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Theorem cusgrasize2inds 24250
Description: Induction step in cusgrasize 24251. If the size of the complete graph with  n vertices reduced by one vertex is " ( n  -  1 ) choose 2", the size of the complete graph with  n vertices is " n choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
Assertion
Ref Expression
cusgrasize2inds  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
)  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, N    x, V
Allowed substitution hints:    F( x)    Y( x)

Proof of Theorem cusgrasize2inds
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 24231 . . . . 5  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 usgrav 24111 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
4 hashnn0n0nn 12427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( ( # `  V
)  =  Y  /\  N  e.  V )
)  ->  Y  e.  NN )
54anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  ->  Y  e.  NN )
6 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  V  e. 
_V )
7 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  N  e.  V )
8 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  =  ( # `  V
)  ->  ( Y  e.  NN  <->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
98eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( Y  e.  NN  <->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
10 nnm1nn0 10838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 V )  - 
1 )  e.  NN0 )
119, 10syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( Y  e.  NN  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e. 
NN0 ) )
1211ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( ( # `
 V )  - 
1 )  e.  NN0 ) )
1312imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( (
# `  V )  -  1 )  e. 
NN0 )
14 nncn 10545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( # `  V
)  e.  CC )
15 ax-1cn 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1714, 16npcand 9935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( (
( # `  V )  -  1 )  +  1 )  =  (
# `  V )
)
1817eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( # `  V
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 ) )
199, 18syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( # `
 V )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  1 ) ) )
2019ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( # `  V
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 ) ) )
2120imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  V )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 ) )
22 brfi1indlem 12498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  N  e.  V  /\  ( ( # `  V
)  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 )  -> 
( # `  ( V 
\  { N }
) )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) ) )
2322imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  N  e.  V  /\  ( ( # `  V
)  -  1 )  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( # `  ( V 
\  { N }
) )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
246, 7, 13, 21, 23syl31anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  ( V  \  { N } ) )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
25 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 ) )
2625eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  <-> 
( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) )
279ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  <->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
28 nnnn0 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
29 hashclb 12399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  e.  Fin  <->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
)
3028, 29syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( V  e.  _V  ->  V  e.  Fin ) )
3130impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  e.  NN )  ->  V  e.  Fin )
32 cusgrares.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
3332cusgrasizeinds 24249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
34 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  (
( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) )
3534eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  (
( # `  E )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  F
) )  <->  ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) ) )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  <->  ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) ) )
37 bcn2m1 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( (
( # `  V )  -  1 )  +  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) )
3837eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 ) )  <-> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) )
3938biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 ) )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) )
4136, 40sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) )
4241ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( ( # `  E )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
4342com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  E )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  F
) )  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  (
( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
4433, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  (
( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
45443exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( # `
 V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
4645com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) ) )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  e.  NN )  -> 
( V  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) ) )
4831, 47mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  e.  NN )  -> 
( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) )
4948ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
5049com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V  e.  _V  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( # `  V
)  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  =  Y )  -> 
( N  e.  V  ->  ( ( # `  V
)  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( ( # `
 V )  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) )
5327, 52sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) )
5453imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) )
5554com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( (
( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
5626, 55syl6bi 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( V ComplUSGrph  E  -> 
( ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
5756com24 87 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( V ComplUSGrph  E  -> 
( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
5824, 57mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
5958ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
6059adantllr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
615, 60mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
6261exp41 610 . . . . . 6  |-  ( V  e.  _V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  (
( # `  V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) ) )
6362com25 91 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) ) ) ) )
6463adantr 465 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  V
)  =  Y  -> 
( N  e.  V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) ) )
653, 64mpcom 36 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
66653imp 1190 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
6766com12 31 1  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
)  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    e/ wnel 2663   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   {csn 4027   class class class wbr 4447   dom cdm 4999    |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Fincfn 7517   CCcc 9491   1c1 9494    + caddc 9496    - cmin 9806   NNcn 10537   2c2 10586   NN0cn0 10796    _C cbc 12349   #chash 12374   USGrph cusg 24103   ComplUSGrph ccusgra 24191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-seq 12077  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-usgra 24106  df-nbgra 24193  df-cusgra 24194
This theorem is referenced by:  cusgrasize  24251
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