Theorem cvg1 8173

Description: A relationship used to derive two ways to express that a sequence converges. ph is ph(k).

Hypothesis

Ref	Expression
cvg1.1	|- Z = (ZZ>=` M)

Assertion

Ref	Expression
cvg1	|- (E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph) <-> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph))

Distinct variable groups:   k,M   j,k,Z   ph,j

Proof of Theorem cvg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1.1	. . . . . . 7 |- Z = (ZZ>=` M)
2	1	eleq2i 1961	. . . . . 6 |- (j e. Z <-> j e. (ZZ>=` M))
3		zltp1le 7390	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (j < k <-> (j + 1) <_ k))
4		eluzelz 7592	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. (ZZ>=` M) -> j e. ZZ)
5	1	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. Z <-> k e. (ZZ>=` M))
6		eluzelz 7592	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. (ZZ>=` M) -> k e. ZZ)
7	5, 6	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. Z -> k e. ZZ)
8	3, 4, 7	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. (ZZ>=` M) /\ k e. Z) -> (j < k <-> (j + 1) <_ k))
9	8	imbi1d 675	. . . . . . . . 9 |- ((j e. (ZZ>=` M) /\ k e. Z) -> ((j < k -> ph) <-> ((j + 1) <_ k -> ph)))
10	9	ralbidva 2119	. . . . . . . 8 |- (j e. (ZZ>=` M) -> (A.k e. Z (j < k -> ph) <-> A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph)))
11	10	biimpd 170	. . . . . . 7 |- (j e. (ZZ>=` M) -> (A.k e. Z (j < k -> ph) -> A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph)))
12		peano2uz 7616	. . . . . . . 8 |- (j e. (ZZ>=` M) -> (j + 1) e. (ZZ>=` M))
13	12, 1	syl6eleqr 1982	. . . . . . 7 |- (j e. (ZZ>=` M) -> (j + 1) e. Z)
14	11, 13	jctild 662	. . . . . 6 |- (j e. (ZZ>=` M) -> (A.k e. Z (j < k -> ph) -> ((j + 1) e. Z /\ A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph))))
15	2, 14	sylbi 216	. . . . 5 |- (j e. Z -> (A.k e. Z (j < k -> ph) -> ((j + 1) e. Z /\ A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph))))
16		breq1 3341	. . . . . . . 8 |- (m = (j + 1) -> (m <_ k <-> (j + 1) <_ k))
17	16	imbi1d 675	. . . . . . 7 |- (m = (j + 1) -> ((m <_ k -> ph) <-> ((j + 1) <_ k -> ph)))
18	17	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (m = (j + 1) -> (A.k e. Z (m <_ k -> ph) <-> A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph)))
19	18	rcla4ev 2381	. . . . 5 |- (((j + 1) e. Z /\ A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph)) -> E.m e. Z A.k e. Z (m <_ k -> ph))
20	15, 19	syl6 25	. . . 4 |- (j e. Z -> (A.k e. Z (j < k -> ph) -> E.m e. Z A.k e. Z (m <_ k -> ph)))
21	20	r19.23aiv 2211	. . 3 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph) -> E.m e. Z A.k e. Z (m <_ k -> ph))
22		breq1 3341	. . . . . 6 |- (m = j -> (m <_ k <-> j <_ k))
23	22	imbi1d 675	. . . . 5 |- (m = j -> ((m <_ k -> ph) <-> (j <_ k -> ph)))
24	23	ralbidv 2123	. . . 4 |- (m = j -> (A.k e. Z (m <_ k -> ph) <-> A.k e. Z (j <_ k -> ph)))
25	24	cbvrexv 2281	. . 3 |- (E.m e. Z A.k e. Z (m <_ k -> ph) <-> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph))
26	21, 25	sylib 215	. 2 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph))
27	1	cvg1i 8172	. 2 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph))
28	26, 27	impbii 174	1 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph) <-> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586

This theorem is referenced by:  caucvgi 8423

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587

Copyright terms: Public domain