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Theorem cusgrasize2inds 23407
Description: Induction step in cusgrasize 23408. If the size of the complete graph with  n vertices reduced by one vertex is " ( n  -  1 ) choose 2", the size of the complete graph with  n vertices is " n choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
Assertion
Ref Expression
cusgrasize2inds  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
)  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, N    x, V
Allowed substitution hints:    F( x)    Y( x)

Proof of Theorem cusgrasize2inds
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 23388 . . . . 5  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 usgrav 23292 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
4 hashnn0n0nn 12174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( ( # `  V
)  =  Y  /\  N  e.  V )
)  ->  Y  e.  NN )
54anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  ->  Y  e.  NN )
6 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  V  e. 
_V )
7 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  N  e.  V )
8 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  =  ( # `  V
)  ->  ( Y  e.  NN  <->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
98eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( Y  e.  NN  <->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
10 nnm1nn0 10642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 V )  - 
1 )  e.  NN0 )
119, 10syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( Y  e.  NN  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e. 
NN0 ) )
1211ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( ( # `
 V )  - 
1 )  e.  NN0 ) )
1312imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( (
# `  V )  -  1 )  e. 
NN0 )
14 nncn 10351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( # `  V
)  e.  CC )
15 ax-1cn 9361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1714, 16npcand 9744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( (
( # `  V )  -  1 )  +  1 )  =  (
# `  V )
)
1817eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( # `  V
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 ) )
199, 18syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( # `
 V )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  1 ) ) )
2019ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( # `  V
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 ) ) )
2120imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  V )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 ) )
22 brfi1indlem 12239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  N  e.  V  /\  ( ( # `  V
)  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 )  -> 
( # `  ( V 
\  { N }
) )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) ) )
2322imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  N  e.  V  /\  ( ( # `  V
)  -  1 )  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( # `  ( V 
\  { N }
) )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
246, 7, 13, 21, 23syl31anc 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  ( V  \  { N } ) )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
25 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 ) )
2625eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  <-> 
( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) )
279ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  <->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
28 nnnn0 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
29 hashclb 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  e.  Fin  <->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
)
3028, 29syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( V  e.  _V  ->  V  e.  Fin ) )
3130impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  e.  NN )  ->  V  e.  Fin )
32 cusgrares.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
3332cusgrasizeinds 23406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
34 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  (
( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) )
3534eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  (
( # `  E )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  F
) )  <->  ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) ) )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  <->  ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) ) )
37 bcn2m1 12121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( (
( # `  V )  -  1 )  +  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) )
3837eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 ) )  <-> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) )
3938biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 ) )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) )
4136, 40sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) )
4241ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( ( # `  E )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
4342com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  E )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  F
) )  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  (
( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
4433, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  (
( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
45443exp 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( # `
 V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
4645com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) ) )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  e.  NN )  -> 
( V  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) ) )
4831, 47mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  e.  NN )  -> 
( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) )
4948ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
5049com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V  e.  _V  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( # `  V
)  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  =  Y )  -> 
( N  e.  V  ->  ( ( # `  V
)  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( ( # `
 V )  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) )
5327, 52sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) )
5453imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) )
5554com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( (
( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
5626, 55syl6bi 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( V ComplUSGrph  E  -> 
( ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
5756com24 87 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( V ComplUSGrph  E  -> 
( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
5824, 57mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
5958ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
6059adantllr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
615, 60mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
6261exp41 610 . . . . . 6  |-  ( V  e.  _V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  (
( # `  V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) ) )
6362com25 91 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) ) ) ) )
6463adantr 465 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  V
)  =  Y  -> 
( N  e.  V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) ) )
653, 64mpcom 36 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
66653imp 1181 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
6766com12 31 1  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
)  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    e/ wnel 2621   {crab 2740   _Vcvv 2993    \ cdif 3346   {csn 3898   class class class wbr 4313   dom cdm 4861    |` cres 4863   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   CCcc 9301   1c1 9304    + caddc 9306    - cmin 9616   NNcn 10343   2c2 10392   NN0cn0 10600    _C cbc 12099   #chash 12124   USGrph cusg 23286   ComplUSGrph ccusgra 23352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-fz 11459  df-seq 11828  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-usgra 23288  df-nbgra 23354  df-cusgra 23355
This theorem is referenced by:  cusgrasize  23408
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