MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrasizeindb0 Structured version   Unicode version

Theorem cusgrasizeindb0 23376
Description: Base case of the induction in cusgrasize 23384. The size of a complete simple graph with 0 vertices is 0=((0-1)*0)/2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cusgrasizeindb0  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  0 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) )

Proof of Theorem cusgrasizeindb0
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 23364 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 usgrafisindb0 23319 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 V )  =  0 )  ->  ( # `
 E )  =  0 )
31, 2sylan 471 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  0 )  ->  ( # `  E
)  =  0 )
4 oveq1 6096 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  (
( # `  V )  _C  2 )  =  ( 0  _C  2
) )
5 2nn 10477 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
6 bc0k 12085 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  NN  ->  (
0  _C  2 )  =  0 )
75, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0  _C  2 )  =  0
84, 7syl6eq 2489 . . . 4  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  (
( # `  V )  _C  2 )  =  0 )
98eqeq2d 2452 . . 3  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  (
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
)  <->  ( # `  E
)  =  0 ) )
109adantl 466 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  0 )  ->  ( ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 )  <-> 
( # `  E )  =  0 ) )
113, 10mpbird 232 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  0 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   0cc0 9280   NNcn 10320   2c2 10369    _C cbc 12076   #chash 12101   USGrph cusg 23262   ComplUSGrph ccusgra 23328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-bc 12077  df-hash 12102  df-usgra 23264  df-cusgra 23331
This theorem is referenced by:  cusgrasize  23384
  Copyright terms: Public domain W3C validator