Theorem cusgrares 24134

Description: Restricting a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgrares.f	|- F = ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )

Assertion

Ref	Expression
cusgrares	|- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) ComplUSGrph F )

Distinct variable groups:   x, E   x, N

Allowed substitution hints:   F( x)   V( x)

Proof of Theorem cusgrares

Dummy variables y k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusisusgra 24120	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> V USGrph E )
2		cusgrares.f	. . . 4 |- F = ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
3	2	usgrares1 24072	. . 3 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) USGrph F )
4	1, 3	sylan 471	. 2 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) USGrph F )
5		iscusgra0 24119	. . . 4 |- ( V ComplUSGrph E -> ( V USGrph E /\ A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) )
6		usgraf1o 24021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V USGrph E -> E : dom E -1-1-onto-> ran E )
7		f1ocnvdm 6167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( E : dom E -1-1-onto-> ran E /\ { n , k } e. ran E ) -> ( `' E ` { n , k } ) e. dom E )
8	7	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( `' E ` { n , k } ) e. dom E )
9		elpri 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( N e. { n , k } -> ( N = n \/ N = k ) )
10		ssnid 4049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- n e. { n }
11		sneq 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( N = n -> { N } = { n } )
12	10, 11	syl5eleqr 2555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( N = n -> n e. { N } )
13		notnot 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( n e. { N } <-> -. -. n e. { N } )
14	12, 13	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( N = n -> -. -. n e. { N } )
15		df-nel 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( n e/ { N } <-> -. n e. { N } )
16	14, 15	sylnibr 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( N = n -> -. n e/ { N } )
17		ssnid 4049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- k e. { k }
18		sneq 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( N = k -> { N } = { k } )
19	17, 18	syl5eleqr 2555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( N = k -> k e. { N } )
20		notnot 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( k e. { N } <-> -. -. k e. { N } )
21	19, 20	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( N = k -> -. -. k e. { N } )
22		df-nel 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( k e/ { N } <-> -. k e. { N } )
23	21, 22	sylnibr 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( N = k -> -. k e/ { N } )
24	16, 23	orim12i 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( N = n \/ N = k ) -> ( -. n e/ { N } \/ -. k e/ { N } ) )
25	9, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( N e. { n , k } -> ( -. n e/ { N } \/ -. k e/ { N } ) )
26		ianor 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( -. ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) <-> ( -. n e/ { N } \/ -. k e/ { N } ) )
27	25, 26	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( N e. { n , k } -> -. ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) )
28	27	con2i 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> -. N e. { n , k } )
29		df-nel 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( N e/ { n , k } <-> -. N e. { n , k } )
30	28, 29	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> N e/ { n , k } )
31	30	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> N e/ { n , k } )
32		f1ocnvfv2 6162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( E : dom E -1-1-onto-> ran E /\ { n , k } e. ran E ) -> ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } )
33	32	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } )
34		neleq2 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } -> ( N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) <-> N e/ { n , k } ) )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) <-> N e/ { n , k } ) )
36	31, 35	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) )
37		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( x = ( `' E ` { n , k } ) -> ( E ` x ) = ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) )
38		neleq2 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( E ` x ) = ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) -> ( N e/ ( E ` x ) <-> N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) ) )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = ( `' E ` { n , k } ) -> ( N e/ ( E ` x ) <-> N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) ) )
40	39	elrab 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } <-> ( ( `' E ` { n , k } ) e. dom E /\ N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) ) )
41	8, 36, 40	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
42	41, 33	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) )
43	42	exp31 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( { n , k } e. ran E -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
44	43	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
45	44	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e/ { N } -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
46	45	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
47	6, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( V USGrph E -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
48	47	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
49	48	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
50	49	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
51	50	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) )
52		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( `' E ` { n , k } ) -> ( E ` y ) = ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) )
53	52	eqeq1d 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( `' E ` { n , k } ) -> ( ( E ` y ) = { n , k } <-> ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) )
54	53	rspcev 3207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) -> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } )
55	51, 54	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } )
56		usgrafun 24012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( V USGrph E -> Fun E )
57		funfn 5608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Fun E <-> E Fn dom E )
58	56, 57	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( V USGrph E -> E Fn dom E )
59	58	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> E Fn dom E )
60		ssrab2 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } C_ dom E
61		fvelimab 5914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E Fn dom E /\ { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } C_ dom E ) -> ( { n , k } e. ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) <-> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } ) )
62	59, 60, 61	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> ( { n , k } e. ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) <-> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } ) )
63	55, 62	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> { n , k } e. ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) )
64	2	rneqi 5220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran F = ran ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
65		df-ima 5005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) = ran ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
66	64, 65	eqtr4i 2492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran F = ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
67	63, 66	syl6eleqr 2559	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> { n , k } e. ran F )
68	67	exp31 604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) ) )
69	68	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> A. n e. ( V \ { k } ) ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) ) )
70	69	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> A. n e. ( V \ { k } ) ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) )
71		raldifb 3637	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. ( V \ { k } ) ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) <-> A. n e. ( ( V \ { k } ) \ { N } ) { n , k } e. ran F )
72	70, 71	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> A. n e. ( ( V \ { k } ) \ { N } ) { n , k } e. ran F )
73		dif32 3754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V \ { N } ) \ { k } ) = ( ( V \ { k } ) \ { N } )
74	73	raleqi 3055	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F <-> A. n e. ( ( V \ { k } ) \ { N } ) { n , k } e. ran F )
75	72, 74	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F )
76	75	exp31 604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) -> ( k e/ { N } -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
77	76	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
78	77	ralimdva 2865	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> A. k e. V ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
79	78	impancom 440	. . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> ( N e. V -> A. k e. V ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
80		raldifb 3637	. . . . 5 |- ( A. k e. V ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) <-> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F )
81	79, 80	syl6ib 226	. . . 4 |- ( ( V USGrph E /\ A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> ( N e. V -> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) )
82	5, 81	syl 16	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> ( N e. V -> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) )
83	82	imp 429	. 2 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F )
84		usgrav 24001	. . . . 5 |- ( V USGrph E -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
85	1, 84	syl 16	. . . 4 |- ( V ComplUSGrph E -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
86		difexg 4588	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( V \ { N } ) e. _V )
87		resexg 5307	. . . . . 6 |- ( E e. _V -> ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) e. _V )
88	2, 87	syl5eqel 2552	. . . . 5 |- ( E e. _V -> F e. _V )
89		iscusgra 24118	. . . . 5 |- ( ( ( V \ { N } ) e. _V /\ F e. _V ) -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
90	86, 88, 89	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
91	85, 90	syl 16	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
92	91	adantr 465	. 2 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
93	4, 83, 92	mpbir2and 915	1 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) ComplUSGrph F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   e/ wnel 2656   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3106   \ cdif 3466   C_ wss 3469   {csn 4020   {cpr 4022   class class class wbr 4440   `'ccnv 4991   dom cdm 4992   ran crn 4993   |` cres 4994   "cima 4995   Fun wfun 5573   Fn wfn 5574   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579   USGrph cusg 23993   ComplUSGrph ccusgra 24080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-hash 12361  df-usgra 23996  df-cusgra 24083

This theorem is referenced by:  cusgrasizeinds  24138  cusgrasize  24140