Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrasizeinds Structured version   Unicode version

Theorem cusgrasizeinds 24180
 Description: Part 1 of induction step in cusgrasize 24182. The size of a complete simple graph with vertices is plus the size of the complete graph reduced by one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f
Assertion
Ref Expression
cusgrasizeinds ComplUSGrph
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem cusgrasizeinds
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 24162 . . . 4 ComplUSGrph USGrph
2 usgrafis 24119 . . . . . 6 USGrph
32a1d 25 . . . . 5 USGrph
43ex 434 . . . 4 USGrph
51, 4syl 16 . . 3 ComplUSGrph
653imp 1190 . 2 ComplUSGrph
7 usgrafun 24053 . . . . . . 7 USGrph
81, 7syl 16 . . . . . 6 ComplUSGrph
983ad2ant1 1017 . . . . 5 ComplUSGrph
109adantr 465 . . . 4 ComplUSGrph
11 hashfun 12461 . . . . 5
1211adantl 466 . . . 4 ComplUSGrph
1310, 12mpbid 210 . . 3 ComplUSGrph
14 cusgrares.f . . . . . . 7
1514cusgrasizeindslem1 24177 . . . . . 6
1615a1i 11 . . . . 5 ComplUSGrph
1716fveq2d 5870 . . . 4 ComplUSGrph
18 finresfin 7745 . . . . . . . 8
1914, 18syl5eqel 2559 . . . . . . 7
20 dmfi 7803 . . . . . . 7
2119, 20syl 16 . . . . . 6
2221adantl 466 . . . . 5 ComplUSGrph
23 dmfi 7803 . . . . . . 7
24 rabfi 7744 . . . . . . 7
2523, 24syl 16 . . . . . 6
2625adantl 466 . . . . 5 ComplUSGrph
2714cusgrasizeindslem2 24178 . . . . . 6
2827a1i 11 . . . . 5 ComplUSGrph
29 hashun 12418 . . . . 5
3022, 26, 28, 29syl3anc 1228 . . . 4 ComplUSGrph
3114cusgrasizeindslem3 24179 . . . . . . 7 ComplUSGrph
3231adantr 465 . . . . . 6 ComplUSGrph
3332oveq2d 6300 . . . . 5 ComplUSGrph
34 hashcl 12396 . . . . . . . . 9
3534nn0cnd 10854 . . . . . . . 8
3619, 20, 353syl 20 . . . . . . 7
3736adantl 466 . . . . . 6 ComplUSGrph
38 hashcl 12396 . . . . . . . . 9
39 nn0cn 10805 . . . . . . . . . 10
40 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . . 11
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10
4239, 41subcld 9930 . . . . . . . . 9
4338, 42syl 16 . . . . . . . 8
44433ad2ant2 1018 . . . . . . 7 ComplUSGrph
4544adantr 465 . . . . . 6 ComplUSGrph
4637, 45addcomd 9781 . . . . 5 ComplUSGrph
4733, 46eqtrd 2508 . . . 4 ComplUSGrph
4817, 30, 473eqtrd 2512 . . 3 ComplUSGrph
4914cusgrares 24176 . . . . . . . . 9 ComplUSGrph ComplUSGrph
50 cusisusgra 24162 . . . . . . . . 9 ComplUSGrph USGrph
51 usgrafun 24053 . . . . . . . . 9 USGrph
5249, 50, 513syl 20 . . . . . . . 8 ComplUSGrph
53523adant2 1015 . . . . . . 7 ComplUSGrph
5453adantr 465 . . . . . 6 ComplUSGrph
5519adantl 466 . . . . . . 7 ComplUSGrph
56 hashfun 12461 . . . . . . 7
5755, 56syl 16 . . . . . 6 ComplUSGrph
5854, 57mpbid 210 . . . . 5 ComplUSGrph
5958eqcomd 2475 . . . 4 ComplUSGrph
6059oveq2d 6300 . . 3 ComplUSGrph
6113, 48, 603eqtrd 2512 . 2 ComplUSGrph
626, 61mpdan 668 1 ComplUSGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wnel 2663  crab 2818   cdif 3473   cun 3474   cin 3475  c0 3785  csn 4027   class class class wbr 4447   cdm 4999   cres 5001   wfun 5582  cfv 5588  (class class class)co 6284  cfn 7516  cc 9490  c1 9493   caddc 9495   cmin 9805  cn0 10795  chash 12373   USGrph cusg 24034   ComplUSGrph ccusgra 24122 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-usgra 24037  df-nbgra 24124  df-cusgra 24125 This theorem is referenced by:  cusgrasize2inds  24181
 Copyright terms: Public domain W3C validator