Theorem cusgrauvtxb 25216

Description: An undirected simple graph is complete if and only if each vertex is a universal vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 18-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cusgrauvtxb	|- ( V USGrph E -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )

Proof of Theorem cusgrauvtxb

Dummy variables k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrav 25057	. 2 |- ( V USGrph E -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
2		iscusgra 25176	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V USGrph E /\ A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) )
3	2	baibd 918	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( V ComplUSGrph E <-> A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
4		dfcleq 2416	. . . . 5 |- ( { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) )
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
6		isuvtx 25208	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V UnivVertex E ) = { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } )
7	6	eqeq1d 2425	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( V UnivVertex E ) = V <-> { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V ) )
8	7	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( V UnivVertex E ) = V <-> { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V ) )
9		df-ral 2781	. . . . 5 |- ( A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E <-> A. x ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
10		bicom 204	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) <-> ( ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> x e. V ) )
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) <-> ( ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> x e. V ) ) )
12		pm4.71 635	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) )
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) ) )
14		sneq 4007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> { k } = { x } )
15	14	difeq2d 3584	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( V \ { k } ) = ( V \ { x } ) )
16		preq2 4078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> { n , k } = { n , x } )
17	16	eleq1d 2492	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( { n , k } e. ran E <-> { n , x } e. ran E ) )
18	15, 17	raleqbidv 3040	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E <-> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
19	18	elrab 3230	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) )
21	20	bibi1d 321	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) <-> ( ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> x e. V ) ) )
22	11, 13, 21	3bitr4d 289	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
23	22	albidv 1758	. . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( A. x ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
24	9, 23	syl5bb 261	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
25	5, 8, 24	3bitr4rd 290	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )
26	3, 25	bitrd 257	. 2 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )
27	1, 26	mpancom 674	1 |- ( V USGrph E -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1436   = wceq 1438   e. wcel 1869   A.wral 2776   {crab 2780   _Vcvv 3082   \ cdif 3434   {csn 3997   {cpr 3999   class class class wbr 4421   ran crn 4852  (class class class)co 6303   USGrph cusg 25049   ComplUSGrph ccusgra 25138   UnivVertex cuvtx 25139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pr 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-usgra 25052  df-cusgra 25141  df-uvtx 25142

This theorem is referenced by:  vdiscusgra  25641