Theorem cusgraexilem2 23528

Description: Lemma 2 for cusgraexi 23529. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgraexi.p	|- P = { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 }

Assertion

Ref	Expression
cusgraexilem2	|- ( V e. W -> V USGrph ( _I |` P ) )

Distinct variable groups:   x, V   x, P   x, W

Proof of Theorem cusgraexilem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgraexi.p	. . 3 |- P = { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 }
2	1	cusgraexilem1 23527	. 2 |- ( V e. W -> ( _I |` P ) e. _V )
3		f1oi 5785	. . . . . 6 |- ( _I |` P ) : P -1-1-onto-> P
4		f1of1 5749	. . . . . 6 |- ( ( _I |` P ) : P -1-1-onto-> P -> ( _I |` P ) : P -1-1-> P )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( _I |` P ) : P -1-1-> P
6		dmresi 5270	. . . . . 6 |- dom ( _I |` P ) = P
7		f1eq2 5711	. . . . . 6 |- ( dom ( _I |` P ) = P -> ( ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P <-> ( _I |` P ) : P -1-1-> P ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P <-> ( _I |` P ) : P -1-1-> P )
9	5, 8	mpbir 209	. . . 4 |- ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P
10	1	eqcomi 2467	. . . . 5 |- { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } = P
11		f1eq3 5712	. . . . 5 |- ( { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } = P -> ( ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } <-> ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P ) )
12	10, 11	mp1i 12	. . . 4 |- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> ( ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } <-> ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P ) )
13	9, 12	mpbiri 233	. . 3 |- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )
14		isusgra0 23428	. . 3 |- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> ( V USGrph ( _I |` P ) <-> ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } ) )
15	13, 14	mpbird 232	. 2 |- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> V USGrph ( _I |` P ) )
16	2, 15	mpdan 668	1 |- ( V e. W -> V USGrph ( _I |` P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   {crab 2803   _Vcvv 3078   ~Pcpw 3969   class class class wbr 4401   _I cid 4740   dom cdm 4949   |` cres 4951   -1-1->wf1 5524   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527   2c2 10483   #chash 12221   USGrph cusg 23417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-hash 12222  df-usgra 23419

This theorem is referenced by:  cusgraexi  23529