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Theorem cusgrarn 24135
Description: In a complete simple graph, the range of the edge function consists of all the pairs with different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cusgrarn  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ran  E  =  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
Distinct variable groups:    x, E    x, V

Proof of Theorem cusgrarn
Dummy variables  a 
b  k  l  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscusgra0 24133 . 2  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E ) )
2 usgraf0 24024 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
3 f1f 5779 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
4 df-f 5590 . . . . . . . 8  |-  ( E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E 
C_  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
5 ssel 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( e  e.  ran  E  ->  e  e.  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
65adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 } )  ->  ( e  e. 
ran  E  ->  e  e. 
{ x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
74, 6sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( e  e.  ran  E  ->  e  e.  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
83, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  ( e  e. 
ran  E  ->  e  e. 
{ x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( e  e. 
ran  E  ->  e  e. 
{ x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
10 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  e  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  e
) )
1110eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  e  ->  (
( # `  x )  =  2  <->  ( # `  e
)  =  2 ) )
1211elrab 3261 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  <->  ( e  e.  ~P V  /\  ( # `
 e )  =  2 ) )
13 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  e  e. 
_V
14 hash2prde 12478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( e  e.  _V  /\  ( # `  e )  =  2 )  ->  E. a E. b ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } ) )
1513, 14mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  e )  =  2  ->  E. a E. b ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } ) )
16 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
e  e.  ~P V  <->  { a ,  b }  e.  ~P V ) )
17 prex 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { a ,  b }  e.  _V
1817elpw 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { a ,  b }  e.  ~P V  <->  { a ,  b }  C_  V )
19 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  a  e. 
_V
20 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  b  e. 
_V
2119, 20prss 4181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  <->  { a ,  b } 
C_  V )
2218, 21bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { a ,  b }  e.  ~P V  <->  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )
23 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( e  =  { a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  a  e.  V )
2423anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( a  e.  V  /\  a  =/=  b
) )
25 eldifsn 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  ( V  \  { b } )  <-> 
( a  e.  V  /\  a  =/=  b
) )
2624, 25sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
a  e.  ( V 
\  { b } ) )
27 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
b  e.  V )
28 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  b  ->  { k }  =  { b } )
2928difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  b  ->  ( V  \  { k } )  =  ( V 
\  { b } ) )
30 preq2 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  b  ->  { l ,  k }  =  { l ,  b } )
3130eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  b  ->  ( { l ,  k }  e.  ran  E  <->  { l ,  b }  e.  ran  E ) )
3229, 31raleqbidv 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  b  ->  ( A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  <->  A. l  e.  ( V  \  { b } ) { l ,  b }  e.  ran  E ) )
3332rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  e.  V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  A. l  e.  ( V  \  { b } ) { l ,  b }  e.  ran  E ) )
3427, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  A. l  e.  ( V  \  { b } ) { l ,  b }  e.  ran  E ) )
35 preq1 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  =  a  ->  { l ,  b }  =  { a ,  b } )
3635eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  =  a  ->  ( { l ,  b }  e.  ran  E  <->  { a ,  b }  e.  ran  E ) )
3736rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( V  \  { b } )  ->  ( A. l  e.  ( V  \  {
b } ) { l ,  b }  e.  ran  E  ->  { a ,  b }  e.  ran  E
) )
3826, 34, 37sylsyld 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  { a ,  b }  e.  ran  E
) )
39 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
e  e.  ran  E  <->  { a ,  b }  e.  ran  E ) )
4039bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  e  e.  ran  E ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e  =  { a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  e  e.  ran  E ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( { a ,  b }  e.  ran  E  <-> 
e  e.  ran  E
) )
4338, 42sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) )
4443exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
( a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( a  =/=  b  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  e  e.  ran  E
) ) ) )
4522, 44syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  ( { a ,  b }  e.  ~P V  ->  ( a  =/=  b  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) ) ) )
4616, 45sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
e  e.  ~P V  ->  ( a  =/=  b  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) ) ) )
4746com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
a  =/=  b  -> 
( e  e.  ~P V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) ) ) )
4847impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  ( e  e. 
~P V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  e  e.  ran  E ) ) )
4948exlimivv 1699 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a E. b ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  ( e  e. 
~P V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  e  e.  ran  E ) ) )
5015, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  e )  =  2  ->  (
e  e.  ~P V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) ) )
5150impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  ~P V  /\  ( # `  e
)  =  2 )  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) )
5212, 51sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( e  e.  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  e  e.  ran  E ) )
5352com12 31 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  ( e  e.  {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  e  e.  ran  E ) )
5453adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( e  e. 
{ x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  e  e.  ran  E ) )
559, 54impbid 191 . . . 4  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( e  e. 
ran  E  <->  e  e.  {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
5655eqrdv 2464 . . 3  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ran  E  =  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
572, 56sylan 471 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ran  E  =  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
581, 57syl 16 1  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ran  E  =  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   ` cfv 5586   2c2 10581   #chash 12369   USGrph cusg 24006   ComplUSGrph ccusgra 24094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-hash 12370  df-usgra 24009  df-cusgra 24097
This theorem is referenced by:  cusgrafilem1  24155
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