MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrafilem3 Structured version   Unicode version

Theorem cusgrafilem3 24683
Description: Lemma 3 for cusgrafi 24684. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrafi.p  |-  P  =  { x  e.  ~P V  |  E. a  e.  V  ( a  =/=  N  /\  x  =  { a ,  N } ) }
cusgrafi.f  |-  F  =  ( x  e.  ( V  \  { N } )  |->  { x ,  N } )
Assertion
Ref Expression
cusgrafilem3  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  V  e. 
Fin  ->  -.  P  e.  Fin ) )
Distinct variable groups:    N, a, x    V, a, x    x, P    W, a, x
Allowed substitution hints:    P( a)    F( x, a)

Proof of Theorem cusgrafilem3
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 7744 . . . . 5  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  \  { N }
)  e.  Fin )
2 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V
)  /\  -.  V  e.  Fin )  ->  -.  V  e.  Fin )
3 snfi 7589 . . . . . . . 8  |-  { N }  e.  Fin
4 difinf 7782 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  V  e.  Fin  /\ 
{ N }  e.  Fin )  ->  -.  ( V  \  { N }
)  e.  Fin )
52, 3, 4sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V
)  /\  -.  V  e.  Fin )  ->  -.  ( V  \  { N } )  e.  Fin )
65ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  V  e. 
Fin  ->  -.  ( V  \  { N } )  e.  Fin ) )
76con4d 105 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( ( V  \  { N } )  e. 
Fin  ->  V  e.  Fin ) )
81, 7impbid2 204 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( V  e.  Fin  <->  ( V  \  { N }
)  e.  Fin )
)
9 cusgrafi.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  ( V  \  { N } )  |->  { x ,  N } )
10 difexg 4585 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  W  ->  ( V  \  { N }
)  e.  _V )
11 mptexg 6117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  \  { N } )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( V  \  { N } )  |->  { x ,  N } )  e. 
_V )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  W  ->  (
x  e.  ( V 
\  { N }
)  |->  { x ,  N } )  e. 
_V )
139, 12syl5eqel 2546 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  W  ->  F  e.  _V )
1413adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  F  e.  _V )
15 cusgrafi.p . . . . . . . 8  |-  P  =  { x  e.  ~P V  |  E. a  e.  V  ( a  =/=  N  /\  x  =  { a ,  N } ) }
1615, 9cusgrafilem2 24682 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  F : ( V 
\  { N }
)
-1-1-onto-> P )
17 f1oeq1 5789 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ( V 
\  { N }
)
-1-1-onto-> P 
<->  F : ( V 
\  { N }
)
-1-1-onto-> P ) )
1817spcegv 3192 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F : ( V  \  { N } ) -1-1-onto-> P  ->  E. f  f :
( V  \  { N } ) -1-1-onto-> P ) )
1914, 16, 18sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  E. f  f : ( V  \  { N } ) -1-1-onto-> P )
20 bren 7518 . . . . . 6  |-  ( ( V  \  { N } )  ~~  P  <->  E. f  f : ( V  \  { N } ) -1-1-onto-> P )
2119, 20sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N } )  ~~  P
)
22 enfi 7729 . . . . 5  |-  ( ( V  \  { N } )  ~~  P  ->  ( ( V  \  { N } )  e. 
Fin 
<->  P  e.  Fin )
)
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( ( V  \  { N } )  e. 
Fin 
<->  P  e.  Fin )
)
248, 23bitrd 253 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( V  e.  Fin  <->  P  e.  Fin ) )
2524notbid 292 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  V  e. 
Fin 
<->  -.  P  e.  Fin ) )
2625biimpd 207 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  V  e. 
Fin  ->  -.  P  e.  Fin ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458   ~Pcpw 3999   {csn 4016   {cpr 4018   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   -1-1-onto->wf1o 5569    ~~ cen 7506   Fincfn 7509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513
This theorem is referenced by:  cusgrafi  24684
  Copyright terms: Public domain W3C validator