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Theorem cvgcmpce 12552
Description: A comparison test for convergence of a complex infinite series. (Contributed by NM, 25-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmpce.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgcmpce.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgcmpce.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
cvgcmpce.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
cvgcmpce.5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
cvgcmpce.6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
cvgcmpce.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  <_  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvgcmpce  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    C, k    k, F    k, G    k, N    k, Z    k, M    ph, k

Proof of Theorem cvgcmpce
Dummy variables  m  j  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmpce.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 cvgcmpce.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
32, 1syl6eleq 2494 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzel2 10449 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
6 cvgcmpce.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
71, 5, 6serf 11306 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> CC )
87ffvelrnda 5829 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  CC )
9 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
109oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( C  x.  ( F `  m ) )  =  ( C  x.  ( F `  k )
) )
11 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) )
12 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( C  x.  ( F `  k ) )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
1413adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
15 cvgcmpce.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1615adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
17 cvgcmpce.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1816, 17remulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( C  x.  ( F `  k ) )  e.  RR )
1914, 18eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  e.  RR )
20 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( G `  m )  =  ( G `  k ) )
2120fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( abs `  ( G `  m ) )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
22 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) )
23 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( G `  k
) )  e.  _V
2421, 22, 23fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
2524adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
266abscld 12193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  RR )
2725, 26eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  e.  RR )
2815recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
29 cvgcmpce.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
30 climdm 12303 . . . . . . . 8  |-  (  seq 
M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  M (  +  ,  F
)  ~~>  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
3129, 30sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
3217recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
331, 5, 28, 31, 32, 14isermulc2 12406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) )  ~~>  ( C  x.  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) ) )
34 climrel 12241 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
3534releldmi 5065 . . . . . 6  |-  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) )  ~~>  ( C  x.  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )  ->  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
3633, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
371uztrn2 10459 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  Z )
382, 37sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  Z )
396absge0d 12201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  k )
) )
4039, 25breqtrrd 4198 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
) )
4138, 40syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
) )
42 cvgcmpce.7 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  <_  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
4338, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) `  k )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
4438, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `
 m ) ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
4542, 43, 443brtr4d 4202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) `  k )  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) `
 k ) )
461, 2, 19, 27, 36, 41, 45cvgcmp 12550 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
471climcau 12419 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x )
485, 46, 47syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x )
491, 5, 27serfre 11307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) : Z --> RR )
5049ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) : Z --> RR )
511uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  Z )
5251adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  n  e.  Z
)
5350, 52ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  e.  RR )
54 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  Z
)
5550, 54ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  j
)  e.  RR )
5653, 55resubcld 9421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  e.  RR )
57 0re 9047 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  e.  RR )
597ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> CC )
6059, 52ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC )
6159, 54ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  G
) `  j )  e.  CC )
6260, 61subcld 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )  e.  CC )
6362abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  e.  RR )
6462absge0d 12201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) ) )
65 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... n )  e.  Fin )
66 difss 3434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M ... n ) 
\  ( M ... j ) )  C_  ( M ... n )
67 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M ... n
)  e.  Fin  /\  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) 
C_  ( M ... n ) )  -> 
( ( M ... n )  \  ( M ... j ) )  e.  Fin )
6865, 66, 67sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) )  e.  Fin )
69 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) )  ->  k  e.  ( M ... n
) )
70 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ph )
71 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7271, 1syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  Z )
7370, 72, 6syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7469, 73sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7568, 74fsumabs 12535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) ) )
76 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
7752, 1syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
7876, 77, 73fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  =  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
) )
79 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
8054, 1syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  M ) )
81 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8281, 1syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  k  e.  Z )
8370, 82, 6syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
8479, 80, 83fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k
)  =  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )
8578, 84oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( G `  k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )
86 disjdif 3660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M ... j )  i^i  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) )  =  (/)
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... j )  i^i  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  =  (/) )
88 undif2 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M ... j )  u.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) )  =  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n ) )
89 fzss2 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( M ... j )  C_  ( M ... n ) )
9089ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... j )  C_  ( M ... n ) )
91 ssequn1 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M ... j ) 
C_  ( M ... n )  <->  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n
) )  =  ( M ... n ) )
9290, 91sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n
) )  =  ( M ... n ) )
9388, 92syl5req 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... n )  =  ( ( M ... j
)  u.  ( ( M ... n ) 
\  ( M ... j ) ) ) )
9487, 93, 65, 73fsumsplit 12488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k )  + 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k ) ) )
9594eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
) )
9665, 73fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  e.  CC )
97 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... j )  e.  Fin )
9897, 83fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k
)  e.  CC )
9968, 74fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k )  e.  CC )
10096, 98, 99subaddd 9385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `
 k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( G `  k
)  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
) ) )
10195, 100mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( G `  k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k ) )
10285, 101eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )
103102fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) ) )
10472adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  k  e.  Z )
105104, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
106 abscl 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  RR )
107106recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
10873, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
109105, 77, 108fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n ) )
11082adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  k  e.  Z )
111110, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
11283, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
113111, 80, 112fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )
114109, 113oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( abs `  ( G `  k )
)  -  sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
11587, 93, 65, 108fsumsplit 12488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k
) )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( abs `  ( G `  k
) ) ) )
116115eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
)  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) ) )
11765, 108fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  e.  CC )
11897, 112fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  e.  CC )
11974, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  e.  CC )
12068, 119fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) )  e.  CC )
121117, 118, 120subaddd 9385 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) )  <-> 
( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) ) ) )
122116, 121mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( abs `  ( G `  k )
)  -  sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( abs `  ( G `  k
) ) )
123114, 122eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) ) )
12475, 103, 1233brtr4d 4202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
12558, 63, 56, 64, 124letrd 9183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  <_  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
12656, 125absidd 12180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  =  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
127126breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  <->  ( (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x ) )
128 rpre 10574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
129128ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  x  e.  RR )
130 lelttr 9121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  /\  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
13163, 56, 129, 130syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  /\  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
132124, 131mpand 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 j ) ) )  <  x ) )
133127, 132sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
134133anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
135134ralimdva 2744 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
136135reximdva 2778 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
137136ralimdva 2744 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
13848, 137mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 j ) ) )  <  x )
139 seqex 11280 . . 3  |-  seq  M
(  +  ,  G
)  e.  _V
140139a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
_V )
1411, 8, 138, 140caucvg 12427 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999    seq cseq 11278   abscabs 11994    ~~> cli 12233   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  abscvgcvg  12553  geomulcvg  12608  cvgrat  12615  radcnvlem1  20282  radcnvlem2  20283  dvradcnv  20290  abelthlem5  20304  abelthlem7  20307  logtayllem  20503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435
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