Theorem cvgcmp2clemOLD 8443

Description: Lemma for cvgcmp2ci 8444.

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp2.1	|- A e. _V
cvgcmp2.2	|- F:NN-->RR
cvgcmp2.3	|- G:NN-->RR
cvgcmp2.4	|- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
cvgcmp2.5	|- (x e. NN -> 0 <_ (G` x))
cvgcmp2.6	|- ( + seq1 F) ~~> A
cvgcmp2.7	|- B e. NN
cvgcmp2c.9	|- C e. RR
cvgcmp2c.10	|- 0 <_ C
cvgcmp2c.11	|- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (C x. (F` x)))
cvgcmp2clem.12	|- S Fn NN
cvgcmp2clem.13	|- (x e. NN -> (S` x) = (C x. (F` x)))

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp2clemOLD	|- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F   x,G   x,S   x,C

Proof of Theorem cvgcmp2clemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 4907	. 2 |- (C x. A) e. _V
2		ffnfv 4801	. . 3 |- (S:NN-->RR <-> (S Fn NN /\ A.x e. NN (S` x) e. RR))
3		cvgcmp2clem.12	. . 3 |- S Fn NN
4		cvgcmp2clem.13	. . . . 5 |- (x e. NN -> (S` x) = (C x. (F` x)))
5		remulcl 6457	. . . . . 6 |- ((C e. RR /\ (F` x) e. RR) -> (C x. (F` x)) e. RR)
6		cvgcmp2c.9	. . . . . 6 |- C e. RR
7		cvgcmp2.2	. . . . . . 7 |- F:NN-->RR
8	7	ffvelrni 4788	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (F` x) e. RR)
9	5, 6, 8	sylancr 526	. . . . 5 |- (x e. NN -> (C x. (F` x)) e. RR)
10	4, 9	eqeltrd 1971	. . . 4 |- (x e. NN -> (S` x) e. RR)
11	10	rgen 2159	. . 3 |- A.x e. NN (S` x) e. RR
12	2, 3, 11	mpbir2an 800	. 2 |- S:NN-->RR
13		cvgcmp2.3	. 2 |- G:NN-->RR
14		cvgcmp2.4	. . . . 5 |- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
15		cvgcmp2c.10	. . . . 5 |- 0 <_ C
16	14, 15	jctil 316	. . . 4 |- (x e. NN -> (0 <_ C /\ 0 <_ (F` x)))
17		mulge0OLD 6869	. . . . 5 |- (((C e. RR /\ (F` x) e. RR) /\ (0 <_ C /\ 0 <_ (F` x))) -> 0 <_ (C x. (F` x)))
18	6, 17	mpanl1 770	. . . 4 |- (((F` x) e. RR /\ (0 <_ C /\ 0 <_ (F` x))) -> 0 <_ (C x. (F` x)))
19	8, 16, 18	syl11anc 524	. . 3 |- (x e. NN -> 0 <_ (C x. (F` x)))
20	19, 4	breqtrrd 3363	. 2 |- (x e. NN -> 0 <_ (S` x))
21		cvgcmp2.5	. 2 |- (x e. NN -> 0 <_ (G` x))
22	6	recni 6467	. . 3 |- C e. CC
23		cvgcmp2.1	. . 3 |- A e. _V
24		cvgcmp2.6	. . 3 |- ( + seq1 F) ~~> A
25		addex 6470	. . . 4 |- + e. _V
26		nnex 7116	. . . . 5 |- NN e. _V
27		fnex 4535	. . . . 5 |- ((S Fn NN /\ NN e. _V) -> S e. _V)
28	3, 26, 27	mp2an 761	. . . 4 |- S e. _V
29	25, 28	seq1fn 7733	. . 3 |- ( + seq1 S) Fn NN
30		axresscn 6420	. . . . . 6 |- RR C_ CC
31		fss 4571	. . . . . 6 |- ((F:NN-->RR /\ RR C_ CC) -> F:NN-->CC)
32	7, 30, 31	mp2an 761	. . . . 5 |- F:NN-->CC
33	32	ser1cl1i 7743	. . . 4 |- (x e. NN -> (( + seq1 F)` x) e. CC)
34	22, 32, 28, 4	ser1mulci 8320	. . . 4 |- (x e. NN -> (( + seq1 S)` x) = (C x. (( + seq1 F)` x)))
35	33, 34	jca 310	. . 3 |- (x e. NN -> ((( + seq1 F)` x) e. CC /\ (( + seq1 S)` x) = (C x. (( + seq1 F)` x))))
36	22, 23, 24, 29, 35	climmulci 8393	. 2 |- ( + seq1 S) ~~> (C x. A)
37		cvgcmp2.7	. 2 |- B e. NN
38		cvgcmp2c.11	. . 3 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (C x. (F` x)))
39	4	adantr 425	. . 3 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (S` x) = (C x. (F` x)))
40	38, 39	breqtrrd 3363	. 2 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (S` x))
41	1, 12, 13, 20, 21, 36, 37, 40	cvgcmp2i 8441	1 |- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ran crn 3987   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653   seq1 cseq1 7720   ~~> cli 8234

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain