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Theorem cusgrares 25279
Description: Restricting a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
Assertion
Ref Expression
cusgrares  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) ComplUSGrph  F )
Distinct variable groups:    x, E    x, N
Allowed substitution hints:    F( x)    V( x)

Proof of Theorem cusgrares
Dummy variables  y 
k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 25265 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 cusgrares.f . . . 4  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
32usgrares1 25217 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) USGrph  F )
41, 3sylan 479 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) USGrph  F )
5 iscusgra0 25264 . . . 4  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) )
6 usgraf1o 25164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
7 f1ocnvdm 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { n ,  k } )  e.  dom  E )
87adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { n ,  k } )  e.  dom  E )
9 elpri 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  { n ,  k }  ->  ( N  =  n  \/  N  =  k )
)
10 ssnid 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  n  e. 
{ n }
11 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  =  n  ->  { N }  =  { n } )
1210, 11syl5eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  =  n  ->  n  e.  { N } )
1312notnotd 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  =  n  ->  -.  -.  n  e.  { N } )
14 df-nel 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( n  e/  { N }  <->  -.  n  e.  { N } )
1513, 14sylnibr 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( N  =  n  ->  -.  n  e/  { N }
)
16 ssnid 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  k  e. 
{ k }
17 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  =  k  ->  { N }  =  { k } )
1816, 17syl5eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  =  k  ->  k  e.  { N } )
1918notnotd 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  =  k  ->  -.  -.  k  e.  { N } )
20 df-nel 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( k  e/  { N }  <->  -.  k  e.  { N } )
2119, 20sylnibr 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( N  =  k  ->  -.  k  e/  { N }
)
2215, 21orim12i 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  =  n  \/  N  =  k )  ->  ( -.  n  e/  { N }  \/  -.  k  e/  { N } ) )
239, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  { n ,  k }  ->  ( -.  n  e/  { N }  \/  -.  k  e/  { N } ) )
24 ianor 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  <-> 
( -.  n  e/  { N }  \/  -.  k  e/  { N }
) )
2523, 24sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  { n ,  k }  ->  -.  ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } ) )
2625con2i 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  -.  N  e.  { n ,  k } )
27 df-nel 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e/  { n ,  k }  <->  -.  N  e.  { n ,  k } )
2826, 27sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  N  e/  { n ,  k } )
2928ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  N  e/  {
n ,  k } )
30 f1ocnvfv2 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } )
3130adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } )
32 neleq2 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k }  ->  ( N  e/  ( E `
 ( `' E `  { n ,  k } ) )  <->  N  e/  { n ,  k } ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  <->  N  e/  { n ,  k } ) )
3429, 33mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) )
35 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  ( E `  x )  =  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) )
36 neleq2 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( E `  x )  =  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  ->  ( N  e/  ( E `  x
)  <->  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  ( N  e/  ( E `  x )  <->  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) ) )
3837elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  <->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  dom  E  /\  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) ) )
398, 34, 38sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
4039, 31jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) )
4140exp31 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
4241com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
4342ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e/  { N }  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  -> 
( E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
4443com14 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  -> 
( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
456, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V USGrph  E  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
4645ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
4746imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  -> 
( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  (
( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
4948imp31 439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) )
50 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  ( E `  y )  =  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) )
5150eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  (
( E `  y
)  =  { n ,  k }  <->  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) )
5251rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } )  ->  E. y  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } )
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  E. y  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } )
54 usgrafun 25155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
55 funfn 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun 
E  <->  E  Fn  dom  E )
5654, 55sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V USGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
5756ad6antr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  E  Fn  dom  E )
58 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  C_  dom  E
59 fvelimab 5936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  C_  dom  E )  ->  ( { n ,  k }  e.  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  <->  E. y  e.  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } ) )
6057, 58, 59sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  ( { n ,  k }  e.  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  <->  E. y  e.  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } ) )
6153, 60mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  { n ,  k }  e.  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } ) )
622rneqi 5067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  F  =  ran  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
63 df-ima 4852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E
" { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  =  ran  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
6462, 63eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  F  =  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
6561, 64syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  { n ,  k }  e.  ran  F )
6665exp31 615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  -> 
( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F ) ) )
6766ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  ->  ( A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  A. n  e.  ( V  \  { k } ) ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F ) ) )
6867imp 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  A. n  e.  ( V  \  { k } ) ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F
) )
69 raldifb 3562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F )  <->  A. n  e.  ( ( V  \  { k } ) 
\  { N }
) { n ,  k }  e.  ran  F )
7068, 69sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  A. n  e.  ( ( V  \  {
k } )  \  { N } ) { n ,  k }  e.  ran  F )
71 dif32 3697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } )  =  ( ( V  \  { k } ) 
\  { N }
)
7271raleqi 2977 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ( ( V  \  { N }
)  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F  <->  A. n  e.  ( ( V  \  {
k } )  \  { N } ) { n ,  k }  e.  ran  F )
7370, 72sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  F )
7473exp31 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
7574com23 80 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
7675ralimdva 2805 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  A. k  e.  V  ( k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
7776impancom 447 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  A. k  e.  V  ( k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  F ) ) )
78 raldifb 3562 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  V  (
k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  F )  <->  A. k  e.  ( V  \  { N }
) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
)
7977, 78syl6ib 234 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) )
805, 79syl 17 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) )
8180imp 436 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
)
82 usgrav 25144 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
83 difexg 4545 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  \  { N }
)  e.  _V )
84 resexg 5153 . . . . . 6  |-  ( E  e.  _V  ->  ( E  |`  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  e. 
_V )
852, 84syl5eqel 2553 . . . . 5  |-  ( E  e.  _V  ->  F  e.  _V )
86 iscusgra 25263 . . . . 5  |-  ( ( ( V  \  { N } )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V  \  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
8783, 85, 86syl2an 485 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V  \  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
881, 82, 873syl 18 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( V 
\  { N }
) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V 
\  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
8988adantr 472 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V  \  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
904, 81, 89mpbir2and 936 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) ComplUSGrph  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    e/ wnel 2642   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589   USGrph cusg 25136   ComplUSGrph ccusgra 25225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-usgra 25139  df-cusgra 25228
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