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Theorem cusgrares 25200
Description: Restricting a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
Assertion
Ref Expression
cusgrares  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) ComplUSGrph  F )
Distinct variable groups:    x, E    x, N
Allowed substitution hints:    F( x)    V( x)

Proof of Theorem cusgrares
Dummy variables  y 
k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 25186 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 cusgrares.f . . . 4  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
32usgrares1 25138 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) USGrph  F )
41, 3sylan 474 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) USGrph  F )
5 iscusgra0 25185 . . . 4  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) )
6 usgraf1o 25085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
7 f1ocnvdm 6183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { n ,  k } )  e.  dom  E )
87adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { n ,  k } )  e.  dom  E )
9 elpri 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  { n ,  k }  ->  ( N  =  n  \/  N  =  k )
)
10 ssnid 3997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  n  e. 
{ n }
11 sneq 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  =  n  ->  { N }  =  { n } )
1210, 11syl5eleqr 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  =  n  ->  n  e.  { N } )
13 notnot 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( n  e.  { N }  <->  -. 
-.  n  e.  { N } )
1412, 13sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  =  n  ->  -.  -.  n  e.  { N } )
15 df-nel 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( n  e/  { N }  <->  -.  n  e.  { N } )
1614, 15sylnibr 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( N  =  n  ->  -.  n  e/  { N }
)
17 ssnid 3997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  k  e. 
{ k }
18 sneq 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  =  k  ->  { N }  =  { k } )
1917, 18syl5eleqr 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  =  k  ->  k  e.  { N } )
20 notnot 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( k  e.  { N }  <->  -. 
-.  k  e.  { N } )
2119, 20sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  =  k  ->  -.  -.  k  e.  { N } )
22 df-nel 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( k  e/  { N }  <->  -.  k  e.  { N } )
2321, 22sylnibr 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( N  =  k  ->  -.  k  e/  { N }
)
2416, 23orim12i 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  =  n  \/  N  =  k )  ->  ( -.  n  e/  { N }  \/  -.  k  e/  { N } ) )
259, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  { n ,  k }  ->  ( -.  n  e/  { N }  \/  -.  k  e/  { N } ) )
26 ianor 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  <-> 
( -.  n  e/  { N }  \/  -.  k  e/  { N }
) )
2725, 26sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  { n ,  k }  ->  -.  ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } ) )
2827con2i 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  -.  N  e.  { n ,  k } )
29 df-nel 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e/  { n ,  k }  <->  -.  N  e.  { n ,  k } )
3028, 29sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  N  e/  { n ,  k } )
3130ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  N  e/  {
n ,  k } )
32 f1ocnvfv2 6176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } )
3332adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } )
34 neleq2 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k }  ->  ( N  e/  ( E `
 ( `' E `  { n ,  k } ) )  <->  N  e/  { n ,  k } ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  <->  N  e/  { n ,  k } ) )
3631, 35mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) )
37 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  ( E `  x )  =  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) )
38 neleq2 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( E `  x )  =  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  ->  ( N  e/  ( E `  x
)  <->  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  ( N  e/  ( E `  x )  <->  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) ) )
4039elrab 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  <->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  dom  E  /\  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) ) )
418, 36, 40sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
4241, 33jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) )
4342exp31 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
4443com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
4544ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e/  { N }  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  -> 
( E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
4645com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  -> 
( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
476, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V USGrph  E  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
4847ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
4948imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
5049adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  -> 
( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  (
( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
5150imp31 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) )
52 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  ( E `  y )  =  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) )
5352eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  (
( E `  y
)  =  { n ,  k }  <->  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) )
5453rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } )  ->  E. y  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } )
5551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  E. y  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } )
56 usgrafun 25076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
57 funfn 5611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun 
E  <->  E  Fn  dom  E )
5856, 57sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V USGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
5958ad6antr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  E  Fn  dom  E )
60 ssrab2 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  C_  dom  E
61 fvelimab 5921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  C_  dom  E )  ->  ( { n ,  k }  e.  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  <->  E. y  e.  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } ) )
6259, 60, 61sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  ( { n ,  k }  e.  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  <->  E. y  e.  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } ) )
6355, 62mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  { n ,  k }  e.  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } ) )
642rneqi 5061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  F  =  ran  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
65 df-ima 4847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E
" { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  =  ran  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
6664, 65eqtr4i 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  F  =  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
6763, 66syl6eleqr 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  { n ,  k }  e.  ran  F )
6867exp31 609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  -> 
( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F ) ) )
6968ralimdva 2796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  ->  ( A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  A. n  e.  ( V  \  { k } ) ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F ) ) )
7069imp 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  A. n  e.  ( V  \  { k } ) ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F
) )
71 raldifb 3573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F )  <->  A. n  e.  ( ( V  \  { k } ) 
\  { N }
) { n ,  k }  e.  ran  F )
7270, 71sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  A. n  e.  ( ( V  \  {
k } )  \  { N } ) { n ,  k }  e.  ran  F )
73 dif32 3706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } )  =  ( ( V  \  { k } ) 
\  { N }
)
7473raleqi 2991 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ( ( V  \  { N }
)  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F  <->  A. n  e.  ( ( V  \  {
k } )  \  { N } ) { n ,  k }  e.  ran  F )
7572, 74sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  F )
7675exp31 609 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
7776com23 81 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
7877ralimdva 2796 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  A. k  e.  V  ( k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
7978impancom 442 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  A. k  e.  V  ( k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  F ) ) )
80 raldifb 3573 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  V  (
k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  F )  <->  A. k  e.  ( V  \  { N }
) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
)
8179, 80syl6ib 230 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) )
825, 81syl 17 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) )
8382imp 431 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
)
84 usgrav 25065 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
85 difexg 4551 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  \  { N }
)  e.  _V )
86 resexg 5147 . . . . . 6  |-  ( E  e.  _V  ->  ( E  |`  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  e. 
_V )
872, 86syl5eqel 2533 . . . . 5  |-  ( E  e.  _V  ->  F  e.  _V )
88 iscusgra 25184 . . . . 5  |-  ( ( ( V  \  { N } )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V  \  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
8985, 87, 88syl2an 480 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V  \  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
901, 84, 893syl 18 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( V 
\  { N }
) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V 
\  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
9190adantr 467 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V  \  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
924, 83, 91mpbir2and 933 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) ComplUSGrph  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    e/ wnel 2623   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   "cima 4837   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582   USGrph cusg 25057   ComplUSGrph ccusgra 25146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516  df-usgra 25060  df-cusgra 25149
This theorem is referenced by:  cusgrasizeinds  25204  cusgrasize  25206
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