Theorem cusgrauvtxb 24623

Description: An undirected simple graph is complete if and only if each vertex is a universal vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 18-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cusgrauvtxb	|- ( V USGrph E -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )

Proof of Theorem cusgrauvtxb

Dummy variables k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrav 24465	. 2 |- ( V USGrph E -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
2		iscusgra 24583	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V USGrph E /\ A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) )
3	2	baibd 909	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( V ComplUSGrph E <-> A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
4		dfcleq 2450	. . . . 5 |- ( { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) )
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
6		isuvtx 24615	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V UnivVertex E ) = { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } )
7	6	eqeq1d 2459	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( V UnivVertex E ) = V <-> { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V ) )
8	7	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( V UnivVertex E ) = V <-> { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } = V ) )
9		df-ral 2812	. . . . 5 |- ( A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E <-> A. x ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
10		bicom 200	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) <-> ( ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> x e. V ) )
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) <-> ( ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> x e. V ) ) )
12		pm4.71 630	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) )
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> ( x e. V <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) ) )
14		sneq 4042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> { k } = { x } )
15	14	difeq2d 3618	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( V \ { k } ) = ( V \ { x } ) )
16		preq2 4112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> { n , k } = { n , x } )
17	16	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( { n , k } e. ran E <-> { n , x } e. ran E ) )
18	15, 17	raleqbidv 3068	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E <-> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
19	18	elrab 3257	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) ) )
21	20	bibi1d 319	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) <-> ( ( x e. V /\ A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> x e. V ) ) )
22	11, 13, 21	3bitr4d 285	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
23	22	albidv 1714	. . . . 5 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( A. x ( x e. V -> A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E ) <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
24	9, 23	syl5bb 257	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E <-> A. x ( x e. { k e. V | A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E } <-> x e. V ) ) )
25	5, 8, 24	3bitr4rd 286	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( A. x e. V A. n e. ( V \ { x } ) { n , x } e. ran E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )
26	3, 25	bitrd 253	. 2 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ V USGrph E ) -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )
27	1, 26	mpancom 669	1 |- ( V USGrph E -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V UnivVertex E ) = V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456   ran crn 5009  (class class class)co 6296   USGrph cusg 24457   ComplUSGrph ccusgra 24545   UnivVertex cuvtx 24546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-usgra 24460  df-cusgra 24548  df-uvtx 24549

This theorem is referenced by:  vdiscusgra  25048