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Theorem cusgrares 23203
Description: Restricting a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
Assertion
Ref Expression
cusgrares  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) ComplUSGrph  F )
Distinct variable groups:    x, E    x, N
Allowed substitution hints:    F( x)    V( x)

Proof of Theorem cusgrares
Dummy variables  y 
k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 23189 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 cusgrares.f . . . 4  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
32usgrares1 23146 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) USGrph  F )
41, 3sylan 468 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) USGrph  F )
5 iscusgra0 23188 . . . 4  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) )
6 usgraf1o 23104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
7 f1ocnvdm 5976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { n ,  k } )  e.  dom  E )
87adantll 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { n ,  k } )  e.  dom  E )
9 elpri 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  { n ,  k }  ->  ( N  =  n  \/  N  =  k )
)
10 ssnid 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  n  e. 
{ n }
11 sneq 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  =  n  ->  { N }  =  { n } )
1210, 11syl5eleqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  =  n  ->  n  e.  { N } )
13 notnot 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( n  e.  { N }  <->  -. 
-.  n  e.  { N } )
1412, 13sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  =  n  ->  -.  -.  n  e.  { N } )
15 df-nel 2599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( n  e/  { N }  <->  -.  n  e.  { N } )
1614, 15sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( N  =  n  ->  -.  n  e/  { N }
)
17 ssnid 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  k  e. 
{ k }
18 sneq 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  =  k  ->  { N }  =  { k } )
1917, 18syl5eleqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  =  k  ->  k  e.  { N } )
20 notnot 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( k  e.  { N }  <->  -. 
-.  k  e.  { N } )
2119, 20sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  =  k  ->  -.  -.  k  e.  { N } )
22 df-nel 2599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( k  e/  { N }  <->  -.  k  e.  { N } )
2321, 22sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( N  =  k  ->  -.  k  e/  { N }
)
2416, 23orim12i 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  =  n  \/  N  =  k )  ->  ( -.  n  e/  { N }  \/  -.  k  e/  { N } ) )
259, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  { n ,  k }  ->  ( -.  n  e/  { N }  \/  -.  k  e/  { N } ) )
26 ianor 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  <-> 
( -.  n  e/  { N }  \/  -.  k  e/  { N }
) )
2725, 26sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  { n ,  k }  ->  -.  ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } ) )
2827con2i 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  -.  N  e.  { n ,  k } )
29 df-nel 2599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e/  { n ,  k }  <->  -.  N  e.  { n ,  k } )
3028, 29sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  N  e/  { n ,  k } )
3130ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  N  e/  {
n ,  k } )
32 f1ocnvfv2 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } )
3332adantll 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } )
34 neleq2 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k }  ->  ( N  e/  ( E `
 ( `' E `  { n ,  k } ) )  <->  N  e/  { n ,  k } ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  <->  N  e/  { n ,  k } ) )
3631, 35mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) )
37 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  ( E `  x )  =  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) )
38 neleq2 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( E `  x )  =  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  ->  ( N  e/  ( E `  x
)  <->  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  ( N  e/  ( E `  x )  <->  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) ) )
4039elrab 3106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  <->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  dom  E  /\  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) ) )
418, 36, 40sylanbrc 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
4241, 33jca 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) )
4342exp31 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
4443com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
4544ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e/  { N }  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  -> 
( E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
4645com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  -> 
( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
476, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V USGrph  E  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
4847ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
4948imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
5049adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  -> 
( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  (
( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
5150imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) )
52 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  ( E `  y )  =  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) )
5352eqeq1d 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  (
( E `  y
)  =  { n ,  k }  <->  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) )
5453rspcev 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } )  ->  E. y  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } )
5551, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  E. y  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } )
56 usgrafun 23100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
57 funfn 5435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun 
E  <->  E  Fn  dom  E )
5856, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V USGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
5958ad6antr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  E  Fn  dom  E )
60 ssrab2 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  C_  dom  E
61 fvelimab 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  C_  dom  E )  ->  ( { n ,  k }  e.  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  <->  E. y  e.  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } ) )
6259, 60, 61sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  ( { n ,  k }  e.  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  <->  E. y  e.  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } ) )
6355, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  { n ,  k }  e.  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } ) )
642rneqi 5053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  F  =  ran  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
65 df-ima 4840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E
" { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  =  ran  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
6664, 65eqtr4i 2456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  F  =  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
6763, 66syl6eleqr 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  { n ,  k }  e.  ran  F )
6867exp31 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  -> 
( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F ) ) )
6968ralimdva 2784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  ->  ( A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  A. n  e.  ( V  \  { k } ) ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F ) ) )
7069imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  A. n  e.  ( V  \  { k } ) ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F
) )
71 raldifb 3484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F )  <->  A. n  e.  ( ( V  \  { k } ) 
\  { N }
) { n ,  k }  e.  ran  F )
7270, 71sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  A. n  e.  ( ( V  \  {
k } )  \  { N } ) { n ,  k }  e.  ran  F )
73 dif32 3601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } )  =  ( ( V  \  { k } ) 
\  { N }
)
7473raleqi 2911 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ( ( V  \  { N }
)  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F  <->  A. n  e.  ( ( V  \  {
k } )  \  { N } ) { n ,  k }  e.  ran  F )
7572, 74sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  F )
7675exp31 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
7776com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
7877ralimdva 2784 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  A. k  e.  V  ( k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
7978impancom 438 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  A. k  e.  V  ( k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  F ) ) )
80 raldifb 3484 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  V  (
k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  F )  <->  A. k  e.  ( V  \  { N }
) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
)
8179, 80syl6ib 226 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) )
825, 81syl 16 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) )
8382imp 429 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
)
84 usgrav 23093 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
851, 84syl 16 . . . 4  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
86 difexg 4428 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  \  { N }
)  e.  _V )
87 resexg 5137 . . . . . 6  |-  ( E  e.  _V  ->  ( E  |`  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  e. 
_V )
882, 87syl5eqel 2517 . . . . 5  |-  ( E  e.  _V  ->  F  e.  _V )
89 iscusgra 23187 . . . . 5  |-  ( ( ( V  \  { N } )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V  \  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
9086, 88, 89syl2an 474 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V  \  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
9185, 90syl 16 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( V 
\  { N }
) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V 
\  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
9291adantr 462 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V  \  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
934, 83, 92mpbir2and 906 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) ComplUSGrph  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    e/ wnel 2597   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    C_ wss 3316   {csn 3865   {cpr 3867   class class class wbr 4280   `'ccnv 4826   dom cdm 4827   ran crn 4828    |` cres 4829   "cima 4830   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406   USGrph cusg 23087   ComplUSGrph ccusgra 23153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-hash 12088  df-usgra 23089  df-cusgra 23156
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