MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrafilem3 Structured version   Unicode version

Theorem cusgrafilem3 23411
Description: Lemma 2 for cusgrafi 23412. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrafi.p  |-  P  =  { x  e.  ~P V  |  E. a  e.  V  ( a  =/=  N  /\  x  =  { a ,  N } ) }
cusgrafi.f  |-  F  =  ( x  e.  ( V  \  { N } )  |->  { x ,  N } )
Assertion
Ref Expression
cusgrafilem3  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  V  e. 
Fin  ->  -.  P  e.  Fin ) )
Distinct variable groups:    N, a, x    V, a, x    x, P    W, a, x
Allowed substitution hints:    P( a)    F( x, a)

Proof of Theorem cusgrafilem3
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 7564 . . . . 5  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  \  { N }
)  e.  Fin )
2 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V
)  /\  -.  V  e.  Fin )  ->  -.  V  e.  Fin )
3 snfi 7411 . . . . . . . 8  |-  { N }  e.  Fin
4 difinf 7603 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  V  e.  Fin  /\ 
{ N }  e.  Fin )  ->  -.  ( V  \  { N }
)  e.  Fin )
52, 3, 4sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V
)  /\  -.  V  e.  Fin )  ->  -.  ( V  \  { N } )  e.  Fin )
65ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  V  e. 
Fin  ->  -.  ( V  \  { N } )  e.  Fin ) )
76con4d 105 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( ( V  \  { N } )  e. 
Fin  ->  V  e.  Fin ) )
81, 7impbid2 204 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( V  e.  Fin  <->  ( V  \  { N }
)  e.  Fin )
)
9 cusgrafi.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  ( V  \  { N } )  |->  { x ,  N } )
10 difexg 4461 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  W  ->  ( V  \  { N }
)  e.  _V )
11 mptexg 5968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  \  { N } )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( V  \  { N } )  |->  { x ,  N } )  e. 
_V )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  W  ->  (
x  e.  ( V 
\  { N }
)  |->  { x ,  N } )  e. 
_V )
139, 12syl5eqel 2527 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  W  ->  F  e.  _V )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  F  e.  _V )
15 cusgrafi.p . . . . . . . 8  |-  P  =  { x  e.  ~P V  |  E. a  e.  V  ( a  =/=  N  /\  x  =  { a ,  N } ) }
1615, 9cusgrafilem2 23410 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  F : ( V 
\  { N }
)
-1-1-onto-> P )
17 f1oeq1 5653 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ( V 
\  { N }
)
-1-1-onto-> P 
<->  F : ( V 
\  { N }
)
-1-1-onto-> P ) )
1817spcegv 3079 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F : ( V  \  { N } ) -1-1-onto-> P  ->  E. f  f :
( V  \  { N } ) -1-1-onto-> P ) )
1914, 16, 18sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  E. f  f : ( V  \  { N } ) -1-1-onto-> P )
20 bren 7340 . . . . . 6  |-  ( ( V  \  { N } )  ~~  P  <->  E. f  f : ( V  \  { N } ) -1-1-onto-> P )
2119, 20sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N } )  ~~  P
)
22 enfi 7550 . . . . 5  |-  ( ( V  \  { N } )  ~~  P  ->  ( ( V  \  { N } )  e. 
Fin 
<->  P  e.  Fin )
)
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( ( V  \  { N } )  e. 
Fin 
<->  P  e.  Fin )
)
248, 23bitrd 253 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( V  e.  Fin  <->  P  e.  Fin ) )
2524notbid 294 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  V  e. 
Fin 
<->  -.  P  e.  Fin ) )
2625biimpd 207 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  V  e. 
Fin  ->  -.  P  e.  Fin ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2620   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993    \ cdif 3346   ~Pcpw 3881   {csn 3898   {cpr 3900   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   -1-1-onto->wf1o 5438    ~~ cen 7328   Fincfn 7331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-fin 7335
This theorem is referenced by:  cusgrafi  23412
  Copyright terms: Public domain W3C validator