MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgra3v Structured version   Unicode version

Theorem cusgra3v 25184
Description: A graph with three (different) vertices is complete if and only if there is an edge between each of these three vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgra3v.v  |-  V  =  { A ,  B ,  C }
Assertion
Ref Expression
cusgra3v  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )

Proof of Theorem cusgra3v
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1007 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  V USGrph  E )
21biantrurd 511 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <-> 
( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E
) ) )
3 cusgra3v.v . . . . . . . 8  |-  V  =  { A ,  B ,  C }
43difeq1i 3580 . . . . . . 7  |-  ( V 
\  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) )
65raleqdv 3032 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) )
76ralbidv 2865 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. k  e.  V  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) )
83raleqi 3030 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E
)
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E
) )
10 sneq 4007 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  { k }  =  { A } )
1110difeq2d 3584 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) )
12 preq2 4078 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  { n ,  k }  =  { n ,  A } )
1312eleq1d 2492 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  <->  { n ,  A }  e.  ran  E ) )
1411, 13raleqbidv 3040 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E ) )
15 sneq 4007 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  { k }  =  { B } )
1615difeq2d 3584 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) )
17 preq2 4078 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  { n ,  k }  =  { n ,  B } )
1817eleq1d 2492 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  <->  { n ,  B }  e.  ran  E ) )
1916, 18raleqbidv 3040 . . . . . 6  |-  ( k  =  B  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E ) )
20 sneq 4007 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  C  ->  { k }  =  { C } )
2120difeq2d 3584 . . . . . . 7  |-  ( k  =  C  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) )
22 preq2 4078 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  C  ->  { n ,  k }  =  { n ,  C } )
2322eleq1d 2492 . . . . . . 7  |-  ( k  =  C  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  <->  { n ,  C }  e.  ran  E ) )
2421, 23raleqbidv 3040 . . . . . 6  |-  ( k  =  C  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E ) )
2514, 19, 24raltpg 4049 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E ) ) )
26253ad2ant1 1027 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E ) ) )
277, 9, 263bitrd 283 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <-> 
( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E ) ) )
28 tprot 4093 . . . . . . . . 9  |-  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  C ,  A }
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  C ,  A } )
3029difeq1d 3583 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  =  ( { B ,  C ,  A }  \  { A } ) )
31 necom 2694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
32 necom 2694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
3331, 32anbi12i 702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  <->  ( B  =/=  A  /\  C  =/= 
A ) )
3433biimpi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  -> 
( B  =/=  A  /\  C  =/=  A
) )
35343adant3 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  =/=  A  /\  C  =/=  A ) )
36 diftpsn3 4136 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  =/=  A  /\  C  =/=  A )  -> 
( { B ,  C ,  A }  \  { A } )  =  { B ,  C } )
3735, 36syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { B ,  C ,  A }  \  { A } )  =  { B ,  C }
)
3830, 37eqtrd 2464 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  =  { B ,  C }
)
39383ad2ant3 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  =  { B ,  C }
)
4039raleqdv 3032 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  { B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E ) )
41 tpcomb 4095 . . . . . . . . 9  |-  { A ,  B ,  C }  =  { A ,  C ,  B }
4241a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  { A ,  B ,  C }  =  { A ,  C ,  B } )
4342difeq1d 3583 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  =  ( { A ,  C ,  B }  \  { B } ) )
44 necom 2694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =/=  C  <->  C  =/=  B )
4544biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  C  ->  C  =/=  B )
4645anim2i 572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  -> 
( A  =/=  B  /\  C  =/=  B
) )
47463adant2 1025 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( A  =/=  B  /\  C  =/=  B ) )
48 diftpsn3 4136 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  C  =/=  B )  -> 
( { A ,  C ,  B }  \  { B } )  =  { A ,  C } )
4947, 48syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  C ,  B }  \  { B } )  =  { A ,  C }
)
5043, 49eqtrd 2464 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  =  { A ,  C }
)
51503ad2ant3 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  =  { A ,  C }
)
5251raleqdv 3032 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E ) )
53 diftpsn3 4136 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B } )
54533adant1 1024 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }
)
55543ad2ant3 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }
)
5655raleqdv 3032 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  { A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E ) )
5740, 52, 563anbi123d 1336 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E )  <-> 
( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E ) ) )
58 preq1 4077 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  B  ->  { n ,  A }  =  { B ,  A }
)
5958eleq1d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  ( { n ,  A }  e.  ran  E  <->  { B ,  A }  e.  ran  E ) )
60 preq1 4077 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  C  ->  { n ,  A }  =  { C ,  A }
)
6160eleq1d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  C  ->  ( { n ,  A }  e.  ran  E  <->  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
6259, 61ralprg 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
63623adant1 1024 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
64633ad2ant1 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  { B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  <-> 
( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
65 preq1 4077 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  { n ,  B }  =  { A ,  B }
)
6665eleq1d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( { n ,  B }  e.  ran  E  <->  { A ,  B }  e.  ran  E ) )
67 preq1 4077 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  C  ->  { n ,  B }  =  { C ,  B }
)
6867eleq1d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  C  ->  ( { n ,  B }  e.  ran  E  <->  { C ,  B }  e.  ran  E ) )
6966, 68ralprg 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
70693adant2 1025 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
71703ad2ant1 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
72 preq1 4077 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  { n ,  C }  =  { A ,  C }
)
7372eleq1d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( { n ,  C }  e.  ran  E  <->  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
74 preq1 4077 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  B  ->  { n ,  C }  =  { B ,  C }
)
7574eleq1d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  ( { n ,  C }  e.  ran  E  <->  { B ,  C }  e.  ran  E ) )
7673, 75ralprg 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
77763adant3 1026 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
78773ad2ant1 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  { A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E  <-> 
( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
7964, 71, 783anbi123d 1336 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) ) )
80 ancom 452 . . . . . . 7  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) )
81803anbi2i 1198 . . . . . 6  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
82 3an6 1346 . . . . . 6  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
8381, 82bitri 253 . . . . 5  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
8483a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) ) )
85 prcom 4076 . . . . . . . . 9  |-  { B ,  A }  =  { A ,  B }
8685eleq1i 2500 . . . . . . . 8  |-  ( { B ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  B }  e.  ran  E )
87 prcom 4076 . . . . . . . . 9  |-  { C ,  B }  =  { B ,  C }
8887eleq1i 2500 . . . . . . . 8  |-  ( { C ,  B }  e.  ran  E  <->  { B ,  C }  e.  ran  E )
89 prcom 4076 . . . . . . . . 9  |-  { A ,  C }  =  { C ,  A }
9089eleq1i 2500 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  C }  e.  ran  E  <->  { C ,  A }  e.  ran  E )
9186, 88, 903anbi123i 1195 . . . . . . 7  |-  ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
92 3anrot 988 . . . . . . 7  |-  ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
9391, 92anbi12i 702 . . . . . 6  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
94 anidm 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
9593, 94bitri 253 . . . . 5  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
9695a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
9779, 84, 963bitrd 283 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
9827, 57, 973bitrrd 284 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  <->  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) )
99 usgrav 25057 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
100 iscusgra 25176 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) ) )
10199, 100syl 17 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) ) )
1021013ad2ant2 1028 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) ) )
1032, 98, 1023bitr4rd 290 1  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   _Vcvv 3082    \ cdif 3434   {csn 3997   {cpr 3999   {ctp 4001   class class class wbr 4421   ran crn 4852   USGrph cusg 25049   ComplUSGrph ccusgra 25138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pr 4658
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-br 4422  df-opab 4481  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-dm 4861  df-rn 4862  df-usgra 25052  df-cusgra 25141
This theorem is referenced by:  cusgra3vnbpr  25185
  Copyright terms: Public domain W3C validator