MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrarn Structured version   Unicode version

Theorem cusgrarn 24863
Description: In a complete simple graph, the range of the edge function consists of all the pairs with different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cusgrarn  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ran  E  =  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
Distinct variable groups:    x, E    x, V

Proof of Theorem cusgrarn
Dummy variables  a 
b  k  l  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscusgra0 24861 . 2  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E ) )
2 usgraf0 24752 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
3 f1f 5763 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
4 df-f 5572 . . . . . . . 8  |-  ( E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E 
C_  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
5 ssel 3435 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( e  e.  ran  E  ->  e  e.  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
65adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 } )  ->  ( e  e. 
ran  E  ->  e  e. 
{ x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
74, 6sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( e  e.  ran  E  ->  e  e.  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
83, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  ( e  e. 
ran  E  ->  e  e. 
{ x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
98adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( e  e. 
ran  E  ->  e  e. 
{ x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
10 fveq2 5848 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  e  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  e
) )
1110eqeq1d 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  e  ->  (
( # `  x )  =  2  <->  ( # `  e
)  =  2 ) )
1211elrab 3206 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  <->  ( e  e.  ~P V  /\  ( # `
 e )  =  2 ) )
13 vex 3061 . . . . . . . . . . 11  |-  e  e. 
_V
14 hash2prde 12563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( e  e.  _V  /\  ( # `  e )  =  2 )  ->  E. a E. b ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } ) )
1513, 14mpan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  e )  =  2  ->  E. a E. b ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } ) )
16 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
e  e.  ~P V  <->  { a ,  b }  e.  ~P V ) )
17 prex 4632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { a ,  b }  e.  _V
1817elpw 3960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { a ,  b }  e.  ~P V  <->  { a ,  b }  C_  V )
19 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  a  e. 
_V
20 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  b  e. 
_V
2119, 20prss 4125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  <->  { a ,  b } 
C_  V )
2218, 21bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { a ,  b }  e.  ~P V  <->  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )
23 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( e  =  { a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  a  e.  V )
2423anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( a  e.  V  /\  a  =/=  b
) )
25 eldifsn 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  ( V  \  { b } )  <-> 
( a  e.  V  /\  a  =/=  b
) )
2624, 25sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
a  e.  ( V 
\  { b } ) )
27 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
b  e.  V )
28 sneq 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  b  ->  { k }  =  { b } )
2928difeq2d 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  b  ->  ( V  \  { k } )  =  ( V 
\  { b } ) )
30 preq2 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  b  ->  { l ,  k }  =  { l ,  b } )
3130eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  b  ->  ( { l ,  k }  e.  ran  E  <->  { l ,  b }  e.  ran  E ) )
3229, 31raleqbidv 3017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  b  ->  ( A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  <->  A. l  e.  ( V  \  { b } ) { l ,  b }  e.  ran  E ) )
3332rspcv 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  e.  V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  A. l  e.  ( V  \  { b } ) { l ,  b }  e.  ran  E ) )
3427, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  A. l  e.  ( V  \  { b } ) { l ,  b }  e.  ran  E ) )
35 preq1 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  =  a  ->  { l ,  b }  =  { a ,  b } )
3635eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  =  a  ->  ( { l ,  b }  e.  ran  E  <->  { a ,  b }  e.  ran  E ) )
3736rspcv 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( V  \  { b } )  ->  ( A. l  e.  ( V  \  {
b } ) { l ,  b }  e.  ran  E  ->  { a ,  b }  e.  ran  E
) )
3826, 34, 37sylsyld 55 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  { a ,  b }  e.  ran  E
) )
39 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
e  e.  ran  E  <->  { a ,  b }  e.  ran  E ) )
4039bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  e  e.  ran  E ) )
4140adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e  =  { a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  e  e.  ran  E ) )
4241adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( { a ,  b }  e.  ran  E  <-> 
e  e.  ran  E
) )
4338, 42sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) )
4443exp31 602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
( a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( a  =/=  b  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  e  e.  ran  E
) ) ) )
4522, 44syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  ( { a ,  b }  e.  ~P V  ->  ( a  =/=  b  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) ) ) )
4616, 45sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
e  e.  ~P V  ->  ( a  =/=  b  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) ) ) )
4746com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
a  =/=  b  -> 
( e  e.  ~P V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) ) ) )
4847impcom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  ( e  e. 
~P V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  e  e.  ran  E ) ) )
4948exlimivv 1744 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a E. b ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  ( e  e. 
~P V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  e  e.  ran  E ) ) )
5015, 49syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  e )  =  2  ->  (
e  e.  ~P V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) ) )
5150impcom 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  ~P V  /\  ( # `  e
)  =  2 )  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) )
5212, 51sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( e  e.  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  e  e.  ran  E ) )
5352com12 29 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  ( e  e.  {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  e  e.  ran  E ) )
5453adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( e  e. 
{ x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  e  e.  ran  E ) )
559, 54impbid 191 . . . 4  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( e  e. 
ran  E  <->  e  e.  {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
5655eqrdv 2399 . . 3  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ran  E  =  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
572, 56sylan 469 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ran  E  =  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
581, 57syl 17 1  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ran  E  =  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   {crab 2757   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   {csn 3971   {cpr 3973   class class class wbr 4394   dom cdm 4822   ran crn 4823    Fn wfn 5563   -->wf 5564   -1-1->wf1 5565   ` cfv 5568   2c2 10625   #chash 12450   USGrph cusg 24734   ComplUSGrph ccusgra 24822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-hash 12451  df-usgra 24737  df-cusgra 24825
This theorem is referenced by:  cusgrafilem1  24883
  Copyright terms: Public domain W3C validator