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Theorem cusgrauvtxb 24623
Description: An undirected simple graph is complete if and only if each vertex is a universal vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 18-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cusgrauvtxb  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V UnivVertex  E )  =  V ) )

Proof of Theorem cusgrauvtxb
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 24465 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
2 iscusgra 24583 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) ) )
32baibd 909 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( V ComplUSGrph  E  <->  A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) )
4 dfcleq 2450 . . . . 5  |-  ( { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  =  V  <->  A. x
( x  e.  {
k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V
) )
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  =  V  <->  A. x ( x  e.  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V ) ) )
6 isuvtx 24615 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V UnivVertex  E )  =  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E } )
76eqeq1d 2459 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( V UnivVertex  E )  =  V  <->  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  =  V )
)
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( V UnivVertex  E )  =  V  <->  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  =  V )
)
9 df-ral 2812 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { x } ) { n ,  x }  e.  ran  E  <->  A. x
( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  { x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) )
10 bicom 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  V ) )
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( x  e.  V  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  V ) ) )
12 pm4.71 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  ( x  e.  V  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  ( x  e.  V  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
14 sneq 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  { k }  =  { x } )
1514difeq2d 3618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  ( V  \  { k } )  =  ( V 
\  { x }
) )
16 preq2 4112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  { n ,  k }  =  { n ,  x } )
1716eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  <->  { n ,  x }  e.  ran  E ) )
1815, 17raleqbidv 3068 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( V  \  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E ) )
1918elrab 3257 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V 
\  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E ) )
2019a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( x  e.  {
k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) ) )
2120bibi1d 319 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( x  e. 
{ k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V )  <->  ( (
x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V 
\  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  V
) ) )
2211, 13, 213bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  ( x  e.  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V ) ) )
2322albidv 1714 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( A. x ( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  A. x ( x  e.  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V ) ) )
249, 23syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E  <->  A. x
( x  e.  {
k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V
) ) )
255, 8, 243bitr4rd 286 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E  <->  ( V UnivVertex  E )  =  V ) )
263, 25bitrd 253 . 2  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( V ComplUSGrph  E  <->  ( V UnivVertex  E )  =  V ) )
271, 26mpancom 669 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V UnivVertex  E )  =  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456   ran crn 5009  (class class class)co 6296   USGrph cusg 24457   ComplUSGrph ccusgra 24545   UnivVertex cuvtx 24546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-usgra 24460  df-cusgra 24548  df-uvtx 24549
This theorem is referenced by:  vdiscusgra  25048
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