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Theorem cusgrafi 23569
Description: If the size of a complete simple graph is finite, then also its order is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cusgrafi  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  E  e. 
Fin )  ->  V  e.  Fin )

Proof of Theorem cusgrafi
Dummy variables  e  n  p  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfielex 7655 . . . . 5  |-  ( -.  V  e.  Fin  ->  E. n  n  e.  V
)
2 cusisusgra 23545 . . . . . . . 8  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
3 usgrav 23449 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
5 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  p  ->  (
e  =  { v ,  n }  <->  p  =  { v ,  n } ) )
65anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e  =  p  ->  (
( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
)  <->  ( v  =/=  n  /\  p  =  { v ,  n } ) ) )
76rexbidv 2868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  p  ->  ( E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
)  <->  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  p  =  {
v ,  n }
) ) )
87cbvrabv 3077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  =  {
p  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  p  =  {
v ,  n }
) }
9 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  ( V  \  { n } ) 
|->  { p ,  n } )  =  ( p  e.  ( V 
\  { n }
)  |->  { p ,  n } )
108, 9cusgrafilem3 23568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  n  e.  V )  ->  ( -.  V  e. 
Fin  ->  -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) )
1110ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V  e.  _V  ->  (
n  e.  V  -> 
( -.  V  e. 
Fin  ->  -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) ) )
1211com13 80 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  V  e.  Fin  ->  ( n  e.  V  -> 
( V  e.  _V  ->  -.  { e  e. 
~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) ) )
1312imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  ( V  e. 
_V  ->  -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) )
1413com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( -.  V  e. 
Fin  /\  n  e.  V )  ->  -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin ) )
158cusgrafilem1 23566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  n  e.  V )  ->  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  C_  ran  E )
16 ssfi 7647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ran  E  e.  Fin  /\ 
{ e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  C_  ran  E )  ->  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin )
1716expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  C_  ran  E  ->  ( ran  E  e.  Fin  ->  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  (
v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin ) )
1817con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  C_  ran  E  ->  ( -.  {
e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin  ->  -.  ran  E  e. 
Fin ) )
19 rnfi 7710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E  e.  Fin  ->  ran  E  e.  Fin )
2019con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
ran  E  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin )
2118, 20syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  C_  ran  E  ->  ( -.  {
e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin ) )
2215, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  n  e.  V )  ->  ( -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin ) )
2322expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  V  ->  ( -.  { e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  { v ,  n } ) }  e.  Fin  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin ) ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  ( -.  {
e  e.  ~P V  |  E. v  e.  V  ( v  =/=  n  /\  e  =  {
v ,  n }
) }  e.  Fin  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin )
) )
2614, 25sylcom 29 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( -.  V  e. 
Fin  /\  n  e.  V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin ) ) )
2726com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  -.  E  e.  Fin ) ) )
2827adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( -.  V  e. 
Fin  /\  n  e.  V )  ->  -.  E  e.  Fin )
) )
294, 28mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  -.  E  e.  Fin ) )
3029com12 31 . . . . 5  |-  ( ( -.  V  e.  Fin  /\  n  e.  V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin ) )
311, 30exlimddv 1693 . . . 4  |-  ( -.  V  e.  Fin  ->  ( V ComplUSGrph  E  ->  -.  E  e.  Fin ) )
3231com12 31 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( -.  V  e.  Fin  ->  -.  E  e.  Fin ) )
3332con4d 105 . 2  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( E  e. 
Fin  ->  V  e.  Fin ) )
3433imp 429 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  E  e. 
Fin )  ->  V  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   {csn 3988   {cpr 3990   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   ran crn 4952   Fincfn 7423   USGrph cusg 23443   ComplUSGrph ccusgra 23509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-hash 12225  df-usgra 23445  df-cusgra 23512
This theorem is referenced by:  sizeusglecusglem2  23572
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