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Theorem cusgrasize2inds 25091
Description: Induction step in cusgrasize 25092. If the size of the complete graph with  n vertices reduced by one vertex is " ( n  -  1 ) choose 2", the size of the complete graph with  n vertices is " n choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
Assertion
Ref Expression
cusgrasize2inds  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
)  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, N    x, V
Allowed substitution hints:    F( x)    Y( x)

Proof of Theorem cusgrasize2inds
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 25072 . . . . 5  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 usgrav 24952 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
4 hashnn0n0nn 12556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( ( # `  V
)  =  Y  /\  N  e.  V )
)  ->  Y  e.  NN )
54anassrs 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  ->  Y  e.  NN )
6 simplll 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  V  e. 
_V )
7 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  N  e.  V )
8 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  =  ( # `  V
)  ->  ( Y  e.  NN  <->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
98eqcoms 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( Y  e.  NN  <->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
10 nnm1nn0 10900 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 V )  - 
1 )  e.  NN0 )
119, 10syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( Y  e.  NN  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e. 
NN0 ) )
1211ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( ( # `
 V )  - 
1 )  e.  NN0 ) )
1312imp 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( (
# `  V )  -  1 )  e. 
NN0 )
14 nncn 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( # `  V
)  e.  CC )
15 1cnd 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1614, 15npcand 9979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( (
( # `  V )  -  1 )  +  1 )  =  (
# `  V )
)
1716eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( # `  V
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 ) )
189, 17syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( # `
 V )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  1 ) ) )
1918ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( # `  V
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 ) ) )
2019imp 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  V )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 ) )
21 brfi1indlem 12629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  N  e.  V  /\  ( ( # `  V
)  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 )  -> 
( # `  ( V 
\  { N }
) )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) ) )
2221imp 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  N  e.  V  /\  ( ( # `  V
)  -  1 )  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( # `  ( V 
\  { N }
) )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
236, 7, 13, 20, 22syl31anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  ( V  \  { N } ) )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
24 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 ) )
2524eqeq2d 2434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  <-> 
( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) )
269ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  <->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
27 nnnn0 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
28 hashclb 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  e.  Fin  <->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
)
2927, 28syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( V  e.  _V  ->  V  e.  Fin ) )
3029impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  e.  NN )  ->  V  e.  Fin )
31 cusgrares.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
3231cusgrasizeinds 25090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
33 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  (
( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) )
3433eqeq2d 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  (
( # `  E )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  F
) )  <->  ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) ) )
3534adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  <->  ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) ) )
36 bcn2m1 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( (
( # `  V )  -  1 )  +  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) )
3736eqeq2d 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 ) )  <-> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) )
3837biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 ) )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) )
3938adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) )
4035, 39sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) )
4140ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( ( # `  E )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
4241com3r 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  E )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  F
) )  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  (
( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
4332, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  (
( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
44433exp 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( # `
 V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
4544com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) ) )
4645adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  e.  NN )  -> 
( V  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) ) )
4730, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  e.  NN )  -> 
( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) )
4847ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
4948com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V  e.  _V  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( # `  V
)  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
5049adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  =  Y )  -> 
( N  e.  V  ->  ( ( # `  V
)  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
5150imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( ( # `
 V )  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) )
5226, 51sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) )
5352imp 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) )
5453com13 83 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( (
( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
5525, 54syl6bi 231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( V ComplUSGrph  E  -> 
( ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
5655com24 90 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( V ComplUSGrph  E  -> 
( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
5723, 56mpcom 37 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
5857ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
5958adantllr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
605, 59mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
6160exp41 613 . . . . . 6  |-  ( V  e.  _V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  (
( # `  V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) ) )
6261com25 94 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) ) ) ) )
6362adantr 466 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  V
)  =  Y  -> 
( N  e.  V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) ) )
643, 63mpcom 37 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
65643imp 1199 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
6665com12 32 1  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
)  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    e/ wnel 2617   {crab 2777   _Vcvv 3078    \ cdif 3430   {csn 3993   class class class wbr 4417   dom cdm 4845    |` cres 4847   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Fincfn 7568   1c1 9529    + caddc 9531    - cmin 9849   NNcn 10598   2c2 10648   NN0cn0 10858    _C cbc 12473   #chash 12501   USGrph cusg 24944   ComplUSGrph ccusgra 25032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-fz 11772  df-seq 12200  df-fac 12446  df-bc 12474  df-hash 12502  df-usgra 24947  df-nbgra 25034  df-cusgra 25035
This theorem is referenced by:  cusgrasize  25092
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