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Theorem cusgrasize2inds 21439
Description: Induction step in cusgrasize 21440. If the size of the complete graph with  n vertices reduced by one vertex is " ( n  -  1 ) choose 2", the size of the complete graph with  n vertices is " n choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
Assertion
Ref Expression
cusgrasize2inds  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
)  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, N    x, V
Allowed substitution hints:    F( x)    Y( x)

Proof of Theorem cusgrasize2inds
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 21420 . . . . 5  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 usgrav 21324 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
4 hashnn0n0nn 11619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( ( # `  V
)  =  Y  /\  N  e.  V )
)  ->  Y  e.  NN )
54anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  ->  Y  e.  NN )
6 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  V  e. 
_V )
7 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  N  e.  V )
8 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  =  ( # `  V
)  ->  ( Y  e.  NN  <->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
98eqcoms 2407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( Y  e.  NN  <->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
10 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 V )  - 
1 )  e.  NN0 )
119, 10syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( Y  e.  NN  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e. 
NN0 ) )
1211ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( ( # `
 V )  - 
1 )  e.  NN0 ) )
1312imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( (
# `  V )  -  1 )  e. 
NN0 )
14 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( # `  V
)  e.  CC )
15 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1714, 16npcand 9371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( (
( # `  V )  -  1 )  +  1 )  =  (
# `  V )
)
1817eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( # `  V
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 ) )
199, 18syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( # `
 V )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  1 ) ) )
2019ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( # `  V
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 ) ) )
2120imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  V )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 ) )
22 brfi1indlem 11669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  N  e.  V  /\  ( ( # `  V
)  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  1 )  -> 
( # `  ( V 
\  { N }
) )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) ) )
2322imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  N  e.  V  /\  ( ( # `  V
)  -  1 )  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( # `  ( V 
\  { N }
) )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
246, 7, 13, 21, 23syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  ( V  \  { N } ) )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
25 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 ) )
2625eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  <-> 
( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) )
279ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  <->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
28 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
29 hashclb 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  e.  Fin  <->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
)
3028, 29syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( V  e.  _V  ->  V  e.  Fin ) )
3130impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  e.  NN )  ->  V  e.  Fin )
32 cusgrares.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
3332cusgrasizeinds 21438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
34 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  (
( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) )
3534eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  (
( # `  E )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  F
) )  <->  ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) ) )
3635adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  <->  ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) ) ) )
37 bcn2m1 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( (
( # `  V )  -  1 )  +  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) )
3837eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 ) )  <-> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) )
3938biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 ) )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) )
4039adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) )
4136, 40sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 ) )  -> 
( ( # `  E
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) )
4241ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( ( # `  E )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
4342com3r 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  E )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  F
) )  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  (
( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
4433, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  (
( # `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
45443exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( # `
 V )  e.  NN  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
4645com14 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) ) )
4746adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  e.  NN )  -> 
( V  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) ) )
4831, 47mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  e.  NN )  -> 
( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) )
4948ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
5049com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V  e.  _V  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( # `  V
)  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
5150adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  =  Y )  -> 
( N  e.  V  ->  ( ( # `  V
)  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
5251imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( ( # `
 V )  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) )
5327, 52sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) ) )
5453imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  _C  2 )  -> 
( # `  E )  =  ( ( # `  V )  _C  2
) ) ) )
5554com13 76 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  _C  2 )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( (
( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) )
5626, 55syl6bi 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( V ComplUSGrph  E  -> 
( ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
5756com24 83 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  =  ( (
# `  V )  -  1 )  -> 
( ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  /\  Y  e.  NN )  ->  ( V ComplUSGrph  E  -> 
( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
5824, 57mpcom 34 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  /\  Y  e.  NN )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
5958ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  V
)  =  Y )  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
6059adantllr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  ->  ( Y  e.  NN  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) )
615, 60mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V )  =  Y )  /\  N  e.  V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
6261exp41 594 . . . . . 6  |-  ( V  e.  _V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  (
( # `  V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) ) )
6362com25 87 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `
 V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( # `  V
)  _C  2 ) ) ) ) ) ) )
6463adantr 452 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  V
)  =  Y  -> 
( N  e.  V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( # `  F
)  =  ( (
# `  ( V  \  { N } ) )  _C  2 )  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) ) )
653, 64mpcom 34 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( # `  V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) ) ) )
66653imp 1147 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
)  ->  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
6766com12 29 1  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
)  ->  ( ( # `
 F )  =  ( ( # `  ( V  \  { N }
) )  _C  2
)  ->  ( # `  E
)  =  ( (
# `  V )  _C  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    e/ wnel 2568   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277   {csn 3774   class class class wbr 4172   dom cdm 4837    |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   1c1 8947    + caddc 8949    - cmin 9247   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177    _C cbc 11548   #chash 11573   USGrph cusg 21318   ComplUSGrph ccusgra 21384
This theorem is referenced by:  cusgrasize  21440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-seq 11279  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-usgra 21320  df-nbgra 21386  df-cusgra 21387
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