Theorem cvgcmp2lem 8440

Description: Lemma for cvgcmp2i 8441.

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp2.1	|- A e. _V
cvgcmp2.2	|- F:NN-->RR
cvgcmp2.3	|- G:NN-->RR
cvgcmp2.4	|- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
cvgcmp2.5	|- (x e. NN -> 0 <_ (G` x))
cvgcmp2.6	|- ( + seq1 F) ~~> A
cvgcmp2.7	|- B e. NN
cvgcmp2.8	|- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (F` x))
cvgcmp2lem.9	|- S = sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < )
cvgcmp2lem.10	|- H Fn NN
cvgcmp2lem.11	|- (x e. NN -> (H` x) = (S + (( + seq1 F)` x)))

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp2lem	|- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )

Distinct variable groups:   x,A   x,y,B   x,F   x,G   x,S   x,H

Proof of Theorem cvgcmp2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcmp2.3	. . 3 |- G:NN-->RR
2	1	ser1refi 7745	. 2 |- ( + seq1 G):NN-->RR
3		cvgcmp2.5	. . 3 |- (x e. NN -> 0 <_ (G` x))
4	1, 3	ser1monoi 7750	. 2 |- (x e. NN -> (( + seq1 G)` x) <_ (( + seq1 G)` (x + 1)))
5		cvgcmp2lem.9	. . . . 5 |- S = sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < )
6		cvgcmp2.7	. . . . . . 7 |- B e. NN
7	2	seq1ublem 8163	. . . . . . 7 |- (B e. NN -> (ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) C_ RR /\ ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B})w <_ z))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) C_ RR /\ ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B})w <_ z)
9	8	suprclii 7270	. . . . 5 |- sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < ) e. RR
10	5, 9	eqeltri 1967	. . . 4 |- S e. RR
11		cvgcmp2.1	. . . . 5 |- A e. _V
12		cvgcmp2.2	. . . . . 6 |- F:NN-->RR
13	12	ser1refi 7745	. . . . 5 |- ( + seq1 F):NN-->RR
14		cvgcmp2.6	. . . . 5 |- ( + seq1 F) ~~> A
15	11, 13, 14	climfnrcli 8371	. . . 4 |- A e. RR
16	10, 15	readdcli 6487	. . 3 |- (S + A) e. RR
17	1	ser1recli 7744	. . . . 5 |- (x e. NN -> (( + seq1 G)` x) e. RR)
18		cvgcmp2lem.11	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (H` x) = (S + (( + seq1 F)` x)))
19		readdcl 6455	. . . . . . 7 |- ((S e. RR /\ (( + seq1 F)` x) e. RR) -> (S + (( + seq1 F)` x)) e. RR)
20	12	ser1recli 7744	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (( + seq1 F)` x) e. RR)
21	19, 10, 20	sylancr 526	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (S + (( + seq1 F)` x)) e. RR)
22	18, 21	eqeltrd 1971	. . . . 5 |- (x e. NN -> (H` x) e. RR)
23	16	a1i 8	. . . . 5 |- (x e. NN -> (S + A) e. RR)
24		cvgcmp2.4	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
25		cvgcmp2.8	. . . . . . . 8 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (F` x))
26	12, 1, 24, 25, 5	ser1cmp2i 8437	. . . . . . 7 |- ((x e. NN /\ B e. NN) -> (( + seq1 G)` x) <_ (S + (( + seq1 F)` x)))
27	6, 26	mpan2 760	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (( + seq1 G)` x) <_ (S + (( + seq1 F)` x)))
28	27, 18	breqtrrd 3363	. . . . 5 |- (x e. NN -> (( + seq1 G)` x) <_ (H` x))
29		oprex 4907	. . . . . 6 |- (S + A) e. _V
30		ffnfv 4801	. . . . . . 7 |- (H:NN-->RR <-> (H Fn NN /\ A.x e. NN (H` x) e. RR))
31		cvgcmp2lem.10	. . . . . . 7 |- H Fn NN
32	22	rgen 2159	. . . . . . 7 |- A.x e. NN (H` x) e. RR
33	30, 31, 32	mpbir2an 800	. . . . . 6 |- H:NN-->RR
34	12, 24	ser1monoi 7750	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> (( + seq1 F)` z) <_ (( + seq1 F)` (z + 1)))
35	12	ser1recli 7744	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> (( + seq1 F)` z) e. RR)
36		peano2nn 7118	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> (z + 1) e. NN)
37	12	ser1recli 7744	. . . . . . . . . 10 |- ((z + 1) e. NN -> (( + seq1 F)` (z + 1)) e. RR)
38	36, 37	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> (( + seq1 F)` (z + 1)) e. RR)
39		leadd2 6809	. . . . . . . . . 10 |- (((( + seq1 F)` z) e. RR /\ (( + seq1 F)` (z + 1)) e. RR /\ S e. RR) -> ((( + seq1 F)` z) <_ (( + seq1 F)` (z + 1)) <-> (S + (( + seq1 F)` z)) <_ (S + (( + seq1 F)` (z + 1)))))
40	10, 39	mp3an3 1180	. . . . . . . . 9 |- (((( + seq1 F)` z) e. RR /\ (( + seq1 F)` (z + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 F)` z) <_ (( + seq1 F)` (z + 1)) <-> (S + (( + seq1 F)` z)) <_ (S + (( + seq1 F)` (z + 1)))))
41	35, 38, 40	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> ((( + seq1 F)` z) <_ (( + seq1 F)` (z + 1)) <-> (S + (( + seq1 F)` z)) <_ (S + (( + seq1 F)` (z + 1)))))
42	34, 41	mpbid 212	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (S + (( + seq1 F)` z)) <_ (S + (( + seq1 F)` (z + 1))))
43		fveq2 4681	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> (H` x) = (H` z))
44		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (x = z -> (( + seq1 F)` x) = (( + seq1 F)` z))
45	44	opreq2d 4898	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> (S + (( + seq1 F)` x)) = (S + (( + seq1 F)` z)))
46	43, 45	eqeq12d 1899	. . . . . . . 8 |- (x = z -> ((H` x) = (S + (( + seq1 F)` x)) <-> (H` z) = (S + (( + seq1 F)` z))))
47	46, 18	vtoclga 2352	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (H` z) = (S + (( + seq1 F)` z)))
48		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (x = (z + 1) -> (H` x) = (H` (z + 1)))
49		fveq2 4681	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (z + 1) -> (( + seq1 F)` x) = (( + seq1 F)` (z + 1)))
50	49	opreq2d 4898	. . . . . . . . . 10 |- (x = (z + 1) -> (S + (( + seq1 F)` x)) = (S + (( + seq1 F)` (z + 1))))
51	48, 50	eqeq12d 1899	. . . . . . . . 9 |- (x = (z + 1) -> ((H` x) = (S + (( + seq1 F)` x)) <-> (H` (z + 1)) = (S + (( + seq1 F)` (z + 1)))))
52	51, 18	vtoclga 2352	. . . . . . . 8 |- ((z + 1) e. NN -> (H` (z + 1)) = (S + (( + seq1 F)` (z + 1))))
53	36, 52	syl 12	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (H` (z + 1)) = (S + (( + seq1 F)` (z + 1))))
54	42, 47, 53	3brtr4d 3367	. . . . . 6 |- (z e. NN -> (H` z) <_ (H` (z + 1)))
55	10	recni 6467	. . . . . . 7 |- S e. CC
56	20	recnd 6468	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (( + seq1 F)` x) e. CC)
57	56, 18	jca 310	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> ((( + seq1 F)` x) e. CC /\ (H` x) = (S + (( + seq1 F)` x))))
58	55, 11, 14, 31, 57	climaddci 8392	. . . . . 6 |- H ~~> (S + A)
59	29, 33, 54, 58	climubi 8414	. . . . 5 |- (x e. NN -> (H` x) <_ (S + A))
60	17, 22, 23, 28, 59	letrd 6696	. . . 4 |- (x e. NN -> (( + seq1 G)` x) <_ (S + A))
61	60	rgen 2159	. . 3 |- A.x e. NN (( + seq1 G)` x) <_ (S + A)
62		breq2 3342	. . . . 5 |- (z = (S + A) -> ((( + seq1 G)` x) <_ z <-> (( + seq1 G)` x) <_ (S + A)))
63	62	ralbidv 2123	. . . 4 |- (z = (S + A) -> (A.x e. NN (( + seq1 G)` x) <_ z <-> A.x e. NN (( + seq1 G)` x) <_ (S + A)))
64	63	rcla4ev 2381	. . 3 |- (((S + A) e. RR /\ A.x e. NN (( + seq1 G)` x) <_ (S + A)) -> E.z e. RR A.x e. NN (( + seq1 G)` x) <_ z)
65	16, 61, 64	mp2an 761	. 2 |- E.z e. RR A.x e. NN (( + seq1 G)` x) <_ z
66	2, 4, 65	climsupi 8415	1 |- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  ran crn 3987   |` cres 3988   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653   seq1 cseq1 7720   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  cvgcmp2i 8441

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain