Theorem cusgrauvtxb 25272

Description: An undirected simple graph is complete if and only if each vertex is a universal vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 18-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cusgrauvtxb	|- ( V USGrph E -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )

Proof of Theorem cusgrauvtxb

Dummy variables k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrav 25113	. 2 |- ( V USGrph E -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
2		iscusgra 25232	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V USGrph E /\ A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) )
3	2	baibd 925	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( V ComplUSGrph E <-> A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
4		dfcleq 2455	. . . . 5 |- ( { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) )
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
6		isuvtx 25264	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V UnivVertex E ) = { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } )
7	6	eqeq1d 2463	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( V UnivVertex E ) = V <-> { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V ) )
8	7	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( V UnivVertex E ) = V <-> { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V ) )
9		df-ral 2753	. . . . 5 |- ( A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E <-> A. x ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
10		bicom 205	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) <-> ( ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> x e. V ) )
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) <-> ( ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> x e. V ) ) )
12		pm4.71 640	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) )
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) ) )
14		sneq 3989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> { k } = { x } )
15	14	difeq2d 3562	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( V \ { k } ) = ( V \ { x } ) )
16		preq2 4064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> { n , k } = { n , x } )
17	16	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( { n , k } e. ran E <-> { n , x } e. ran E ) )
18	15, 17	raleqbidv 3012	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E <-> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
19	18	elrab 3207	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) )
21	20	bibi1d 325	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) <-> ( ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> x e. V ) ) )
22	11, 13, 21	3bitr4d 293	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
23	22	albidv 1777	. . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( A. x ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
24	9, 23	syl5bb 265	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
25	5, 8, 24	3bitr4rd 294	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )
26	3, 25	bitrd 261	. 2 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )
27	1, 26	mpancom 680	1 |- ( V USGrph E -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   A.wal 1452   = wceq 1454   e. wcel 1897   A.wral 2748   {crab 2752   _Vcvv 3056   \ cdif 3412   {csn 3979   {cpr 3981   class class class wbr 4415   ran crn 4853  (class class class)co 6314   USGrph cusg 25105   ComplUSGrph ccusgra 25194   UnivVertex cuvtx 25195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-usgra 25108  df-cusgra 25197  df-uvtx 25198

This theorem is referenced by:  vdiscusgra  25697