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Theorem cusgrauvtxb 25216
Description: An undirected simple graph is complete if and only if each vertex is a universal vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 18-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cusgrauvtxb  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V UnivVertex  E )  =  V ) )

Proof of Theorem cusgrauvtxb
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 25057 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
2 iscusgra 25176 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) ) )
32baibd 918 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( V ComplUSGrph  E  <->  A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) )
4 dfcleq 2416 . . . . 5  |-  ( { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  =  V  <->  A. x
( x  e.  {
k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V
) )
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  =  V  <->  A. x ( x  e.  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V ) ) )
6 isuvtx 25208 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V UnivVertex  E )  =  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E } )
76eqeq1d 2425 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( V UnivVertex  E )  =  V  <->  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  =  V )
)
87adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( V UnivVertex  E )  =  V  <->  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  =  V )
)
9 df-ral 2781 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { x } ) { n ,  x }  e.  ran  E  <->  A. x
( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  { x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) )
10 bicom 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  V ) )
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( x  e.  V  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  V ) ) )
12 pm4.71 635 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  ( x  e.  V  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  ( x  e.  V  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
14 sneq 4007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  { k }  =  { x } )
1514difeq2d 3584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  ( V  \  { k } )  =  ( V 
\  { x }
) )
16 preq2 4078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  { n ,  k }  =  { n ,  x } )
1716eleq1d 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  <->  { n ,  x }  e.  ran  E ) )
1815, 17raleqbidv 3040 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( V  \  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E ) )
1918elrab 3230 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V 
\  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E ) )
2019a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( x  e.  {
k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  ( x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E ) ) )
2120bibi1d 321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( x  e. 
{ k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V )  <->  ( (
x  e.  V  /\  A. n  e.  ( V 
\  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  V
) ) )
2211, 13, 213bitr4d 289 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( ( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  ( x  e.  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V ) ) )
2322albidv 1758 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( A. x ( x  e.  V  ->  A. n  e.  ( V  \  { x }
) { n ,  x }  e.  ran  E )  <->  A. x ( x  e.  { k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V ) ) )
249, 23syl5bb 261 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E  <->  A. x
( x  e.  {
k  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E }  <->  x  e.  V
) ) )
255, 8, 243bitr4rd 290 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( A. x  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
x } ) { n ,  x }  e.  ran  E  <->  ( V UnivVertex  E )  =  V ) )
263, 25bitrd 257 . 2  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  V USGrph  E )  -> 
( V ComplUSGrph  E  <->  ( V UnivVertex  E )  =  V ) )
271, 26mpancom 674 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V UnivVertex  E )  =  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1436    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   {crab 2780   _Vcvv 3082    \ cdif 3434   {csn 3997   {cpr 3999   class class class wbr 4421   ran crn 4852  (class class class)co 6303   USGrph cusg 25049   ComplUSGrph ccusgra 25138   UnivVertex cuvtx 25139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pr 4658
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-usgra 25052  df-cusgra 25141  df-uvtx 25142
This theorem is referenced by:  vdiscusgra  25641
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