Theorem cusgrares 21434

Description: Restricting a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgrares.f	|- F = ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )

Assertion

Ref	Expression
cusgrares	|- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) ComplUSGrph F )

Distinct variable groups:   x, E   x, N

Allowed substitution hints:   F( x)   V( x)

Proof of Theorem cusgrares

Dummy variables y k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusisusgra 21420	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> V USGrph E )
2		cusgrares.f	. . . 4 |- F = ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
3	2	usgrares1 21377	. . 3 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) USGrph F )
4	1, 3	sylan 458	. 2 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) USGrph F )
5		iscusgra0 21419	. . . 4 |- ( V ComplUSGrph E -> ( V USGrph E /\ A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) )
6		usgraf1o 21335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V USGrph E -> E : dom E -1-1-onto-> ran E )
7		f1ocnvdm 5977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( E : dom E -1-1-onto-> ran E /\ { n , k } e. ran E ) -> ( `' E ` { n , k } ) e. dom E )
8	7	adantll 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( `' E ` { n , k } ) e. dom E )
9		elpri 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( N e. { n , k } -> ( N = n \/ N = k ) )
10		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- n e. _V
11	10	snid 3801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- n e. { n }
12		sneq 3785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( N = n -> { N } = { n } )
13	11, 12	syl5eleqr 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( N = n -> n e. { N } )
14		notnot 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( n e. { N } <-> -. -. n e. { N } )
15	13, 14	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( N = n -> -. -. n e. { N } )
16		df-nel 2570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( n e/ { N } <-> -. n e. { N } )
17	15, 16	sylnibr 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( N = n -> -. n e/ { N } )
18		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- k e. _V
19	18	snid 3801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- k e. { k }
20		sneq 3785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( N = k -> { N } = { k } )
21	19, 20	syl5eleqr 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( N = k -> k e. { N } )
22		notnot 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( k e. { N } <-> -. -. k e. { N } )
23	21, 22	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( N = k -> -. -. k e. { N } )
24		df-nel 2570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( k e/ { N } <-> -. k e. { N } )
25	23, 24	sylnibr 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( N = k -> -. k e/ { N } )
26	17, 25	orim12i 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( N = n \/ N = k ) -> ( -. n e/ { N } \/ -. k e/ { N } ) )
27	9, 26	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( N e. { n , k } -> ( -. n e/ { N } \/ -. k e/ { N } ) )
28		ianor 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( -. ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) <-> ( -. n e/ { N } \/ -. k e/ { N } ) )
29	27, 28	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( N e. { n , k } -> -. ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) )
30	29	con2i 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> -. N e. { n , k } )
31		df-nel 2570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( N e/ { n , k } <-> -. N e. { n , k } )
32	30, 31	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> N e/ { n , k } )
33	32	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> N e/ { n , k } )
34		f1ocnvfv2 5974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( E : dom E -1-1-onto-> ran E /\ { n , k } e. ran E ) -> ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } )
35	34	adantll 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } )
36		neleq2 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } -> ( N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) <-> N e/ { n , k } ) )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) <-> N e/ { n , k } ) )
38	33, 37	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) )
39		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( x = ( `' E ` { n , k } ) -> ( E ` x ) = ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) )
40		neleq2 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( E ` x ) = ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) -> ( N e/ ( E ` x ) <-> N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) ) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = ( `' E ` { n , k } ) -> ( N e/ ( E ` x ) <-> N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) ) )
42	41	elrab 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } <-> ( ( `' E ` { n , k } ) e. dom E /\ N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) ) )
43	8, 38, 42	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
44	43, 35	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) )
45	44	exp31 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( { n , k } e. ran E -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
46	45	com23 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
47	46	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e/ { N } -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
48	47	com14 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
49	6, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( V USGrph E -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
50	49	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
51	50	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
52	51	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
53	52	imp31 422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) )
54		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( `' E ` { n , k } ) -> ( E ` y ) = ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) )
55	54	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( `' E ` { n , k } ) -> ( ( E ` y ) = { n , k } <-> ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) )
56	55	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) -> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } )
57	53, 56	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } )
58		usgrafun 21331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( V USGrph E -> Fun E )
59		funfn 5441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Fun E <-> E Fn dom E )
60	58, 59	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( V USGrph E -> E Fn dom E )
61	60	ad6antr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> E Fn dom E )
62		ssrab2 3388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } C_ dom E
63		fvelimab 5741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E Fn dom E /\ { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } C_ dom E ) -> ( { n , k } e. ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) <-> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } ) )
64	61, 62, 63	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> ( { n , k } e. ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) <-> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } ) )
65	57, 64	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> { n , k } e. ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) )
66	2	rneqi 5055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran F = ran ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
67		df-ima 4850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) = ran ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
68	66, 67	eqtr4i 2427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran F = ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
69	65, 68	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> { n , k } e. ran F )
70	69	exp31 588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) ) )
71	70	ralimdva 2744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> A. n e. ( V \ { k } ) ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) ) )
72	71	imp 419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> A. n e. ( V \ { k } ) ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) )
73		raldifb 3447	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. ( V \ { k } ) ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) <-> A. n e. ( ( V \ { k } ) \ { N } ) { n , k } e. ran F )
74	72, 73	sylib 189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> A. n e. ( ( V \ { k } ) \ { N } ) { n , k } e. ran F )
75		dif32 3564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V \ { N } ) \ { k } ) = ( ( V \ { k } ) \ { N } )
76	75	raleqi 2868	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F <-> A. n e. ( ( V \ { k } ) \ { N } ) { n , k } e. ran F )
77	74, 76	sylibr 204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F )
78	77	exp31 588	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) -> ( k e/ { N } -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
79	78	com23 74	. . . . . . 7 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
80	79	ralimdva 2744	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> A. k e. V ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
81	80	impancom 428	. . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> ( N e. V -> A. k e. V ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
82		raldifb 3447	. . . . 5 |- ( A. k e. V ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) <-> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F )
83	81, 82	syl6ib 218	. . . 4 |- ( ( V USGrph E /\ A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> ( N e. V -> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) )
84	5, 83	syl 16	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> ( N e. V -> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) )
85	84	imp 419	. 2 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F )
86		usgrav 21324	. . . . 5 |- ( V USGrph E -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
87	1, 86	syl 16	. . . 4 |- ( V ComplUSGrph E -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
88		difexg 4311	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( V \ { N } ) e. _V )
89		resexg 5144	. . . . . 6 |- ( E e. _V -> ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) e. _V )
90	2, 89	syl5eqel 2488	. . . . 5 |- ( E e. _V -> F e. _V )
91		iscusgra 21418	. . . . 5 |- ( ( ( V \ { N } ) e. _V /\ F e. _V ) -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
92	88, 90, 91	syl2an 464	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
93	87, 92	syl 16	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
94	93	adantr 452	. 2 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
95	4, 85, 94	mpbir2and 889	1 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) ComplUSGrph F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   e/ wnel 2568   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   {csn 3774   {cpr 3775   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   USGrph cusg 21318   ComplUSGrph ccusgra 21384

This theorem is referenced by:  cusgrasizeinds  21438  cusgrasize  21440

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574  df-usgra 21320  df-cusgra 21387