Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgredg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cusgredg 39656
Description: In a complete simple graph, the edges are all the pairs of different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iscusgrvtx.v  |-  V  =  (Vtx `  G )
iscusgredg.v  |-  E  =  (Edg `  G )
Assertion
Ref Expression
cusgredg  |-  ( G  e. ComplUSGraph  ->  E  =  {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
Distinct variable groups:    x, G    x, V
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem cusgredg
Dummy variables  v  n  p  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscusgrvtx.v . . 3  |-  V  =  (Vtx `  G )
2 iscusgredg.v . . 3  |-  E  =  (Edg `  G )
31, 2iscusgredg 39655 . 2  |-  ( G  e. ComplUSGraph 
<->  ( G  e. USGraph  /\  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) { n ,  v }  e.  E ) )
4 usgredgss 39408 . . . . 5  |-  ( G  e. USGraph  ->  (Edg `  G
)  C_  { x  e.  ~P (Vtx `  G
)  |  ( # `  x )  =  2 } )
51pweqi 3946 . . . . . 6  |-  ~P V  =  ~P (Vtx `  G
)
6 rabeq 3024 . . . . . 6  |-  ( ~P V  =  ~P (Vtx `  G )  ->  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  =  { x  e.  ~P (Vtx `  G )  |  ( # `  x
)  =  2 } )
75, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  =  { x  e.  ~P (Vtx `  G )  |  ( # `  x
)  =  2 }
84, 2, 73sstr4g 3459 . . . 4  |-  ( G  e. USGraph  ->  E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 } )
98adantr 472 . . 3  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) { n ,  v }  e.  E )  ->  E  C_  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 } )
10 elss2prb 12684 . . . . 5  |-  ( p  e.  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  <->  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( y  =/=  z  /\  p  =  { y ,  z } ) )
11 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  y  ->  { v }  =  { y } )
1211difeq2d 3540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  y  ->  ( V  \  { v } )  =  ( V 
\  { y } ) )
13 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  y  ->  { n ,  v }  =  { n ,  y } )
1413eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  y  ->  ( { n ,  v }  e.  E  <->  { n ,  y }  e.  E ) )
1512, 14raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  y  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { v } ) { n ,  v }  e.  E  <->  A. n  e.  ( V 
\  { y } ) { n ,  y }  e.  E
) )
1615rspcv 3132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  V  ->  ( A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) { n ,  v }  e.  E  ->  A. n  e.  ( V  \  { y } ) { n ,  y }  e.  E ) )
1716adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  ( A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) { n ,  v }  e.  E  ->  A. n  e.  ( V  \  {
y } ) { n ,  y }  e.  E ) )
1817adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  z  e.  V
)  /\  ( y  =/=  z  /\  p  =  { y ,  z } ) )  -> 
( A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) { n ,  v }  e.  E  ->  A. n  e.  ( V  \  {
y } ) { n ,  y }  e.  E ) )
19 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  z  e.  V )
20 necom 2696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =/=  z  <->  z  =/=  y )
2120biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =/=  z  ->  z  =/=  y )
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =/=  z  /\  p  =  { y ,  z } )  ->  z  =/=  y
)
2319, 22anim12i 576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  z  e.  V
)  /\  ( y  =/=  z  /\  p  =  { y ,  z } ) )  -> 
( z  e.  V  /\  z  =/=  y
) )
24 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( V  \  { y } )  <-> 
( z  e.  V  /\  z  =/=  y
) )
2523, 24sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  z  e.  V
)  /\  ( y  =/=  z  /\  p  =  { y ,  z } ) )  -> 
z  e.  ( V 
\  { y } ) )
26 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  z  ->  { n ,  y }  =  { z ,  y } )
2726eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  z  ->  ( { n ,  y }  e.  E  <->  { z ,  y }  e.  E ) )
2827rspcv 3132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( V  \  { y } )  ->  ( A. n  e.  ( V  \  {
y } ) { n ,  y }  e.  E  ->  { z ,  y }  e.  E ) )
2925, 28syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  z  e.  V
)  /\  ( y  =/=  z  /\  p  =  { y ,  z } ) )  -> 
( A. n  e.  ( V  \  {
y } ) { n ,  y }  e.  E  ->  { z ,  y }  e.  E ) )
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  { y ,  z }  ->  p  =  { y ,  z } )
31 prcom 4041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y ,  z }  =  { z ,  y }
3230, 31syl6req 2522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { y ,  z }  ->  { z ,  y }  =  p )
3332eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  { y ,  z }  ->  ( { z ,  y }  e.  E  <->  p  e.  E ) )
3433biimpd 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  { y ,  z }  ->  ( { z ,  y }  e.  E  ->  p  e.  E )
)
3534a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  { y ,  z }  ->  ( G  e. USGraph  ->  ( { z ,  y }  e.  E  ->  p  e.  E ) ) )
3635ad2antll 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  z  e.  V
)  /\  ( y  =/=  z  /\  p  =  { y ,  z } ) )  -> 
( G  e. USGraph  ->  ( { z ,  y }  e.  E  ->  p  e.  E )
) )
3736com23 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  z  e.  V
)  /\  ( y  =/=  z  /\  p  =  { y ,  z } ) )  -> 
( { z ,  y }  e.  E  ->  ( G  e. USGraph  ->  p  e.  E ) ) )
3818, 29, 373syld 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  V  /\  z  e.  V
)  /\  ( y  =/=  z  /\  p  =  { y ,  z } ) )  -> 
( A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) { n ,  v }  e.  E  ->  ( G  e. USGraph  ->  p  e.  E ) ) )
3938ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  ( ( y  =/=  z  /\  p  =  { y ,  z } )  ->  ( A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) { n ,  v }  e.  E  ->  ( G  e. USGraph  ->  p  e.  E ) ) ) )
4039rexlimivv 2876 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  V  E. z  e.  V  (
y  =/=  z  /\  p  =  { y ,  z } )  ->  ( A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) { n ,  v }  e.  E  ->  ( G  e. USGraph  ->  p  e.  E ) ) )
4140com13 82 . . . . . 6  |-  ( G  e. USGraph  ->  ( A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) { n ,  v }  e.  E  ->  ( E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( y  =/=  z  /\  p  =  {
y ,  z } )  ->  p  e.  E ) ) )
4241imp 436 . . . . 5  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) { n ,  v }  e.  E )  -> 
( E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( y  =/=  z  /\  p  =  { y ,  z } )  ->  p  e.  E ) )
4310, 42syl5bi 225 . . . 4  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) { n ,  v }  e.  E )  -> 
( p  e.  {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  p  e.  E
) )
4443ssrdv 3424 . . 3  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) { n ,  v }  e.  E )  ->  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } 
C_  E )
459, 44eqssd 3435 . 2  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) { n ,  v }  e.  E )  ->  E  =  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 } )
463, 45sylbi 200 1  |-  ( G  e. ComplUSGraph  ->  E  =  {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    \ cdif 3387    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   {cpr 3961   ` cfv 5589   2c2 10681   #chash 12553  Vtxcvtx 39251  Edgcedga 39371   USGraph cusgr 39397  ComplUSGraphccusgr 39564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-upgr 39328  df-umgr 39329  df-edga 39372  df-usgr 39399  df-nbgr 39565  df-uvtxa 39567  df-cplgr 39568  df-cusgr 39569
This theorem is referenced by:  cusgrfilem1  39681
  Copyright terms: Public domain W3C validator