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Theorem cusgrasizeinds 24597
Description: Part 1 of induction step in cusgrasize 24599. The size of a complete simple graph with  n vertices is  ( n  -  1 ) plus the size of the complete graph reduced by one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
Assertion
Ref Expression
cusgrasizeinds  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, N    x, V
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem cusgrasizeinds
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 24579 . . . 4  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 usgrafis 24536 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  E  e.  Fin )
32a1d 25 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  ( N  e.  V  ->  E  e.  Fin ) )
43ex 432 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  E  e.  Fin ) ) )
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  E  e.  Fin ) ) )
653imp 1188 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  E  e.  Fin )
7 usgrafun 24470 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  Fun  E )
983ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  Fun  E )
109adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  Fun  E )
11 hashfun 12399 . . . . 5  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( Fun  E  <->  ( # `  E
)  =  ( # `  dom  E ) ) )
1211adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( Fun  E  <->  ( # `  E
)  =  ( # `  dom  E ) ) )
1310, 12mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  =  ( # `  dom  E ) )
14 cusgrares.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
1514cusgrasizeindslem1 24594 . . . . . 6  |-  dom  E  =  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  dom  E  =  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )
1716fveq2d 5778 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  E )  =  ( # `  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) ) )
18 finresfin 7661 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( E  |`  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  e. 
Fin )
1914, 18syl5eqel 2474 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  Fin  ->  F  e.  Fin )
20 dmfi 7718 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  F  e.  Fin )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  F  e.  Fin )
2221adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  dom  F  e.  Fin )
23 dmfi 7718 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  E  e.  Fin )
24 rabfi 7660 . . . . . . 7  |-  ( dom 
E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin )
2523, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
2625adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
2714cusgrasizeindslem2 24595 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  i^i  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  (/)
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( dom  F  i^i  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  (/) )
29 hashun 12353 . . . . 5  |-  ( ( dom  F  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin  /\  ( dom  F  i^i  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )  =  ( ( # `  dom  F )  +  ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) ) )
3022, 26, 28, 29syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )  =  ( ( # `  dom  F )  +  ( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) ) )
3114cusgrasizeindslem3 24596 . . . . . . 7  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
3231adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
3332oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  dom  F
)  +  ( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )  =  ( ( # `  dom  F )  +  ( (
# `  V )  -  1 ) ) )
34 hashcl 12330 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
F  e.  Fin  ->  (
# `  dom  F )  e.  NN0 )
3534nn0cnd 10771 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
F  e.  Fin  ->  (
# `  dom  F )  e.  CC )
3619, 20, 353syl 20 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  F )  e.  CC )
3736adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  F )  e.  CC )
38 hashcl 12330 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
39 nn0cn 10722 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( # `  V
)  e.  CC )
40 1cnd 9523 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
4139, 40subcld 9844 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 V )  - 
1 )  e.  CC )
4238, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e.  CC )
43423ad2ant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e.  CC )
4443adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e.  CC )
4537, 44addcomd 9693 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  dom  F
)  +  ( (
# `  V )  -  1 ) )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) ) )
4633, 45eqtrd 2423 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  dom  F
)  +  ( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) ) )
4717, 30, 463eqtrd 2427 . . 3  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  E )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) ) )
4814cusgrares 24593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) ComplUSGrph  F )
49 cusisusgra 24579 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  ->  ( V  \  { N }
) USGrph  F )
50 usgrafun 24470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  \  { N } ) USGrph  F  ->  Fun  F )
5148, 49, 503syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  Fun  F )
52513adant2 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  Fun  F )
5352adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  Fun  F )
5419adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )
55 hashfun 12399 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )
5654, 55syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )
5753, 56mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 F )  =  ( # `  dom  F ) )
5857eqcomd 2390 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  F )  =  ( # `  F
) )
5958oveq2d 6212 . . 3  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) ) )
6013, 47, 593eqtrd 2427 . 2  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
616, 60mpdan 666 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    e/ wnel 2578   {crab 2736    \ cdif 3386    u. cun 3387    i^i cin 3388   (/)c0 3711   {csn 3944   class class class wbr 4367   dom cdm 4913    |` cres 4915   Fun wfun 5490   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   CCcc 9401   1c1 9404    + caddc 9406    - cmin 9718   NN0cn0 10712   #chash 12307   USGrph cusg 24451   ComplUSGrph ccusgra 24539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-hash 12308  df-usgra 24454  df-nbgra 24541  df-cusgra 24542
This theorem is referenced by:  cusgrasize2inds  24598
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