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Theorem cvgcmp 12550
Description: A comparison test for convergence of a real infinite series. Exercise 3 of [Gleason] p. 182. (Contributed by NM, 1-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgcmp.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgcmp.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
cvgcmp.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
cvgcmp.5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
cvgcmp.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( G `  k ) )
cvgcmp.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
)
Assertion
Ref Expression
cvgcmp  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    ph, k    k, M   
k, N    k, Z

Proof of Theorem cvgcmp
Dummy variables  n  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmp.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 seqex 11280 . . 3  |-  seq  M
(  +  ,  G
)  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
_V )
4 cvgcmp.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
54, 1syl6eleq 2494 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 eluzel2 10449 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
8 cvgcmp.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
91climcau 12419 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  seq  M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )
107, 8, 9syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )
11 cvgcmp.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
121, 7, 11serfre 11307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
1312ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
1413recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
1514ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC )
161r19.29uz 12109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  Z  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC  /\ 
E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) )
1716ex 424 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  Z  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC  ->  ( E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1815, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1918ralimdv 2745 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
2010, 19mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x ) )
211uztrn2 10459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  Z )
224, 21sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  n  e.  Z )
23 cvgcmp.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
241, 7, 23serfre 11307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> RR )
2524ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR )
2625recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  CC )
2722, 26syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  (  seq  M (  +  ,  G
) `  n )  e.  CC )
2827ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  N ) (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC )
2928adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  N )
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC )
30 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  ph )
3130, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  seq  M (  +  ,  F
) : Z --> RR )
3230, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  N  e.  Z )
33 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  N )
)
341uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Z  /\  m  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  m  e.  Z )
3532, 33, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  m  e.  Z )
3631, 35ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  e.  RR )
37 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
3837uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
3938adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4032, 39, 21syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  n  e.  Z )
4130, 40, 13syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
4230, 40, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR )
4330, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  seq  M (  +  ,  G
) : Z --> RR )
4443, 35ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
)  e.  RR )
4542, 44resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) )  e.  RR )
4635, 1syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
47 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)
48 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4948, 1syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  Z )
50 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
51 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  k  ->  ( G `  m )  =  ( G `  k ) )
5250, 51oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
)  -  ( G `
 m ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
53 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m ) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( ( F `
 m )  -  ( G `  m ) ) )
54 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  e. 
_V
5552, 53, 54fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
5655adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
5711, 23resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR )
5856, 57eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
)  e.  RR )
5930, 49, 58syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( ( F `  m
)  -  ( G `
 m ) ) ) `  k )  e.  RR )
60 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )
61 peano2uz 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
6233, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
6337uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
6462, 63sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  N ) )
65 cvgcmp.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
)
661uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  Z )
674, 66sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  Z )
6811, 23subge0d 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
) )
6967, 68syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) )  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
) )
7065, 69mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )
7167, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( ( F `  m
)  -  ( G `
 m ) ) ) `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
7270, 71breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
) )
7330, 72sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  0  <_  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
) )
7464, 73syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  0  <_  (
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
) )
7560, 74sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n ) )  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) `  k
) )
7646, 47, 59, 75sermono 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) ) `  m )  <_  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) ) `  n ) )
77 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( M ... m )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7877, 1syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( M ... m )  ->  k  e.  Z )
7911recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
8030, 78, 79syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... m ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
8123recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
8230, 78, 81syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... m ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
8330, 78, 56syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... m ) )  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( ( F `  m
)  -  ( G `
 m ) ) ) `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
8446, 80, 82, 83sersub 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) ) `  m )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) ) )
8540, 1syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8630, 49, 79syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
8730, 49, 81syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
8830, 49, 56syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( ( F `  m
)  -  ( G `
 m ) ) ) `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
8985, 86, 87, 88sersub 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( ( F `  m )  -  ( G `  m )
) ) ) `  n )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n ) ) )
9076, 84, 893brtr3d 4201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) )  <_  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
) ) )
9141, 42resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
) )  e.  RR )
9236, 44, 91lesubaddd 9579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) )  <_  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
) )  <->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  m )  <_  ( ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
) )  +  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
9390, 92mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  <_  ( (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
) )  +  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) ) )
9441recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
9542recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  CC )
9644recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
)  e.  CC )
9794, 95, 96subsubd 9395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  =  ( ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
) )  +  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) ) )
9893, 97breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  <_  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  -  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )
9936, 41, 45, 98lesubd 9586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) )  <_  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )
10041, 36resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) )  e.  RR )
101 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
102101ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  x  e.  RR )
103 lelttr 9121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) )  e.  RR  /\  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) )  /\  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
) )  <  x
)  ->  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) )  <  x
) )
10445, 100, 102, 103syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) )  <_  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) )  /\  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) )  <  x
)  ->  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) )  <  x
) )
10599, 104mpand 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) )  <  x  ->  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) )  <  x
) )
10630, 49, 11syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
10760, 64sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
108 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  e.  RR )
11067, 23syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
11167, 11syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
112 cvgcmp.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( G `  k ) )
113109, 110, 111, 112, 65letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( F `  k ) )
11430, 113sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  0  <_  ( F `  k )
)
115107, 114syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n ) )  ->  0  <_  ( F `  k ) )
11646, 47, 106, 115sermono 11310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
)  <_  (  seq  M (  +  ,  F
) `  n )
)
11736, 41, 116abssubge0d 12189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  =  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )
118117breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  m
) )  <  x
) )
11930, 49, 23syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
12030, 112sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  0  <_  ( G `  k )
)
12164, 120syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )  ->  0  <_  ( G `  k )
)
12260, 121sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  ( ZZ>=
`  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  ( ( m  +  1 ) ... n ) )  ->  0  <_  ( G `  k ) )
12346, 47, 119, 122sermono 11310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
)  <_  (  seq  M (  +  ,  G
) `  n )
)
12444, 42, 123abssubge0d 12189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  =  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )
125124breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) )  <  x
) )
126105, 118, 1253imtr4d 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
m  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) )
127126anassrs 630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  N ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) )
128127adantld 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  N ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
( ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
129128ralimdva 2744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
130129reximdva 2778 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) )
13137r19.29uz 12109 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  (
ZZ>= `  N ) (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\ 
E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
13229, 130, 131ee12an 1369 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
133132ralimdva 2744 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  (
ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1341, 37cau4 12115 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1354, 134syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1361, 37cau4 12115 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
1374, 136syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
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 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  N ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
138133, 135, 1373imtr4d 260 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
13920, 138mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
1401uztrn2 10459 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) )  ->  n  e.  Z )
141 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
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 m ) ) )  <  x )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x )
14225biantrurd 495 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
143141, 142syl5ib 211 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
144140, 143sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
145144anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
146145ralimdva 2744 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
147146reximdva 2778 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
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 m ) ) )  <  x )  ->  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x ) ) )
148147ralimdv 2745 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 m ) ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) ) )
149139, 148mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
x ) )
1501, 3, 149caurcvg2 12426 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999    seq cseq 11278   abscabs 11994    ~~> cli 12233
This theorem is referenced by:  cvgcmpce  12552  rpnnen2lem5  12773  aaliou3lem3  20214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238
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