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Theorem cusgrasizeinds 24180
Description: Part 1 of induction step in cusgrasize 24182. The size of a complete simple graph with  n vertices is  ( n  -  1 ) plus the size of the complete graph reduced by one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
Assertion
Ref Expression
cusgrasizeinds  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, N    x, V
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem cusgrasizeinds
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 24162 . . . 4  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 usgrafis 24119 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  E  e.  Fin )
32a1d 25 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  ( N  e.  V  ->  E  e.  Fin ) )
43ex 434 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  E  e.  Fin ) ) )
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  E  e.  Fin ) ) )
653imp 1190 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  E  e.  Fin )
7 usgrafun 24053 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  Fun  E )
983ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  Fun  E )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  Fun  E )
11 hashfun 12461 . . . . 5  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( Fun  E  <->  ( # `  E
)  =  ( # `  dom  E ) ) )
1211adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( Fun  E  <->  ( # `  E
)  =  ( # `  dom  E ) ) )
1310, 12mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  =  ( # `  dom  E ) )
14 cusgrares.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
1514cusgrasizeindslem1 24177 . . . . . 6  |-  dom  E  =  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  dom  E  =  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )
1716fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  E )  =  ( # `  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) ) )
18 finresfin 7745 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( E  |`  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  e. 
Fin )
1914, 18syl5eqel 2559 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  Fin  ->  F  e.  Fin )
20 dmfi 7803 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  F  e.  Fin )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  F  e.  Fin )
2221adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  dom  F  e.  Fin )
23 dmfi 7803 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  E  e.  Fin )
24 rabfi 7744 . . . . . . 7  |-  ( dom 
E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin )
2523, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
2625adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
2714cusgrasizeindslem2 24178 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  i^i  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  (/)
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( dom  F  i^i  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  (/) )
29 hashun 12418 . . . . 5  |-  ( ( dom  F  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin  /\  ( dom  F  i^i  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )  =  ( ( # `  dom  F )  +  ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) ) )
3022, 26, 28, 29syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )  =  ( ( # `  dom  F )  +  ( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) ) )
3114cusgrasizeindslem3 24179 . . . . . . 7  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
3231adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
3332oveq2d 6300 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  dom  F
)  +  ( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )  =  ( ( # `  dom  F )  +  ( (
# `  V )  -  1 ) ) )
34 hashcl 12396 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
F  e.  Fin  ->  (
# `  dom  F )  e.  NN0 )
3534nn0cnd 10854 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
F  e.  Fin  ->  (
# `  dom  F )  e.  CC )
3619, 20, 353syl 20 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  F )  e.  CC )
3736adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  F )  e.  CC )
38 hashcl 12396 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
39 nn0cn 10805 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( # `  V
)  e.  CC )
40 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
4239, 41subcld 9930 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 V )  - 
1 )  e.  CC )
4338, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e.  CC )
44433ad2ant2 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e.  CC )
4544adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e.  CC )
4637, 45addcomd 9781 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  dom  F
)  +  ( (
# `  V )  -  1 ) )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) ) )
4733, 46eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  dom  F
)  +  ( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) ) )
4817, 30, 473eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  E )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) ) )
4914cusgrares 24176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) ComplUSGrph  F )
50 cusisusgra 24162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  ->  ( V  \  { N }
) USGrph  F )
51 usgrafun 24053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  \  { N } ) USGrph  F  ->  Fun  F )
5249, 50, 513syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  Fun  F )
53523adant2 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  Fun  F )
5453adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  Fun  F )
5519adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )
56 hashfun 12461 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )
5755, 56syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )
5854, 57mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 F )  =  ( # `  dom  F ) )
5958eqcomd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  F )  =  ( # `  F
) )
6059oveq2d 6300 . . 3  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) ) )
6113, 48, 603eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
626, 61mpdan 668 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    e/ wnel 2663   {crab 2818    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447   dom cdm 4999    |` cres 5001   Fun wfun 5582   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   CCcc 9490   1c1 9493    + caddc 9495    - cmin 9805   NN0cn0 10795   #chash 12373   USGrph cusg 24034   ComplUSGrph ccusgra 24122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-usgra 24037  df-nbgra 24124  df-cusgra 24125
This theorem is referenced by:  cusgrasize2inds  24181
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