HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cvexchi Structured version   Unicode version

Theorem cvexchi 25771
Description: The Hilbert lattice satisfies the exchange axiom. Proposition 1(iii) of [Kalmbach] p. 140 and its converse. Originally proved by Garrett Birkhoff in 1933. (Contributed by NM, 12-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chpssat.1  |-  A  e. 
CH
chpssat.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
cvexchi  |-  ( ( A  i^i  B ) 
<oH  B  <->  A  <oH  ( A  vH  B ) )

Proof of Theorem cvexchi
StepHypRef Expression
1 chpssat.1 . . 3  |-  A  e. 
CH
2 chpssat.2 . . 3  |-  B  e. 
CH
31, 2cvexchlem 25770 . 2  |-  ( ( A  i^i  B ) 
<oH  B  ->  A  <oH  ( A  vH  B ) )
42choccli 24708 . . . . 5  |-  ( _|_ `  B )  e.  CH
51choccli 24708 . . . . 5  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
64, 5cvexchlem 25770 . . . 4  |-  ( ( ( _|_ `  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  <oH  ( _|_ `  A )  ->  ( _|_ `  B
)  <oH  ( ( _|_ `  B )  vH  ( _|_ `  A ) ) )
71, 2chdmj1i 24882 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  ( A  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )
8 incom 3541 . . . . . 6  |-  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )
97, 8eqtri 2461 . . . . 5  |-  ( _|_ `  ( A  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )
109breq1i 4297 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) 
<oH  ( _|_ `  A
)  <->  ( ( _|_ `  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) 
<oH  ( _|_ `  A
) )
111, 2chdmm1i 24878 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  ( A  i^i  B
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  vH  ( _|_ `  B ) )
125, 4chjcomi 24869 . . . . . 6  |-  ( ( _|_ `  A )  vH  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  B
)  vH  ( _|_ `  A ) )
1311, 12eqtri 2461 . . . . 5  |-  ( _|_ `  ( A  i^i  B
) )  =  ( ( _|_ `  B
)  vH  ( _|_ `  A ) )
1413breq2i 4298 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  B ) 
<oH  ( _|_ `  ( A  i^i  B ) )  <-> 
( _|_ `  B
)  <oH  ( ( _|_ `  B )  vH  ( _|_ `  A ) ) )
156, 10, 143imtr4i 266 . . 3  |-  ( ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) 
<oH  ( _|_ `  A
)  ->  ( _|_ `  B )  <oH  ( _|_ `  ( A  i^i  B
) ) )
161, 2chjcli 24858 . . . 4  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
17 cvcon3 25686 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e.  CH )  -> 
( A  <oH  ( A  vH  B )  <->  ( _|_ `  ( A  vH  B
) )  <oH  ( _|_ `  A ) ) )
181, 16, 17mp2an 672 . . 3  |-  ( A 
<oH  ( A  vH  B
)  <->  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) 
<oH  ( _|_ `  A
) )
191, 2chincli 24861 . . . 4  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
20 cvcon3 25686 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( A  i^i  B )  <oH  B  <->  ( _|_ `  B )  <oH  ( _|_ `  ( A  i^i  B
) ) ) )
2119, 2, 20mp2an 672 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B ) 
<oH  B  <->  ( _|_ `  B
)  <oH  ( _|_ `  ( A  i^i  B ) ) )
2215, 18, 213imtr4i 266 . 2  |-  ( A 
<oH  ( A  vH  B
)  ->  ( A  i^i  B )  <oH  B )
233, 22impbii 188 1  |-  ( ( A  i^i  B ) 
<oH  B  <->  A  <oH  ( A  vH  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1756    i^i cin 3325   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CHcch 24329   _|_cort 24330    vH chj 24333    <oH ccv 24364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cc 8602  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360  ax-hilex 24399  ax-hfvadd 24400  ax-hvcom 24401  ax-hvass 24402  ax-hv0cl 24403  ax-hvaddid 24404  ax-hfvmul 24405  ax-hvmulid 24406  ax-hvmulass 24407  ax-hvdistr1 24408  ax-hvdistr2 24409  ax-hvmul0 24410  ax-hfi 24479  ax-his1 24482  ax-his2 24483  ax-his3 24484  ax-his4 24485  ax-hcompl 24602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-omul 6923  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-fi 7659  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-acn 8110  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-ioo 11302  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-rlim 12965  df-sum 13162  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-rest 14359  df-topn 14360  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-topgen 14380  df-pt 14381  df-prds 14384  df-xrs 14438  df-qtop 14443  df-imas 14444  df-xps 14446  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-mulg 15546  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-fbas 17812  df-fg 17813  df-cnfld 17817  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-cld 18621  df-ntr 18622  df-cls 18623  df-nei 18700  df-cn 18829  df-cnp 18830  df-lm 18831  df-haus 18917  df-tx 19133  df-hmeo 19326  df-fil 19417  df-fm 19509  df-flim 19510  df-flf 19511  df-xms 19893  df-ms 19894  df-tms 19895  df-cfil 20764  df-cau 20765  df-cmet 20766  df-grpo 23676  df-gid 23677  df-ginv 23678  df-gdiv 23679  df-ablo 23767  df-subgo 23787  df-vc 23922  df-nv 23968  df-va 23971  df-ba 23972  df-sm 23973  df-0v 23974  df-vs 23975  df-nmcv 23976  df-ims 23977  df-dip 24094  df-ssp 24118  df-ph 24211  df-cbn 24262  df-hnorm 24368  df-hba 24369  df-hvsub 24371  df-hlim 24372  df-hcau 24373  df-sh 24607  df-ch 24622  df-oc 24653  df-ch0 24654  df-shs 24709  df-span 24710  df-chj 24711  df-chsup 24712  df-pjh 24796  df-cv 25681  df-at 25740
This theorem is referenced by:  cvexch  25776
  Copyright terms: Public domain W3C validator