18sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR )
2019adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  e.  RR )
21 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  W )
2221, 1syl6eleq 2521 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
23 uznn0sub 11192 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( k  -  N )  e.  NN0 )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
k  -  N )  e.  NN0 )
2520, 24reexpcld 12434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  e.  RR )
2615, 25eqeltrd 2511 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) ) `  k )  e.  RR )
27 uzss 11181 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
284, 27syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
2928, 1, 33sstr4g 3506 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
3029sselda 3465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  Z )
31 cvgrat.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3230, 31syldan 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3323adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  -  N )  e.  NN0 )
34 oveq2 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  -  N )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
35 eqid 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )
3634, 35, 13fvmpt 5962 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  -  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  ( k  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
3733, 36syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  ( k  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
386zcnd 11043 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
39 eluzelz 11170 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  k  e.  ZZ )
4039zcnd 11043 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  k  e.  CC )
41 nn0ex 10877 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  e.  _V
4241mptex 6149 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  e.  _V
4342shftval 13131 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  shift  N ) `  k )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) `  (
k  -  N ) ) )
4438, 40, 43syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) )  shift  N ) `
 k )  =  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) `
 ( k  -  N ) ) )
45 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4645, 1syl6eleqr 2522 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  W )
4746, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
n  e.  W  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
n  -  N ) ) ) `  k
)  =  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )
4837, 44, 473eqtr4rd 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
n  e.  W  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
n  -  N ) ) ) `  k
)  =  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) )  shift  N ) `
 k ) )
496, 48seqfeq 12239 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) )  =  seq N
(  +  ,  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) )  shift  N ) ) )
5042seqshft 13142 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq N (  +  ,  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  shift  N )
)  =  (  seq ( N  -  N
) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N ) )
516, 6, 50syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  shift  N )
)  =  (  seq ( N  -  N
) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N ) )
5238subidd 9976 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  N
)  =  0 )
5352seqeq1d 12220 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq ( N  -  N ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) )  =  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) ) )
5453oveq1d 6318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq ( N  -  N ) (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  =  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N ) )
5549, 51, 543eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) )  =  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N ) )
5619recnd 9671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  CC )
57 max2 11484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
5817, 16, 57sylancl 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
5919, 58absidd 13478 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )  =  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) )
60 0lt1 10138 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
61 cvgrat.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
62 breq1 4424 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  -> 
( 0  <  1  <->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  <  1 ) )
63 breq1 4424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  -> 
( A  <  1  <->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  <  1 ) )
6462, 63ifboth 3946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <  1  /\  A  <  1 )  ->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  <  1 )
6560, 61, 64sylancr 668 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  <  1
)
6659, 65eqbrtrd 4442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )  <  1 )
67 oveq2 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ k ) )
68 ovex 6331 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ k )  e.  _V
6967, 35, 68fvmpt 5962 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ k ) )
7069adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ k ) )
7156, 66, 70geolim 13919 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  / 
( 1  -  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) ) )
72 seqex 12216 . . . . . . 7  |-  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  e.  _V
73 climshft 13633 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  e. 
_V )  ->  (
(  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )  <->  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ) ) ) )
746, 72, 73sylancl 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )  <->  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ) ) ) )
7571, 74mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) ) )
76 ovex 6331 . . . . . 6  |-  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N )  e.  _V
77 ovex 6331 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( 1  -  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ) )  e.  _V
7876, 77breldm 5056 . . . . 5  |-  ( (  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )  ->  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N )  e.  dom  ~~>  )
7975, 78syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  e.  dom  ~~>  )
8055, 79eqeltrd 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
8131ralrimiva 2840 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC )
82 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  ( F `  k )  =  ( F `  N ) )
8382eleq1d 2492 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  N )  e.  CC ) )
8483rspcv 3179 . . . . 5  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( F `  N )  e.  CC ) )
852, 81, 84sylc 63 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  CC )
8685abscld 13491 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  e.  RR )
87 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( F `  n )  =  ( F `  N ) )
8887fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  N )
) )
89 oveq1 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
n  -  N )  =  ( N  -  N ) )
9089oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( N  -  N ) ) )
9190oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( N  -  N ) ) ) )
9288, 91breq12d 4434 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( abs `  ( F `  n )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  N
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( N  -  N ) ) ) ) )
9392imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  n
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) ) ) ) ) )
94 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
9594fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
9611oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )
9795, 96breq12d 4434 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  ( F `  n )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) ) )
9897imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  n
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) ) ) ) )
99 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
10099fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
101 oveq1 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  -  N )  =  ( ( k  +  1 )  -  N ) )
102101oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )
103102oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )
104100, 103breq12d 4434 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( abs `  ( F `  n )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
105104imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  n
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( ( k  +  1 )  -  N
) ) ) ) ) )
10686leidd 10182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( abs `  ( F `  N
) ) )
10752oveq2d 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) )  =  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ 0 ) )
10856exp0d 12411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
0 )  =  1 )
109107, 108eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) )  =  1 )
110109oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( N  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  1 ) )
11186recnd 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  e.  CC )
112111mulid1d 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( F `  N )
) )
113110, 112eqtrd 2464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( N  -  N ) ) )  =  ( abs `  ( F `  N
) ) )
114106, 113breqtrrd 4448 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) ) ) )
115114a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) ) ) ) )
11632abscld 13491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
11786adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  N ) )  e.  RR )
118117, 25remulcld 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  e.  RR )
11958adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  0  <_  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) )
120 lemul2a 10462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  e.  RR  /\  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR  /\  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) )  /\  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) ) )
121120ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  e.  RR  /\  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR  /\  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) ) ) )
122116, 118, 20, 119, 121syl112anc 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) ) ) )
12356adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  e.  CC )
124111adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  N ) )  e.  CC )
12525recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  e.  CC )
126123, 124, 125mul12d 9844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) ) )
127123, 24expp1d 12418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  -  N )  +  1 ) )  =  ( ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  x.  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) )
12840, 1eleq2s 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  W  ->  k  e.  CC )
129 ax-1cn 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
130 addsub 9888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( k  +  1 )  -  N )  =  ( ( k  -  N )  +  1 ) )
131129, 130mp3an2 1349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  N
)  =  ( ( k  -  N )  +  1 ) )
132128, 38, 131syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( k  +  1 )  -  N )  =  ( ( k  -  N )  +  1 ) )
133132oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  -  N )  +  1 ) ) )
134123, 125mulcomd 9666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  =  ( ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
k  -  N ) )  x.  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )
135127, 133, 1343eqtr4rd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  =  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )
136135oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )
137126, 136eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )
138137breq2d 4433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )  <->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
139122, 138sylibd 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
1401peano2uzs 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  W  ->  (
k  +  1 )  e.  W )
14129sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  W )  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
142140, 141sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
143 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
144143eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  n )  e.  CC ) )
145144cbvralv 3056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  <->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
14681, 145sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
147146adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
14899eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  n
)  e.  CC  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) )
149148rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) )
150142, 147, 149sylc 63 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
151150abscld 13491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
15217adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  A  e.  RR )
153152, 116remulcld 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  e.  RR )
15420, 116remulcld 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  e.  RR )
155 cvgrat.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
15632absge0d 13499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  k )
) )
157 max1 11482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
15817, 16, 157sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
159158adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  A  <_  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) )
160152, 20, 116, 156, 159lemul1ad 10548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
161151, 153, 154, 155, 160letrd 9794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
162 peano2uz 11214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
16322, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
164 uznn0sub 11192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( (
k  +  1 )  -  N )  e. 
NN0 )
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( k  +  1 )  -  N )  e.  NN0 )
16620, 165reexpcld 12434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) )  e.  RR )
167117, 166remulcld 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )  e.  RR )
168 letr 9729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /\  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
169151, 154, 167, 168syl3anc 1265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /\  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
170161, 169mpand 680 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
171139, 170syld 46 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( ( k  +  1 )  -  N
) ) ) ) )
17246, 171syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
173172expcom 437 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( ( k  +  1 )  -  N
) ) ) ) ) )
174173a2d 30 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N
) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) ) )
17593, 98, 105, 98, 115, 174uzind4 11219 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) ) ) )
176175impcom 432 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )
17747oveq2d 6319 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) `
 k ) )  =  ( ( abs `  ( F `  N
) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )
178176, 177breqtrrd 4448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
n  -  N ) ) ) `  k
) ) )
1791, 9, 26, 32, 80, 86, 178cvgcmpce 13871 . 2  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
1803, 2, 31iserex 13713 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
181179, 180mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   _Vcvv 3082    C_ wss 3437   ifcif 3910   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   dom cdm 4851   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862    / cdiv 10271   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161    seqcseq 12214   ^cexp 12273    shift cshi 13123   abscabs 13291    ~~> cli 13541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-ico 11643  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746
This theorem is referenced by:  efcllem  14125  cvgdvgrat  36564
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