MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgra3vnbpr Structured version   Unicode version

Theorem cusgra3vnbpr 24288
Description: The neighbors of a vertex in a graph with three elements are unordered pairs of the other vertices if and only if the graph is complete. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgra3v.v  |-  V  =  { A ,  B ,  C }
Assertion
Ref Expression
cusgra3vnbpr  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  A. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  ( V  \  { y } ) ( <. V ,  E >. Neighbors  x )  =  {
y ,  z } ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z    x, C, y, z    x, E, y, z    x, V, y, z
Allowed substitution hints:    X( x, y, z)    Y( x, y, z)    Z( x, y, z)

Proof of Theorem cusgra3vnbpr
StepHypRef Expression
1 cusgra3v.v . . 3  |-  V  =  { A ,  B ,  C }
21cusgra3v 24287 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
31jctl 541 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  =  { A ,  B ,  C }  /\  V USGrph  E ) )
4 nb3grapr 24276 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( V  =  { A ,  B ,  C }  /\  V USGrph  E )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  <->  A. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  ( V  \  { y } ) ( <. V ,  E >. Neighbors  x )  =  {
y ,  z } ) )
53, 4syl3an2 1262 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  <->  A. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  ( V  \  { y } ) ( <. V ,  E >. Neighbors  x )  =  {
y ,  z } ) )
62, 5bitrd 253 1  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  A. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  ( V  \  { y } ) ( <. V ,  E >. Neighbors  x )  =  {
y ,  z } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    \ cdif 3478   {csn 4033   {cpr 4035   {ctp 4037   <.cop 4039   class class class wbr 4453   ran crn 5006  (class class class)co 6295   USGrph cusg 24153   Neighbors cnbgra 24240   ComplUSGrph ccusgra 24241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-hash 12386  df-usgra 24156  df-nbgra 24243  df-cusgra 24244
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator