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Theorem cusgrafi 24609
Description: If the size of a complete simple graph is finite, then also its order is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cusgrafi  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  E  e. 
Fin )  ->  V  e.  Fin )

Proof of Theorem cusgrafi
Dummy variables  e  n  p  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfielex 7767 . . . . 5  |-  ( -.  V  e.  Fin  ->  E. n  n  e.  V
)
2 cusisusgra 24585 . . . . . . . 8  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
3 usgrav 24465 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
5 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  p  ->  (
e  =  { v ,  n }  <->  p  =  { v ,  n } ) )
65anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e  =  p  ->  (
( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
)  <->  ( v  =/=  n  /\  p  =  { v ,  n } ) ) )
76rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  p  ->  ( E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
)  <->  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  p  =  {
v ,  n }
) ) )
87cbvrabv 3108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  =  {
p  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  p  =  {
v ,  n }
) }
9 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  ( V  \  { n } ) 
|->  { p ,  n } )  =  ( p  e.  ( V 
\  { n }
)  |->  { p ,  n } )
108, 9cusgrafilem3 24608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  n  e.  V )  ->  ( -.  V  e. 
Fin  ->  -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) )
1110ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V  e.  _V  ->  (
n  e.  V  -> 
( -.  V  e. 
Fin  ->  -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) ) )
1211com13 80 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  V  e.  Fin  ->  ( n  e.  V  -> 
( V  e.  _V  ->  -.  { e  e. 
~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) ) )
1312imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  ( V  e. 
_V  ->  -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) )
1413com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( -.  V  e. 
Fin  /\  n  e.  V )  ->  -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin ) )
158cusgrafilem1 24606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  n  e.  V )  ->  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  C_  ran  E )
16 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ran  E  e.  Fin  /\ 
{ e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  C_  ran  E )  ->  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin )
1716expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  C_  ran  E  ->  ( ran  E  e.  Fin  ->  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) )
1817con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  C_  ran  E  ->  ( -.  {
e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin  ->  -.  ran  E  e. 
Fin ) )
19 rnfi 7823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E  e.  Fin  ->  ran  E  e.  Fin )
2019con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
ran  E  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin )
2118, 20syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  C_  ran  E  ->  ( -.  {
e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin ) )
2215, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  n  e.  V )  ->  ( -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin ) )
2322expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  V  ->  ( -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin ) ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  ( -.  {
e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin )
) )
2614, 25sylcom 29 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( -.  V  e. 
Fin  /\  n  e.  V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin ) ) )
2726com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  -.  E  e.  Fin ) ) )
2827adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( -.  V  e. 
Fin  /\  n  e.  V )  ->  -.  E  e.  Fin )
) )
294, 28mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  -.  E  e.  Fin ) )
3029com12 31 . . . . 5  |-  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin ) )
311, 30exlimddv 1727 . . . 4  |-  ( -.  V  e.  Fin  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin ) )
3231com12 31 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( -.  V  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin ) )
3332con4d 105 . 2  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( E  e. 
Fin  ->  V  e.  Fin ) )
3433imp 429 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  E  e. 
Fin )  ->  V  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   Fincfn 7535   USGrph cusg 24457   ComplUSGrph ccusgra 24545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12409  df-usgra 24460  df-cusgra 24548
This theorem is referenced by:  sizeusglecusglem2  24612
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