Theorem cusgraexilem2 24669

Description: Lemma 2 for cusgraexi 24670. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgraexi.p	|- P = { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 }

Assertion

Ref	Expression
cusgraexilem2	|- ( V e. W -> V USGrph ( _I |` P ) )

Distinct variable groups:   x, V   x, P   x, W

Proof of Theorem cusgraexilem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgraexi.p	. . 3 |- P = { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 }
2	1	cusgraexilem1 24668	. 2 |- ( V e. W -> ( _I |` P ) e. _V )
3		f1oi 5833	. . . . . 6 |- ( _I |` P ) : P -1-1-onto-> P
4		f1of1 5797	. . . . . 6 |- ( ( _I |` P ) : P -1-1-onto-> P -> ( _I |` P ) : P -1-1-> P )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( _I |` P ) : P -1-1-> P
6		dmresi 5317	. . . . . 6 |- dom ( _I |` P ) = P
7		f1eq2 5759	. . . . . 6 |- ( dom ( _I |` P ) = P -> ( ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P <-> ( _I |` P ) : P -1-1-> P ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P <-> ( _I |` P ) : P -1-1-> P )
9	5, 8	mpbir 209	. . . 4 |- ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P
10	1	eqcomi 2467	. . . . 5 |- { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } = P
11		f1eq3 5760	. . . . 5 |- ( { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } = P -> ( ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } <-> ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P ) )
12	10, 11	mp1i 12	. . . 4 |- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> ( ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } <-> ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P ) )
13	9, 12	mpbiri 233	. . 3 |- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )
14		isusgra0 24549	. . 3 |- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> ( V USGrph ( _I |` P ) <-> ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } ) )
15	13, 14	mpbird 232	. 2 |- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> V USGrph ( _I |` P ) )
16	2, 15	mpdan 666	1 |- ( V e. W -> V USGrph ( _I |` P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   {crab 2808   _Vcvv 3106   ~Pcpw 3999   class class class wbr 4439   _I cid 4779   dom cdm 4988   |` cres 4990   -1-1->wf1 5567   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570   2c2 10581   #chash 12387   USGrph cusg 24532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-hash 12388  df-usgra 24535

This theorem is referenced by:  cusgraexi  24670