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Theorem cusgrares 24674
Description: Restricting a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
Assertion
Ref Expression
cusgrares  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) ComplUSGrph  F )
Distinct variable groups:    x, E    x, N
Allowed substitution hints:    F( x)    V( x)

Proof of Theorem cusgrares
Dummy variables  y 
k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 24660 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 cusgrares.f . . . 4  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
32usgrares1 24612 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) USGrph  F )
41, 3sylan 469 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) USGrph  F )
5 iscusgra0 24659 . . . 4  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) )
6 usgraf1o 24560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
7 f1ocnvdm 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { n ,  k } )  e.  dom  E )
87adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { n ,  k } )  e.  dom  E )
9 elpri 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  { n ,  k }  ->  ( N  =  n  \/  N  =  k )
)
10 ssnid 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  n  e. 
{ n }
11 sneq 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  =  n  ->  { N }  =  { n } )
1210, 11syl5eleqr 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  =  n  ->  n  e.  { N } )
13 notnot 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( n  e.  { N }  <->  -. 
-.  n  e.  { N } )
1412, 13sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  =  n  ->  -.  -.  n  e.  { N } )
15 df-nel 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( n  e/  { N }  <->  -.  n  e.  { N } )
1614, 15sylnibr 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( N  =  n  ->  -.  n  e/  { N }
)
17 ssnid 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  k  e. 
{ k }
18 sneq 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  =  k  ->  { N }  =  { k } )
1917, 18syl5eleqr 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  =  k  ->  k  e.  { N } )
20 notnot 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( k  e.  { N }  <->  -. 
-.  k  e.  { N } )
2119, 20sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  =  k  ->  -.  -.  k  e.  { N } )
22 df-nel 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( k  e/  { N }  <->  -.  k  e.  { N } )
2321, 22sylnibr 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( N  =  k  ->  -.  k  e/  { N }
)
2416, 23orim12i 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  =  n  \/  N  =  k )  ->  ( -.  n  e/  { N }  \/  -.  k  e/  { N } ) )
259, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  { n ,  k }  ->  ( -.  n  e/  { N }  \/  -.  k  e/  { N } ) )
26 ianor 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  <-> 
( -.  n  e/  { N }  \/  -.  k  e/  { N }
) )
2725, 26sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  { n ,  k }  ->  -.  ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } ) )
2827con2i 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  -.  N  e.  { n ,  k } )
29 df-nel 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e/  { n ,  k }  <->  -.  N  e.  { n ,  k } )
3028, 29sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  N  e/  { n ,  k } )
3130ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  N  e/  {
n ,  k } )
32 f1ocnvfv2 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } )
3332adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } )
34 neleq2 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k }  ->  ( N  e/  ( E `
 ( `' E `  { n ,  k } ) )  <->  N  e/  { n ,  k } ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  <->  N  e/  { n ,  k } ) )
3631, 35mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) )
37 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  ( E `  x )  =  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) )
38 neleq2 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( E `  x )  =  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  ->  ( N  e/  ( E `  x
)  <->  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  ( N  e/  ( E `  x )  <->  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) ) )
4039elrab 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  <->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  dom  E  /\  N  e/  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) ) )
418, 36, 40sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
4241, 33jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  /\  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )  /\  {
n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) )
4342exp31 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
4443com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e/  { N }  /\  k  e/  { N } )  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
4544ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e/  { N }  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  -> 
( E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
4645com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  -> 
( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
476, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V USGrph  E  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
4847ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) ) )
4948imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
5049adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  -> 
( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  (
( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) ) ) )
5150imp31 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) )
52 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  ( E `  y )  =  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) ) )
5352eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( `' E `  { n ,  k } )  ->  (
( E `  y
)  =  { n ,  k }  <->  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } ) )
5453rspcev 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( `' E `  { n ,  k } )  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  /\  ( E `  ( `' E `  { n ,  k } ) )  =  { n ,  k } )  ->  E. y  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } )
5551, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  E. y  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } )
56 usgrafun 24551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
57 funfn 5599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun 
E  <->  E  Fn  dom  E )
5856, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V USGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
5958ad6antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  E  Fn  dom  E )
60 ssrab2 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  C_  dom  E
61 fvelimab 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  C_  dom  E )  ->  ( { n ,  k }  e.  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  <->  E. y  e.  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } ) )
6259, 60, 61sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  ( { n ,  k }  e.  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  <->  E. y  e.  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  =  {
n ,  k } ) )
6355, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  { n ,  k }  e.  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } ) )
642rneqi 5218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  F  =  ran  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
65 df-ima 5001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E
" { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  =  ran  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
6664, 65eqtr4i 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  F  =  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
6763, 66syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  /\  { n ,  k }  e.  ran  E )  /\  n  e/  { N } )  ->  { n ,  k }  e.  ran  F )
6867exp31 602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  n  e.  ( V  \  { k } ) )  -> 
( { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F ) ) )
6968ralimdva 2862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  ->  ( A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  A. n  e.  ( V  \  { k } ) ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F ) ) )
7069imp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  A. n  e.  ( V  \  { k } ) ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F
) )
71 raldifb 3630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) ( n  e/  { N }  ->  { n ,  k }  e.  ran  F )  <->  A. n  e.  ( ( V  \  { k } ) 
\  { N }
) { n ,  k }  e.  ran  F )
7270, 71sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  A. n  e.  ( ( V  \  {
k } )  \  { N } ) { n ,  k }  e.  ran  F )
73 dif32 3758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } )  =  ( ( V  \  { k } ) 
\  { N }
)
7473raleqi 3055 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ( ( V  \  { N }
)  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F  <->  A. n  e.  ( ( V  \  {
k } )  \  { N } ) { n ,  k }  e.  ran  F )
7572, 74sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  /\  k  e.  V )  /\  k  e/  { N } )  /\  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  F )
7675exp31 602 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  ->  ( k  e/  { N }  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
7776com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  k  e.  V
)  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  ( k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
7877ralimdva 2862 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  ->  A. k  e.  V  ( k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
7978impancom 438 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  A. k  e.  V  ( k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  F ) ) )
80 raldifb 3630 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  V  (
k  e/  { N }  ->  A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  F )  <->  A. k  e.  ( V  \  { N }
) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
)
8179, 80syl6ib 226 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) )
825, 81syl 16 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) )
8382imp 427 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
)
84 usgrav 24540 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
85 difexg 4585 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  \  { N }
)  e.  _V )
86 resexg 5304 . . . . . 6  |-  ( E  e.  _V  ->  ( E  |`  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  e. 
_V )
872, 86syl5eqel 2546 . . . . 5  |-  ( E  e.  _V  ->  F  e.  _V )
88 iscusgra 24658 . . . . 5  |-  ( ( ( V  \  { N } )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V  \  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
8985, 87, 88syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V  \  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
901, 84, 893syl 20 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( V 
\  { N }
) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V 
\  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
9190adantr 463 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  <->  ( ( V  \  { N }
) USGrph  F  /\  A. k  e.  ( V  \  { N } ) A. n  e.  ( ( V  \  { N } )  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  F
) ) )
924, 83, 91mpbir2and 920 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) ComplUSGrph  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    e/ wnel 2650   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989    |` cres 4990   "cima 4991   Fun wfun 5564    Fn wfn 5565   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570   USGrph cusg 24532   ComplUSGrph ccusgra 24620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-hash 12388  df-usgra 24535  df-cusgra 24623
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