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Theorem cusgrafi 23213
Description: If the size of a complete simple graph is finite, then also its order is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cusgrafi  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  E  e. 
Fin )  ->  V  e.  Fin )

Proof of Theorem cusgrafi
Dummy variables  e  n  p  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfielex 7529 . . . . 5  |-  ( -.  V  e.  Fin  ->  E. n  n  e.  V
)
2 cusisusgra 23189 . . . . . . . 8  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
3 usgrav 23093 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
5 eqeq1 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  p  ->  (
e  =  { v ,  n }  <->  p  =  { v ,  n } ) )
65anbi2d 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e  =  p  ->  (
( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
)  <->  ( v  =/=  n  /\  p  =  { v ,  n } ) ) )
76rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  p  ->  ( E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
)  <->  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  p  =  {
v ,  n }
) ) )
87cbvrabv 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  =  {
p  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  p  =  {
v ,  n }
) }
9 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  ( V  \  { n } ) 
|->  { p ,  n } )  =  ( p  e.  ( V 
\  { n }
)  |->  { p ,  n } )
108, 9cusgrafilem3 23212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  n  e.  V )  ->  ( -.  V  e. 
Fin  ->  -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) )
1110ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V  e.  _V  ->  (
n  e.  V  -> 
( -.  V  e. 
Fin  ->  -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) ) )
1211com13 80 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  V  e.  Fin  ->  ( n  e.  V  -> 
( V  e.  _V  ->  -.  { e  e. 
~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) ) )
1312imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  ( V  e. 
_V  ->  -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) )
1413com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( -.  V  e. 
Fin  /\  n  e.  V )  ->  -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin ) )
158cusgrafilem1 23210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  n  e.  V )  ->  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  C_  ran  E )
16 ssfi 7521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ran  E  e.  Fin  /\ 
{ e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  C_  ran  E )  ->  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin )
1716expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  C_  ran  E  ->  ( ran  E  e.  Fin  ->  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) )
1817con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  C_  ran  E  ->  ( -.  {
e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin  ->  -.  ran  E  e. 
Fin ) )
19 rnfi 7584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E  e.  Fin  ->  ran  E  e.  Fin )
2019con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
ran  E  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin )
2118, 20syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  C_  ran  E  ->  ( -.  {
e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin ) )
2215, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  n  e.  V )  ->  ( -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin ) )
2322expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  V  ->  ( -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin ) ) )
2524adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  ( -.  {
e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin )
) )
2614, 25sylcom 29 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( -.  V  e. 
Fin  /\  n  e.  V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin ) ) )
2726com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  -.  E  e.  Fin ) ) )
2827adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( -.  V  e. 
Fin  /\  n  e.  V )  ->  -.  E  e.  Fin )
) )
294, 28mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  -.  E  e.  Fin ) )
3029com12 31 . . . . 5  |-  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin ) )
311, 30exlimddv 1691 . . . 4  |-  ( -.  V  e.  Fin  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin ) )
3231com12 31 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( -.  V  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin ) )
3332con4d 105 . 2  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( E  e. 
Fin  ->  V  e.  Fin ) )
3433imp 429 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  E  e. 
Fin )  ->  V  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    C_ wss 3316   ~Pcpw 3848   {csn 3865   {cpr 3867   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ran crn 4828   Fincfn 7298   USGrph cusg 23087   ComplUSGrph ccusgra 23153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-hash 12088  df-usgra 23089  df-cusgra 23156
This theorem is referenced by:  sizeusglecusglem2  23216
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