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Theorem cusgrauvtxb 25272
Description: An undirected simple graph is complete if and only if each vertex is a universal vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 18-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cusgrauvtxb  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V UnivVertex  E )  =  V ) )

Proof of Theorem cusgrauvtxb
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 25113 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
2 iscusgra 25232 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) ) )
32baibd 925 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( V ComplUSGrph  E  <->  A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) )
4 dfcleq 2455 . . . . 5  |-  ( { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  =  V  <->  A. x
( x  e.  {
k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V
) )
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  =  V  <->  A. x ( x  e.  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V ) ) )
6 isuvtx 25264 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V UnivVertex  E )  =  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E } )
76eqeq1d 2463 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( V UnivVertex  E )  =  V  <->  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  =  V )
)
87adantr 471 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( V UnivVertex  E )  =  V  <->  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  =  V )
)
9 df-ral 2753 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { x } ) { n ,  x }  e.  ran  E  <->  A. x
( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  { x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) )
10 bicom 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  V ) )
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( x  e.  V  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  V ) ) )
12 pm4.71 640 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  ( x  e.  V  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  ( x  e.  V  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
14 sneq 3989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  { k }  =  { x } )
1514difeq2d 3562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  ( V  \  { k } )  =  ( V 
\  { x }
) )
16 preq2 4064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  { n ,  k }  =  { n ,  x } )
1716eleq1d 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  <->  { n ,  x }  e.  ran  E ) )
1815, 17raleqbidv 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( V  \  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E ) )
1918elrab 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V 
\  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E ) )
2019a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( x  e.  {
k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) ) )
2120bibi1d 325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( x  e. 
{ k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V )  <->  ( (
x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V 
\  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  V
) ) )
2211, 13, 213bitr4d 293 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  ( x  e.  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V ) ) )
2322albidv 1777 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( A. x ( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  A. x ( x  e.  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V ) ) )
249, 23syl5bb 265 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E  <->  A. x
( x  e.  {
k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V
) ) )
255, 8, 243bitr4rd 294 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E  <->  ( V UnivVertex  E )  =  V ) )
263, 25bitrd 261 . 2  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( V ComplUSGrph  E  <->  ( V UnivVertex  E )  =  V ) )
271, 26mpancom 680 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V UnivVertex  E )  =  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1452    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   {crab 2752   _Vcvv 3056    \ cdif 3412   {csn 3979   {cpr 3981   class class class wbr 4415   ran crn 4853  (class class class)co 6314   USGrph cusg 25105   ComplUSGrph ccusgra 25194   UnivVertex cuvtx 25195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-usgra 25108  df-cusgra 25197  df-uvtx 25198
This theorem is referenced by:  vdiscusgra  25697
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