Theorem cusgrares 25200

Description: Restricting a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgrares.f	|- F = ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )

Assertion

Ref	Expression
cusgrares	|- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) ComplUSGrph F )

Distinct variable groups:   x, E   x, N

Allowed substitution hints:   F( x)   V( x)

Proof of Theorem cusgrares

Dummy variables y k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusisusgra 25186	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> V USGrph E )
2		cusgrares.f	. . . 4 |- F = ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
3	2	usgrares1 25138	. . 3 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) USGrph F )
4	1, 3	sylan 474	. 2 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) USGrph F )
5		iscusgra0 25185	. . . 4 |- ( V ComplUSGrph E -> ( V USGrph E /\ A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) )
6		usgraf1o 25085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V USGrph E -> E : dom E -1-1-onto-> ran E )
7		f1ocnvdm 6183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( E : dom E -1-1-onto-> ran E /\ { n , k } e. ran E ) -> ( `' E ` { n , k } ) e. dom E )
8	7	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( `' E ` { n , k } ) e. dom E )
9		elpri 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( N e. { n , k } -> ( N = n \/ N = k ) )
10		ssnid 3997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- n e. { n }
11		sneq 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( N = n -> { N } = { n } )
12	10, 11	syl5eleqr 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( N = n -> n e. { N } )
13		notnot 293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( n e. { N } <-> -. -. n e. { N } )
14	12, 13	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( N = n -> -. -. n e. { N } )
15		df-nel 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( n e/ { N } <-> -. n e. { N } )
16	14, 15	sylnibr 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( N = n -> -. n e/ { N } )
17		ssnid 3997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- k e. { k }
18		sneq 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( N = k -> { N } = { k } )
19	17, 18	syl5eleqr 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( N = k -> k e. { N } )
20		notnot 293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( k e. { N } <-> -. -. k e. { N } )
21	19, 20	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( N = k -> -. -. k e. { N } )
22		df-nel 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( k e/ { N } <-> -. k e. { N } )
23	21, 22	sylnibr 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( N = k -> -. k e/ { N } )
24	16, 23	orim12i 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( N = n \/ N = k ) -> ( -. n e/ { N } \/ -. k e/ { N } ) )
25	9, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( N e. { n , k } -> ( -. n e/ { N } \/ -. k e/ { N } ) )
26		ianor 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( -. ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) <-> ( -. n e/ { N } \/ -. k e/ { N } ) )
27	25, 26	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( N e. { n , k } -> -. ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) )
28	27	con2i 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> -. N e. { n , k } )
29		df-nel 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( N e/ { n , k } <-> -. N e. { n , k } )
30	28, 29	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> N e/ { n , k } )
31	30	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> N e/ { n , k } )
32		f1ocnvfv2 6176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( E : dom E -1-1-onto-> ran E /\ { n , k } e. ran E ) -> ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } )
33	32	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } )
34		neleq2 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } -> ( N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) <-> N e/ { n , k } ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) <-> N e/ { n , k } ) )
36	31, 35	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) )
37		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( x = ( `' E ` { n , k } ) -> ( E ` x ) = ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) )
38		neleq2 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( E ` x ) = ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) -> ( N e/ ( E ` x ) <-> N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = ( `' E ` { n , k } ) -> ( N e/ ( E ` x ) <-> N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) ) )
40	39	elrab 3196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } <-> ( ( `' E ` { n , k } ) e. dom E /\ N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) ) )
41	8, 36, 40	sylanbrc 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
42	41, 33	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) )
43	42	exp31 609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( { n , k } e. ran E -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
44	43	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
45	44	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e/ { N } -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
46	45	com14 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
47	6, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( V USGrph E -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
48	47	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
49	48	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
50	49	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
51	50	imp31 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) )
52		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( `' E ` { n , k } ) -> ( E ` y ) = ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) )
53	52	eqeq1d 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( `' E ` { n , k } ) -> ( ( E ` y ) = { n , k } <-> ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) )
54	53	rspcev 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) -> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } )
55	51, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } )
56		usgrafun 25076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( V USGrph E -> Fun E )
57		funfn 5611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Fun E <-> E Fn dom E )
58	56, 57	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( V USGrph E -> E Fn dom E )
59	58	ad6antr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> E Fn dom E )
60		ssrab2 3514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } C_ dom E
61		fvelimab 5921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E Fn dom E /\ { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } C_ dom E ) -> ( { n , k } e. ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) <-> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } ) )
62	59, 60, 61	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> ( { n , k } e. ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) <-> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } ) )
63	55, 62	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> { n , k } e. ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) )
64	2	rneqi 5061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran F = ran ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
65		df-ima 4847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) = ran ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
66	64, 65	eqtr4i 2476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran F = ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
67	63, 66	syl6eleqr 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> { n , k } e. ran F )
68	67	exp31 609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) ) )
69	68	ralimdva 2796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> A. n e. ( V \ { k } ) ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) ) )
70	69	imp 431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> A. n e. ( V \ { k } ) ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) )
71		raldifb 3573	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. ( V \ { k } ) ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) <-> A. n e. ( ( V \ { k } ) \ { N } ) { n , k } e. ran F )
72	70, 71	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> A. n e. ( ( V \ { k } ) \ { N } ) { n , k } e. ran F )
73		dif32 3706	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V \ { N } ) \ { k } ) = ( ( V \ { k } ) \ { N } )
74	73	raleqi 2991	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F <-> A. n e. ( ( V \ { k } ) \ { N } ) { n , k } e. ran F )
75	72, 74	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F )
76	75	exp31 609	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) -> ( k e/ { N } -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
77	76	com23 81	. . . . . . 7 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
78	77	ralimdva 2796	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> A. k e. V ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
79	78	impancom 442	. . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> ( N e. V -> A. k e. V ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
80		raldifb 3573	. . . . 5 |- ( A. k e. V ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) <-> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F )
81	79, 80	syl6ib 230	. . . 4 |- ( ( V USGrph E /\ A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> ( N e. V -> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) )
82	5, 81	syl 17	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> ( N e. V -> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) )
83	82	imp 431	. 2 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F )
84		usgrav 25065	. . . 4 |- ( V USGrph E -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
85		difexg 4551	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( V \ { N } ) e. _V )
86		resexg 5147	. . . . . 6 |- ( E e. _V -> ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) e. _V )
87	2, 86	syl5eqel 2533	. . . . 5 |- ( E e. _V -> F e. _V )
88		iscusgra 25184	. . . . 5 |- ( ( ( V \ { N } ) e. _V /\ F e. _V ) -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
89	85, 87, 88	syl2an 480	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
90	1, 84, 89	3syl 18	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
91	90	adantr 467	. 2 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
92	4, 83, 91	mpbir2and 933	1 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) ComplUSGrph F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   e/ wnel 2623   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   |` cres 4836   "cima 4837   Fun wfun 5576   Fn wfn 5577   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582   USGrph cusg 25057   ComplUSGrph ccusgra 25146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516  df-usgra 25060  df-cusgra 25149

This theorem is referenced by:  cusgrasizeinds  25204  cusgrasize  25206