Theorem cvgcmpubi 8446

Description: An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem can also be used to compare two infinite series.

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp.1	|- A e. _V
cvgcmp.2	|- F:NN-->RR
cvgcmp.3	|- G:NN-->RR
cvgcmp.4	|- (x e. NN -> (0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)))
cvgcmp.5	|- ( + seq1 F) ~~> A
cvgcmpub.6	|- B e. _V
cvgcmpub.7	|- ( + seq1 G) ~~> B

Assertion

Ref	Expression
cvgcmpubi	|- B <_ A

Distinct variable groups:   x,A   x,F   x,G

Proof of Theorem cvgcmpubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcmpub.6	. . 3 |- B e. _V
2		cvgcmp.3	. . . . . . . 8 |- G:NN-->RR
3	2	ser1refi 7745	. . . . . . 7 |- ( + seq1 G):NN-->RR
4		frn 4569	. . . . . . 7 |- (( + seq1 G):NN-->RR -> ran ( + seq1 G) C_ RR)
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ran ( + seq1 G) C_ RR
6		1nn 7117	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
7		ne0i 2881	. . . . . . . 8 |- (1 e. NN -> NN =/= (/))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- NN =/= (/)
9	3	fdmi 4568	. . . . . . . . . 10 |- dom ( + seq1 G) = NN
10	9	eqeq1i 1891	. . . . . . . . 9 |- (dom ( + seq1 G) = (/) <-> NN = (/))
11		dm0rn0 4175	. . . . . . . . 9 |- (dom ( + seq1 G) = (/) <-> ran ( + seq1 G) = (/))
12	10, 11	bitr3i 192	. . . . . . . 8 |- (NN = (/) <-> ran ( + seq1 G) = (/))
13	12	necon3bii 2032	. . . . . . 7 |- (NN =/= (/) <-> ran ( + seq1 G) =/= (/))
14	8, 13	mpbi 206	. . . . . 6 |- ran ( + seq1 G) =/= (/)
15		cvgcmp.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
16		cvgcmp.2	. . . . . . . . 9 |- F:NN-->RR
17	16	ser1refi 7745	. . . . . . . 8 |- ( + seq1 F):NN-->RR
18		cvgcmp.5	. . . . . . . 8 |- ( + seq1 F) ~~> A
19	15, 17, 18	climfnrcli 8371	. . . . . . 7 |- A e. RR
20		ffn 4562	. . . . . . . . . . 11 |- (( + seq1 G):NN-->RR -> ( + seq1 G) Fn NN)
21	3, 20	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- ( + seq1 G) Fn NN
22		fvelrnb 4719	. . . . . . . . . 10 |- (( + seq1 G) Fn NN -> (z e. ran ( + seq1 G) <-> E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = z))
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (z e. ran ( + seq1 G) <-> E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = z)
24		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- ((( + seq1 G)` x) = z -> ((( + seq1 G)` x) <_ A <-> z <_ A))
25	2	ser1recli 7744	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> (( + seq1 G)` x) e. RR)
26	16	ser1recli 7744	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> (( + seq1 F)` x) e. RR)
27	19	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> A e. RR)
28		cvgcmp.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. NN -> (0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)))
29	28	simprd 352	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> (G` x) <_ (F` x))
30	16, 2, 29	ser1cmpi 8434	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> (( + seq1 G)` x) <_ (( + seq1 F)` x))
31	2	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. NN -> (G` x) e. RR)
32	16	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. NN -> (F` x) e. RR)
33	31, 32	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. NN -> ((G` x) e. RR /\ (F` x) e. RR))
34		0re 6603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
35		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((0 e. RR /\ (G` x) e. RR /\ (F` x) e. RR) -> ((0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)) -> 0 <_ (F` x)))
36	34, 35	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((G` x) e. RR /\ (F` x) e. RR) -> ((0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)) -> 0 <_ (F` x)))
37	33, 28, 36	sylc 83	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
38	16, 37	ser1monoi 7750	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> (( + seq1 F)` x) <_ (( + seq1 F)` (x + 1)))
39	15, 17, 38, 18	climubi 8414	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> (( + seq1 F)` x) <_ A)
40	25, 26, 27, 30, 39	letrd 6696	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. NN -> (( + seq1 G)` x) <_ A)
41	24, 40	syl5cbi 226	. . . . . . . . . 10 |- (x e. NN -> ((( + seq1 G)` x) = z -> z <_ A))
42	41	r19.23aiv 2211	. . . . . . . . 9 |- (E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = z -> z <_ A)
43	23, 42	sylbi 216	. . . . . . . 8 |- (z e. ran ( + seq1 G) -> z <_ A)
44	43	rgen 2159	. . . . . . 7 |- A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ A
45		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (y = A -> (z <_ y <-> z <_ A))
46	45	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (y = A -> (A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ y <-> A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ A))
47	46	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ A) -> E.y e. RR A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ y)
48	19, 44, 47	mp2an 761	. . . . . 6 |- E.y e. RR A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ y
49	5, 14, 48	3pm3.2i 1048	. . . . 5 |- (ran ( + seq1 G) C_ RR /\ ran ( + seq1 G) =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ y)
50	49	suprclii 7270	. . . 4 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. RR
51	50	elisseti 2301	. . 3 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. _V
52		cvgcmpub.7	. . . 4 |- ( + seq1 G) ~~> B
53	15, 16, 2, 28, 18	cvgcmpi 8445	. . . 4 |- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
54	52, 53	pm3.2i 307	. . 3 |- (( + seq1 G) ~~> B /\ ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
55	1, 51, 54	climunii 8358	. 2 |- B = sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
56		fvelrnb 4719	. . . . . 6 |- (( + seq1 G) Fn NN -> (w e. ran ( + seq1 G) <-> E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = w))
57	21, 56	ax-mp 7	. . . . 5 |- (w e. ran ( + seq1 G) <-> E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = w)
58		breq1 3341	. . . . . . 7 |- ((( + seq1 G)` x) = w -> ((( + seq1 G)` x) <_ A <-> w <_ A))
59	58, 40	syl5cbi 226	. . . . . 6 |- (x e. NN -> ((( + seq1 G)` x) = w -> w <_ A))
60	59	r19.23aiv 2211	. . . . 5 |- (E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = w -> w <_ A)
61	57, 60	sylbi 216	. . . 4 |- (w e. ran ( + seq1 G) -> w <_ A)
62	61	rgen 2159	. . 3 |- A.w e. ran ( + seq1 G)w <_ A
63	49	suprleubii 7274	. . 3 |- ((A e. RR /\ A.w e. ran ( + seq1 G)w <_ A) -> sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <_ A)
64	19, 62, 63	mp2an 761	. 2 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <_ A
65	55, 64	eqbrtri 3356	1 |- B <_ A

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  ran crn 3987   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653   seq1 cseq1 7720   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  ele3lem 8588  ege2le3lem2 8591

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain