Theorem cusgrares 25279

Description: Restricting a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgrares.f	|- F = ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )

Assertion

Ref	Expression
cusgrares	|- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) ComplUSGrph F )

Distinct variable groups:   x, E   x, N

Allowed substitution hints:   F( x)   V( x)

Proof of Theorem cusgrares

Dummy variables y k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusisusgra 25265	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> V USGrph E )
2		cusgrares.f	. . . 4 |- F = ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
3	2	usgrares1 25217	. . 3 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) USGrph F )
4	1, 3	sylan 479	. 2 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) USGrph F )
5		iscusgra0 25264	. . . 4 |- ( V ComplUSGrph E -> ( V USGrph E /\ A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) )
6		usgraf1o 25164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V USGrph E -> E : dom E -1-1-onto-> ran E )
7		f1ocnvdm 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( E : dom E -1-1-onto-> ran E /\ { n , k } e. ran E ) -> ( `' E ` { n , k } ) e. dom E )
8	7	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( `' E ` { n , k } ) e. dom E )
9		elpri 3976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( N e. { n , k } -> ( N = n \/ N = k ) )
10		ssnid 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- n e. { n }
11		sneq 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( N = n -> { N } = { n } )
12	10, 11	syl5eleqr 2556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( N = n -> n e. { N } )
13	12	notnotd 128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( N = n -> -. -. n e. { N } )
14		df-nel 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( n e/ { N } <-> -. n e. { N } )
15	13, 14	sylnibr 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( N = n -> -. n e/ { N } )
16		ssnid 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- k e. { k }
17		sneq 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( N = k -> { N } = { k } )
18	16, 17	syl5eleqr 2556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( N = k -> k e. { N } )
19	18	notnotd 128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( N = k -> -. -. k e. { N } )
20		df-nel 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( k e/ { N } <-> -. k e. { N } )
21	19, 20	sylnibr 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( N = k -> -. k e/ { N } )
22	15, 21	orim12i 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( N = n \/ N = k ) -> ( -. n e/ { N } \/ -. k e/ { N } ) )
23	9, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( N e. { n , k } -> ( -. n e/ { N } \/ -. k e/ { N } ) )
24		ianor 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( -. ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) <-> ( -. n e/ { N } \/ -. k e/ { N } ) )
25	23, 24	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( N e. { n , k } -> -. ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) )
26	25	con2i 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> -. N e. { n , k } )
27		df-nel 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( N e/ { n , k } <-> -. N e. { n , k } )
28	26, 27	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> N e/ { n , k } )
29	28	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> N e/ { n , k } )
30		f1ocnvfv2 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( E : dom E -1-1-onto-> ran E /\ { n , k } e. ran E ) -> ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } )
31	30	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } )
32		neleq2 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } -> ( N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) <-> N e/ { n , k } ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) <-> N e/ { n , k } ) )
34	29, 33	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) )
35		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( x = ( `' E ` { n , k } ) -> ( E ` x ) = ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) )
36		neleq2 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( E ` x ) = ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) -> ( N e/ ( E ` x ) <-> N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = ( `' E ` { n , k } ) -> ( N e/ ( E ` x ) <-> N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) ) )
38	37	elrab 3184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } <-> ( ( `' E ` { n , k } ) e. dom E /\ N e/ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) ) )
39	8, 34, 38	sylanbrc 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
40	39, 31	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) /\ E : dom E -1-1-onto-> ran E ) /\ { n , k } e. ran E ) -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) )
41	40	exp31 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( { n , k } e. ran E -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
42	41	com23 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e/ { N } /\ k e/ { N } ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
43	42	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e/ { N } -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
44	43	com14 90	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E : dom E -1-1-onto-> ran E -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
45	6, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( V USGrph E -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
46	45	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) -> ( k e/ { N } -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) ) )
47	46	imp 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
48	47	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) ) ) )
49	48	imp31 439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) )
50		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( `' E ` { n , k } ) -> ( E ` y ) = ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) )
51	50	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( `' E ` { n , k } ) -> ( ( E ` y ) = { n , k } <-> ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) )
52	51	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( `' E ` { n , k } ) e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } /\ ( E ` ( `' E ` { n , k } ) ) = { n , k } ) -> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } )
53	49, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } )
54		usgrafun 25155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( V USGrph E -> Fun E )
55		funfn 5618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Fun E <-> E Fn dom E )
56	54, 55	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( V USGrph E -> E Fn dom E )
57	56	ad6antr 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> E Fn dom E )
58		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } C_ dom E
59		fvelimab 5936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E Fn dom E /\ { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } C_ dom E ) -> ( { n , k } e. ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) <-> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } ) )
60	57, 58, 59	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> ( { n , k } e. ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) <-> E. y e. { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ( E ` y ) = { n , k } ) )
61	53, 60	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> { n , k } e. ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) )
62	2	rneqi 5067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran F = ran ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
63		df-ima 4852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) = ran ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
64	62, 63	eqtr4i 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran F = ( E " { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } )
65	61, 64	syl6eleqr 2560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) /\ { n , k } e. ran E ) /\ n e/ { N } ) -> { n , k } e. ran F )
66	65	exp31 615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ n e. ( V \ { k } ) ) -> ( { n , k } e. ran E -> ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) ) )
67	66	ralimdva 2805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> A. n e. ( V \ { k } ) ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) ) )
68	67	imp 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> A. n e. ( V \ { k } ) ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) )
69		raldifb 3562	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. ( V \ { k } ) ( n e/ { N } -> { n , k } e. ran F ) <-> A. n e. ( ( V \ { k } ) \ { N } ) { n , k } e. ran F )
70	68, 69	sylib 201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> A. n e. ( ( V \ { k } ) \ { N } ) { n , k } e. ran F )
71		dif32 3697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V \ { N } ) \ { k } ) = ( ( V \ { k } ) \ { N } )
72	71	raleqi 2977	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F <-> A. n e. ( ( V \ { k } ) \ { N } ) { n , k } e. ran F )
73	70, 72	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) /\ k e/ { N } ) /\ A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F )
74	73	exp31 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) -> ( k e/ { N } -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
75	74	com23 80	. . . . . . 7 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ k e. V ) -> ( A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
76	75	ralimdva 2805	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E -> A. k e. V ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
77	76	impancom 447	. . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> ( N e. V -> A. k e. V ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
78		raldifb 3562	. . . . 5 |- ( A. k e. V ( k e/ { N } -> A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) <-> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F )
79	77, 78	syl6ib 234	. . . 4 |- ( ( V USGrph E /\ A. k e. V A. n e. ( V \ { k } ) { n , k } e. ran E ) -> ( N e. V -> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) )
80	5, 79	syl 17	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> ( N e. V -> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) )
81	80	imp 436	. 2 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F )
82		usgrav 25144	. . . 4 |- ( V USGrph E -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
83		difexg 4545	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( V \ { N } ) e. _V )
84		resexg 5153	. . . . . 6 |- ( E e. _V -> ( E |` { x e. dom E | N e/ ( E ` x ) } ) e. _V )
85	2, 84	syl5eqel 2553	. . . . 5 |- ( E e. _V -> F e. _V )
86		iscusgra 25263	. . . . 5 |- ( ( ( V \ { N } ) e. _V /\ F e. _V ) -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
87	83, 85, 86	syl2an 485	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
88	1, 82, 87	3syl 18	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
89	88	adantr 472	. 2 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( ( V \ { N } ) ComplUSGrph F <-> ( ( V \ { N } ) USGrph F /\ A. k e. ( V \ { N } ) A. n e. ( ( V \ { N } ) \ { k } ) { n , k } e. ran F ) ) )
90	4, 81, 89	mpbir2and 936	1 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) ComplUSGrph F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   e/ wnel 2642   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589   USGrph cusg 25136   ComplUSGrph ccusgra 25225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-usgra 25139  df-cusgra 25228

This theorem is referenced by:  cusgrasizeinds  25283  cusgrasize  25285