Theorem cusgrauvtxb 23549

Description: An undirected simple graph is complete if and only if each vertex is a universal vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 18-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cusgrauvtxb	|- ( V USGrph E -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )

Proof of Theorem cusgrauvtxb

Dummy variables k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrav 23415	. 2 |- ( V USGrph E -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
2		iscusgra 23509	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V USGrph E /\ A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) )
3	2	baibd 900	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( V ComplUSGrph E <-> A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
4		dfcleq 2444	. . . . 5 |- ( { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) )
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
6		isuvtx 23541	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V UnivVertex E ) = { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } )
7	6	eqeq1d 2453	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( V UnivVertex E ) = V <-> { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V ) )
8	7	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( V UnivVertex E ) = V <-> { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V ) )
9		df-ral 2800	. . . . 5 |- ( A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E <-> A. x ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
10		bicom 200	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) <-> ( ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> x e. V ) )
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) <-> ( ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> x e. V ) ) )
12		pm4.71 630	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) )
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) ) )
14		sneq 3988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> { k } = { x } )
15	14	difeq2d 3575	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( V \ { k } ) = ( V \ { x } ) )
16		preq2 4056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> { n , k } = { n , x } )
17	16	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( { n , k } e. ran E <-> { n , x } e. ran E ) )
18	15, 17	raleqbidv 3030	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E <-> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
19	18	elrab 3217	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) )
21	20	bibi1d 319	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) <-> ( ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> x e. V ) ) )
22	11, 13, 21	3bitr4d 285	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
23	22	albidv 1680	. . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( A. x ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
24	9, 23	syl5bb 257	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
25	5, 8, 24	3bitr4rd 286	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )
26	3, 25	bitrd 253	. 2 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )
27	1, 26	mpancom 669	1 |- ( V USGrph E -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1368   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   {crab 2799   _Vcvv 3071   \ cdif 3426   {csn 3978   {cpr 3980   class class class wbr 4393   ran crn 4942  (class class class)co 6193   USGrph cusg 23409   ComplUSGrph ccusgra 23475   UnivVertex cuvtx 23476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pr 4632

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-usgra 23411  df-cusgra 23478  df-uvtx 23479

This theorem is referenced by:  vdiscusgra  30678