Theorem cvgcmp3ci 8447

Description: A comparison test for convergence of a complex infinite series, where the reference sequence is multiplied by a constant. This version of cvgcmp3cei 8448 shows the explicit value of the limit (which is why we need all the hypotheses).

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp3.1	|- F:NN-->RR
cvgcmp3.2	|- T:NN-->CC
cvgcmp3.3	|- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
cvgcmp3.6	|- A e. _V
cvgcmp3.7	|- ( + seq1 F) ~~> A
cvgcmp3.8	|- H Fn NN
cvgcmp3.9	|- (x e. NN -> (H` x) = (abs` (T` x)))
cvgcmp3.10	|- G Fn NN
cvgcmp3.11	|- (x e. NN -> (G` x) = (Re` (( + seq1 T)` x)))
cvgcmp3.12	|- R = {u e. RR | E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> u < (G` v))}
cvgcmp3.13	|- C Fn NN
cvgcmp3.14	|- (x e. NN -> (C` x) = (Im` (( + seq1 T)` x)))
cvgcmp3.15	|- S = {u e. RR | E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> u < (C` v))}
cvgcmp3.16	|- D Fn NN
cvgcmp3.17	|- (x e. NN -> (D` x) = (_i x. (C` x)))
cvgcmp3.4	|- B e. NN
cvgcmp3c.18	|- Q e. RR
cvgcmp3c.19	|- 0 <_ Q
cvgcmp3c.5	|- ((x e. NN /\ B < x) -> (abs` (T` x)) <_ (Q x. (F` x)))

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp3ci	|- ( + seq1 T) ~~> (sup(R, RR, < ) + (_i x. sup(S, RR, < )))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F   x,y,v,u,G   x,H,v,u   x,T,y,u   x,R   x,D,y,u   x,C,y,v,u   x,Q

Proof of Theorem cvgcmp3ci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcmp3.2	. . 3 |- T:NN-->CC
2	1	ser1fi 7742	. 2 |- ( + seq1 T):NN-->CC
3		ltso 6681	. . . . 5 |- < Or RR
4	3	supex 5667	. . . 4 |- sup(ran ( + seq1 H), RR, < ) e. _V
5		cvgcmp3.6	. . . . 5 |- A e. _V
6		cvgcmp3.1	. . . . 5 |- F:NN-->RR
7		ffnfv 4801	. . . . . 6 |- (H:NN-->RR <-> (H Fn NN /\ A.x e. NN (H` x) e. RR))
8		cvgcmp3.8	. . . . . 6 |- H Fn NN
9		cvgcmp3.9	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (H` x) = (abs` (T` x)))
10	1	ffvelrni 4788	. . . . . . . . 9 |- (x e. NN -> (T` x) e. CC)
11		abscl 8084	. . . . . . . . 9 |- ((T` x) e. CC -> (abs` (T` x)) e. RR)
12	10, 11	syl 12	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (abs` (T` x)) e. RR)
13	9, 12	eqeltrd 1971	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (H` x) e. RR)
14	13	rgen 2159	. . . . . 6 |- A.x e. NN (H` x) e. RR
15	7, 8, 14	mpbir2an 800	. . . . 5 |- H:NN-->RR
16		cvgcmp3.3	. . . . 5 |- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
17		absge0 8105	. . . . . . 7 |- ((T` x) e. CC -> 0 <_ (abs` (T` x)))
18	10, 17	syl 12	. . . . . 6 |- (x e. NN -> 0 <_ (abs` (T` x)))
19	18, 9	breqtrrd 3363	. . . . 5 |- (x e. NN -> 0 <_ (H` x))
20		cvgcmp3.7	. . . . 5 |- ( + seq1 F) ~~> A
21		cvgcmp3.4	. . . . 5 |- B e. NN
22		cvgcmp3c.18	. . . . 5 |- Q e. RR
23		cvgcmp3c.19	. . . . 5 |- 0 <_ Q
24	9	adantr 425	. . . . . 6 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (H` x) = (abs` (T` x)))
25		cvgcmp3c.5	. . . . . 6 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (abs` (T` x)) <_ (Q x. (F` x)))
26	24, 25	eqbrtrd 3357	. . . . 5 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (H` x) <_ (Q x. (F` x)))
27	5, 6, 15, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 26	cvgcmp2ci 8444	. . . 4 |- ( + seq1 H) ~~> sup(ran ( + seq1 H), RR, < )
28		axresscn 6420	. . . . . 6 |- RR C_ CC
29		fss 4571	. . . . . 6 |- ((H:NN-->RR /\ RR C_ CC) -> H:NN-->CC)
30	15, 28, 29	mp2an 761	. . . . 5 |- H:NN-->CC
31	30	ser1fi 7742	. . . 4 |- ( + seq1 H):NN-->CC
32	4, 27, 31	climcaui 8416	. . 3 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.v e. NN (w < v -> (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) < z))
33		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((( + seq1 T)` v) e. CC /\ (( + seq1 T)` w) e. CC) -> ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w)) e. CC)
34	1	ser1cl1i 7743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v e. NN -> (( + seq1 T)` v) e. CC)
35	1	ser1cl1i 7743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. NN -> (( + seq1 T)` w) e. CC)
36	33, 34, 35	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. NN /\ w e. NN) -> ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w)) e. CC)
37		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w)) e. CC -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) e. RR)
38	36, 37	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((v e. NN /\ w e. NN) -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) e. RR)
39	38	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((v e. NN /\ w e. NN) /\ w < v) -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) e. RR)
40		resubcl 6601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((( + seq1 H)` v) e. RR /\ (( + seq1 H)` w) e. RR) -> ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w)) e. RR)
41	15	ser1recli 7744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. NN -> (( + seq1 H)` v) e. RR)
42	15	ser1recli 7744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. NN -> (( + seq1 H)` w) e. RR)
43	40, 41, 42	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((v e. NN /\ w e. NN) -> ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w)) e. RR)
44	43	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((v e. NN /\ w e. NN) /\ w < v) -> ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w)) e. RR)
45	43	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. NN /\ w e. NN) -> ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w)) e. CC)
46		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w)) e. CC -> (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) e. RR)
47	45, 46	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((v e. NN /\ w e. NN) -> (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) e. RR)
48	47	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((v e. NN /\ w e. NN) /\ w < v) -> (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) e. RR)
49	1, 8, 9	ser1absdifi 8182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. NN /\ v e. NN /\ w < v) -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) <_ ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w)))
50	49	3com12 1071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((v e. NN /\ w e. NN /\ w < v) -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) <_ ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w)))
51	50	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((v e. NN /\ w e. NN) /\ w < v) -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) <_ ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w)))
52		leabs 8115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w)) e. RR -> ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w)) <_ (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))))
53	43, 52	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((v e. NN /\ w e. NN) -> ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w)) <_ (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))))
54	53	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((v e. NN /\ w e. NN) /\ w < v) -> ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w)) <_ (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))))
55	39, 44, 48, 51, 54	letrd 6696	. . . . . . . . . . . 12 |- (((v e. NN /\ w e. NN) /\ w < v) -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) <_ (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))))
56	55	adantlll 432	. . . . . . . . . . 11 |- ((((z e. RR /\ v e. NN) /\ w e. NN) /\ w < v) -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) <_ (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))))
57	38	adantll 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((z e. RR /\ v e. NN) /\ w e. NN) -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) e. RR)
58	47	adantll 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((z e. RR /\ v e. NN) /\ w e. NN) -> (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) e. RR)
59		simpll 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((z e. RR /\ v e. NN) /\ w e. NN) -> z e. RR)
60		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) e. RR /\ (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) e. RR /\ z e. RR) -> (((abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) <_ (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) /\ (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) < z) -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) < z))
61	57, 58, 59, 60	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- (((z e. RR /\ v e. NN) /\ w e. NN) -> (((abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) <_ (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) /\ (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) < z) -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) < z))
62	61	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((((z e. RR /\ v e. NN) /\ w e. NN) /\ w < v) -> (((abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) <_ (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) /\ (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) < z) -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) < z))
63	56, 62	mpand 765	. . . . . . . . . 10 |- ((((z e. RR /\ v e. NN) /\ w e. NN) /\ w < v) -> ((abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) < z -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) < z))
64	63	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (((z e. RR /\ v e. NN) /\ w e. NN) -> (w < v -> ((abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) < z -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) < z)))
65	64	an1rs 547	. . . . . . . 8 |- (((z e. RR /\ w e. NN) /\ v e. NN) -> (w < v -> ((abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) < z -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) < z)))
66	65	a2d 16	. . . . . . 7 |- (((z e. RR /\ w e. NN) /\ v e. NN) -> ((w < v -> (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) < z) -> (w < v -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) < z)))
67	66	ralimdvaa 2171	. . . . . 6 |- ((z e. RR /\ w e. NN) -> (A.v e. NN (w < v -> (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) < z) -> A.v e. NN (w < v -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) < z)))
68	67	reximdva 2203	. . . . 5 |- (z e. RR -> (E.w e. NN A.v e. NN (w < v -> (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) < z) -> E.w e. NN A.v e. NN (w < v -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) < z)))
69	68	imim2d 28	. . . 4 |- (z e. RR -> ((0 < z -> E.w e. NN A.v e. NN (w < v -> (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) < z)) -> (0 < z -> E.w e. NN A.v e. NN (w < v -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) < z))))
70	69	ralimia 2166	. . 3 |- (A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.v e. NN (w < v -> (abs` ((( + seq1 H)` v) - (( + seq1 H)` w))) < z)) -> A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.v e. NN (w < v -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) < z)))
71	32, 70	ax-mp 7	. 2 |- A.z e. RR (0 < z -> E.w e. NN A.v e. NN (w < v -> (abs` ((( + seq1 T)` v) - (( + seq1 T)` w))) < z))
72		cvgcmp3.10	. 2 |- G Fn NN
73		cvgcmp3.11	. 2 |- (x e. NN -> (G` x) = (Re` (( + seq1 T)` x)))
74		cvgcmp3.12	. 2 |- R = {u e. RR | E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> u < (G` v))}
75		cvgcmp3.13	. 2 |- C Fn NN
76		cvgcmp3.14	. 2 |- (x e. NN -> (C` x) = (Im` (( + seq1 T)` x)))
77		cvgcmp3.15	. 2 |- S = {u e. RR | E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> u < (C` v))}
78		cvgcmp3.16	. 2 |- D Fn NN
79		cvgcmp3.17	. 2 |- (x e. NN -> (D` x) = (_i x. (C` x)))
80	2, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79	caucvg3ai 8424	1 |- ( + seq1 T) ~~> (sup(R, RR, < ) + (_i x. sup(S, RR, < )))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ran crn 3987   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653   seq1 cseq1 7720  Recre 7997  Imcim 7998  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  cvgcmp3cei 8448

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240

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