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Theorem cusgrasizeinds 23406
Description: Part 1 of induction step in cusgrasize 23408. The size of a complete simple graph with  n vertices is  ( n  -  1 ) plus the size of the complete graph reduced by one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
Assertion
Ref Expression
cusgrasizeinds  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, N    x, V
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem cusgrasizeinds
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 23388 . . . 4  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 usgrafis 23350 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  E  e.  Fin )
32a1d 25 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  ( N  e.  V  ->  E  e.  Fin ) )
43ex 434 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  E  e.  Fin ) ) )
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  E  e.  Fin ) ) )
653imp 1181 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  E  e.  Fin )
7 usgrafun 23299 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  Fun  E )
983ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  Fun  E )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  Fun  E )
11 hashfun 12220 . . . . 5  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( Fun  E  <->  ( # `  E
)  =  ( # `  dom  E ) ) )
1211adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( Fun  E  <->  ( # `  E
)  =  ( # `  dom  E ) ) )
1310, 12mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  =  ( # `  dom  E ) )
14 cusgrares.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
1514cusgrasizeindslem1 23403 . . . . . 6  |-  dom  E  =  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  dom  E  =  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )
1716fveq2d 5716 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  E )  =  ( # `  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) ) )
18 finresfin 7559 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( E  |`  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  e. 
Fin )
1914, 18syl5eqel 2527 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  Fin  ->  F  e.  Fin )
20 dmfi 7615 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  F  e.  Fin )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  F  e.  Fin )
2221adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  dom  F  e.  Fin )
23 dmfi 7615 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  E  e.  Fin )
24 rabfi 7558 . . . . . . 7  |-  ( dom 
E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin )
2523, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
2625adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
2714cusgrasizeindslem2 23404 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  i^i  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  (/)
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( dom  F  i^i  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  (/) )
29 hashun 12166 . . . . 5  |-  ( ( dom  F  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin  /\  ( dom  F  i^i  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )  =  ( ( # `  dom  F )  +  ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) ) )
3022, 26, 28, 29syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )  =  ( ( # `  dom  F )  +  ( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) ) )
3114cusgrasizeindslem3 23405 . . . . . . 7  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
3231adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
3332oveq2d 6128 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  dom  F
)  +  ( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )  =  ( ( # `  dom  F )  +  ( (
# `  V )  -  1 ) ) )
34 hashcl 12147 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
F  e.  Fin  ->  (
# `  dom  F )  e.  NN0 )
3534nn0cnd 10659 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
F  e.  Fin  ->  (
# `  dom  F )  e.  CC )
3619, 20, 353syl 20 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  F )  e.  CC )
3736adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  F )  e.  CC )
38 hashcl 12147 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
39 nn0cn 10610 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( # `  V
)  e.  CC )
40 ax-1cn 9361 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
4239, 41subcld 9740 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 V )  - 
1 )  e.  CC )
4338, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e.  CC )
44433ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e.  CC )
4544adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e.  CC )
4637, 45addcomd 9592 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  dom  F
)  +  ( (
# `  V )  -  1 ) )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) ) )
4733, 46eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  dom  F
)  +  ( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) ) )
4817, 30, 473eqtrd 2479 . . 3  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  E )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) ) )
4914cusgrares 23402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) ComplUSGrph  F )
50 cusisusgra 23388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  ->  ( V  \  { N }
) USGrph  F )
51 usgrafun 23299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  \  { N } ) USGrph  F  ->  Fun  F )
5249, 50, 513syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  Fun  F )
53523adant2 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  Fun  F )
5453adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  Fun  F )
5519adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )
56 hashfun 12220 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )
5755, 56syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )
5854, 57mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 F )  =  ( # `  dom  F ) )
5958eqcomd 2448 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  F )  =  ( # `  F
) )
6059oveq2d 6128 . . 3  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) ) )
6113, 48, 603eqtrd 2479 . 2  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
626, 61mpdan 668 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    e/ wnel 2621   {crab 2740    \ cdif 3346    u. cun 3347    i^i cin 3348   (/)c0 3658   {csn 3898   class class class wbr 4313   dom cdm 4861    |` cres 4863   Fun wfun 5433   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   CCcc 9301   1c1 9304    + caddc 9306    - cmin 9616   NN0cn0 10600   #chash 12124   USGrph cusg 23286   ComplUSGrph ccusgra 23352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-hash 12125  df-usgra 23288  df-nbgra 23354  df-cusgra 23355
This theorem is referenced by:  cusgrasize2inds  23407
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