Theorem cvg3i 8175

Description: A relationship used to derive two ways to express convergence. ph is ph(k).

Hypotheses

Ref	Expression
cvg3.1	|- M e. ZZ
cvg3.2	|- (ZZ>=` M) C_ Z
cvg3.3	|- Z C_ ZZ
cvg3.4	|- N e. ZZ
cvg3.5	|- (ZZ>=` N) C_ W
cvg3.6	|- W C_ ZZ

Assertion

Ref	Expression
cvg3i	|- (E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ph) <-> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ph))

Distinct variable groups:   j,k,M   k,N   k,W   j,Z,k   ph,j

Proof of Theorem cvg3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3341	. . . . 5 |- (j = m -> (j <_ k <-> m <_ k))
2	1	imbi1d 675	. . . 4 |- (j = m -> ((j <_ k -> ph) <-> (m <_ k -> ph)))
3	2	ralbidv 2123	. . 3 |- (j = m -> (A.k e. ZZ (j <_ k -> ph) <-> A.k e. ZZ (m <_ k -> ph)))
4	3	cbvrexv 2281	. 2 |- (E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ph) <-> E.m e. ZZ A.k e. ZZ (m <_ k -> ph))
5		cvg3.1	. . . . . . . 8 |- M e. ZZ
6	5	zrei 7350	. . . . . . 7 |- M e. RR
7	6	a1i 8	. . . . . 6 |- (m e. ZZ -> M e. RR)
8		zre 7348	. . . . . 6 |- (m e. ZZ -> m e. RR)
9	3	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- ((m e. Z /\ A.k e. ZZ (m <_ k -> ph)) -> E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ph))
10	5	eluz1i 7591	. . . . . . . . 9 |- (m e. (ZZ>=` M) <-> (m e. ZZ /\ M <_ m))
11		cvg3.2	. . . . . . . . . 10 |- (ZZ>=` M) C_ Z
12	11	sseli 2617	. . . . . . . . 9 |- (m e. (ZZ>=` M) -> m e. Z)
13	10, 12	sylbir 218	. . . . . . . 8 |- ((m e. ZZ /\ M <_ m) -> m e. Z)
14	9, 13	sylan 497	. . . . . . 7 |- (((m e. ZZ /\ M <_ m) /\ A.k e. ZZ (m <_ k -> ph)) -> E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ph))
15	14	ex 402	. . . . . 6 |- ((m e. ZZ /\ M <_ m) -> (A.k e. ZZ (m <_ k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ph)))
16		letr 6695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((m e. RR /\ M e. RR /\ k e. RR) -> ((m <_ M /\ M <_ k) -> m <_ k))
17	6, 16	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . 12 |- ((m e. RR /\ k e. RR) -> ((m <_ M /\ M <_ k) -> m <_ k))
18		zre 7348	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. ZZ -> k e. RR)
19	17, 8, 18	syl2an 503	. . . . . . . . . . 11 |- ((m e. ZZ /\ k e. ZZ) -> ((m <_ M /\ M <_ k) -> m <_ k))
20	19	expdimp 406	. . . . . . . . . 10 |- (((m e. ZZ /\ k e. ZZ) /\ m <_ M) -> (M <_ k -> m <_ k))
21	20	an1rs 547	. . . . . . . . 9 |- (((m e. ZZ /\ m <_ M) /\ k e. ZZ) -> (M <_ k -> m <_ k))
22	21	imim1d 33	. . . . . . . 8 |- (((m e. ZZ /\ m <_ M) /\ k e. ZZ) -> ((m <_ k -> ph) -> (M <_ k -> ph)))
23	22	ralimdvaa 2171	. . . . . . 7 |- ((m e. ZZ /\ m <_ M) -> (A.k e. ZZ (m <_ k -> ph) -> A.k e. ZZ (M <_ k -> ph)))
24		uzid 7596	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> M e. (ZZ>=` M))
25	5, 24	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- M e. (ZZ>=` M)
26	11, 25	sselii 2618	. . . . . . . 8 |- M e. Z
27		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (j = M -> (j <_ k <-> M <_ k))
28	27	imbi1d 675	. . . . . . . . . 10 |- (j = M -> ((j <_ k -> ph) <-> (M <_ k -> ph)))
29	28	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (j = M -> (A.k e. ZZ (j <_ k -> ph) <-> A.k e. ZZ (M <_ k -> ph)))
30	29	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- ((M e. Z /\ A.k e. ZZ (M <_ k -> ph)) -> E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ph))
31	26, 30	mpan 759	. . . . . . 7 |- (A.k e. ZZ (M <_ k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ph))
32	23, 31	syl6 25	. . . . . 6 |- ((m e. ZZ /\ m <_ M) -> (A.k e. ZZ (m <_ k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ph)))
33	7, 8, 15, 32	lecasei 6804	. . . . 5 |- (m e. ZZ -> (A.k e. ZZ (m <_ k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ph)))
34	33	r19.23aiv 2211	. . . 4 |- (E.m e. ZZ A.k e. ZZ (m <_ k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ph))
35		cvg3.6	. . . . . 6 |- W C_ ZZ
36		ssralv 2672	. . . . . 6 |- (W C_ ZZ -> (A.k e. ZZ (j <_ k -> ph) -> A.k e. W (j <_ k -> ph)))
37	35, 36	ax-mp 7	. . . . 5 |- (A.k e. ZZ (j <_ k -> ph) -> A.k e. W (j <_ k -> ph))
38	37	reximi 2198	. . . 4 |- (E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ph))
39	34, 38	syl 12	. . 3 |- (E.m e. ZZ A.k e. ZZ (m <_ k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ph))
40		letric 6802	. . . . . 6 |- ((N e. RR /\ j e. RR) -> (N <_ j \/ j <_ N))
41		cvg3.4	. . . . . . 7 |- N e. ZZ
42	41	zrei 7350	. . . . . 6 |- N e. RR
43		cvg3.3	. . . . . . . 8 |- Z C_ ZZ
44	43	sseli 2617	. . . . . . 7 |- (j e. Z -> j e. ZZ)
45		zre 7348	. . . . . . 7 |- (j e. ZZ -> j e. RR)
46	44, 45	syl 12	. . . . . 6 |- (j e. Z -> j e. RR)
47	40, 42, 46	sylancr 526	. . . . 5 |- (j e. Z -> (N <_ j \/ j <_ N))
48		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((N e. RR /\ j e. RR /\ k e. RR) -> ((N <_ j /\ j <_ k) -> N <_ k))
49	42, 48	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((j e. RR /\ k e. RR) -> ((N <_ j /\ j <_ k) -> N <_ k))
50	49, 46, 18	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((j e. Z /\ k e. ZZ) -> ((N <_ j /\ j <_ k) -> N <_ k))
51	50	expdimp 406	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((j e. Z /\ k e. ZZ) /\ N <_ j) -> (j <_ k -> N <_ k))
52	51	an1rs 547	. . . . . . . . . . . 12 |- (((j e. Z /\ N <_ j) /\ k e. ZZ) -> (j <_ k -> N <_ k))
53	52	ancrd 323	. . . . . . . . . . 11 |- (((j e. Z /\ N <_ j) /\ k e. ZZ) -> (j <_ k -> (N <_ k /\ j <_ k)))
54	53	imim1d 33	. . . . . . . . . 10 |- (((j e. Z /\ N <_ j) /\ k e. ZZ) -> (((N <_ k /\ j <_ k) -> ph) -> (j <_ k -> ph)))
55	54	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . 9 |- ((j e. Z /\ N <_ j) -> (A.k e. ZZ ((N <_ k /\ j <_ k) -> ph) -> A.k e. ZZ (j <_ k -> ph)))
56	44	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((j e. Z /\ N <_ j) -> j e. ZZ)
57	55, 56	jctild 662	. . . . . . . 8 |- ((j e. Z /\ N <_ j) -> (A.k e. ZZ ((N <_ k /\ j <_ k) -> ph) -> (j e. ZZ /\ A.k e. ZZ (j <_ k -> ph))))
58		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (m = j -> (m <_ k <-> j <_ k))
59	58	imbi1d 675	. . . . . . . . . 10 |- (m = j -> ((m <_ k -> ph) <-> (j <_ k -> ph)))
60	59	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (m = j -> (A.k e. ZZ (m <_ k -> ph) <-> A.k e. ZZ (j <_ k -> ph)))
61	60	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- ((j e. ZZ /\ A.k e. ZZ (j <_ k -> ph)) -> E.m e. ZZ A.k e. ZZ (m <_ k -> ph))
62	57, 61	syl6 25	. . . . . . 7 |- ((j e. Z /\ N <_ j) -> (A.k e. ZZ ((N <_ k /\ j <_ k) -> ph) -> E.m e. ZZ A.k e. ZZ (m <_ k -> ph)))
63	41	a1i12 9	. . . . . . . . 9 |- ((j e. Z /\ j <_ N) -> (A.k e. ZZ ((N <_ k /\ j <_ k) -> ph) -> N e. ZZ))
64		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((j e. RR /\ N e. RR /\ k e. RR) -> ((j <_ N /\ N <_ k) -> j <_ k))
65	42, 64	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((j e. RR /\ k e. RR) -> ((j <_ N /\ N <_ k) -> j <_ k))
66	65, 46, 18	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((j e. Z /\ k e. ZZ) -> ((j <_ N /\ N <_ k) -> j <_ k))
67	66	expdimp 406	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((j e. Z /\ k e. ZZ) /\ j <_ N) -> (N <_ k -> j <_ k))
68	67	an1rs 547	. . . . . . . . . . . 12 |- (((j e. Z /\ j <_ N) /\ k e. ZZ) -> (N <_ k -> j <_ k))
69	68	ancld 322	. . . . . . . . . . 11 |- (((j e. Z /\ j <_ N) /\ k e. ZZ) -> (N <_ k -> (N <_ k /\ j <_ k)))
70	69	imim1d 33	. . . . . . . . . 10 |- (((j e. Z /\ j <_ N) /\ k e. ZZ) -> (((N <_ k /\ j <_ k) -> ph) -> (N <_ k -> ph)))
71	70	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . 9 |- ((j e. Z /\ j <_ N) -> (A.k e. ZZ ((N <_ k /\ j <_ k) -> ph) -> A.k e. ZZ (N <_ k -> ph)))
72	63, 71	jcad 661	. . . . . . . 8 |- ((j e. Z /\ j <_ N) -> (A.k e. ZZ ((N <_ k /\ j <_ k) -> ph) -> (N e. ZZ /\ A.k e. ZZ (N <_ k -> ph))))
73		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (m = N -> (m <_ k <-> N <_ k))
74	73	imbi1d 675	. . . . . . . . . 10 |- (m = N -> ((m <_ k -> ph) <-> (N <_ k -> ph)))
75	74	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (m = N -> (A.k e. ZZ (m <_ k -> ph) <-> A.k e. ZZ (N <_ k -> ph)))
76	75	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- ((N e. ZZ /\ A.k e. ZZ (N <_ k -> ph)) -> E.m e. ZZ A.k e. ZZ (m <_ k -> ph))
77	72, 76	syl6 25	. . . . . . 7 |- ((j e. Z /\ j <_ N) -> (A.k e. ZZ ((N <_ k /\ j <_ k) -> ph) -> E.m e. ZZ A.k e. ZZ (m <_ k -> ph)))
78	62, 77	jaodan 471	. . . . . 6 |- ((j e. Z /\ (N <_ j \/ j <_ N)) -> (A.k e. ZZ ((N <_ k /\ j <_ k) -> ph) -> E.m e. ZZ A.k e. ZZ (m <_ k -> ph)))
79		cvg3.5	. . . . . . . 8 |- (ZZ>=` N) C_ W
80		ssralv 2672	. . . . . . . 8 |- ((ZZ>=` N) C_ W -> (A.k e. W (j <_ k -> ph) -> A.k e. (ZZ>=` N)(j <_ k -> ph)))
81	79, 80	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (A.k e. W (j <_ k -> ph) -> A.k e. (ZZ>=` N)(j <_ k -> ph))
82		raluz 7611	. . . . . . . . 9 |- (N e. ZZ -> (A.k e. (ZZ>=` N)(j <_ k -> ph) <-> A.k e. ZZ (N <_ k -> (j <_ k -> ph))))
83	41, 82	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (A.k e. (ZZ>=` N)(j <_ k -> ph) <-> A.k e. ZZ (N <_ k -> (j <_ k -> ph)))
84		impexp 374	. . . . . . . . 9 |- (((N <_ k /\ j <_ k) -> ph) <-> (N <_ k -> (j <_ k -> ph)))
85	84	ralbii 2127	. . . . . . . 8 |- (A.k e. ZZ ((N <_ k /\ j <_ k) -> ph) <-> A.k e. ZZ (N <_ k -> (j <_ k -> ph)))
86	83, 85	bitr4i 193	. . . . . . 7 |- (A.k e. (ZZ>=` N)(j <_ k -> ph) <-> A.k e. ZZ ((N <_ k /\ j <_ k) -> ph))
87	81, 86	sylib 215	. . . . . 6 |- (A.k e. W (j <_ k -> ph) -> A.k e. ZZ ((N <_ k /\ j <_ k) -> ph))
88	78, 87	syl5 20	. . . . 5 |- ((j e. Z /\ (N <_ j \/ j <_ N)) -> (A.k e. W (j <_ k -> ph) -> E.m e. ZZ A.k e. ZZ (m <_ k -> ph)))
89	47, 88	mpdan 768	. . . 4 |- (j e. Z -> (A.k e. W (j <_ k -> ph) -> E.m e. ZZ A.k e. ZZ (m <_ k -> ph)))
90	89	r19.23aiv 2211	. . 3 |- (E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ph) -> E.m e. ZZ A.k e. ZZ (m <_ k -> ph))
91	39, 90	impbii 174	. 2 |- (E.m e. ZZ A.k e. ZZ (m <_ k -> ph) <-> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ph))
92	4, 91	bitri 190	1 |- (E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ph) <-> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ph))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  RRcr 6385   <_ cle 6448  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586

This theorem is referenced by:  cvganz 8176  cvganuzi 8177  clm1i 8337  lmbr2 9207  h2hlm 10482

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-z 7345  df-uz 7587

Copyright terms: Public domain