MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgra3v Structured version   Unicode version

Theorem cusgra3v 23377
Description: A graph with three (different) vertices is complete if and only if there is an edge between each of these three vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgra3v.v  |-  V  =  { A ,  B ,  C }
Assertion
Ref Expression
cusgra3v  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )

Proof of Theorem cusgra3v
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 989 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  V USGrph  E )
21biantrurd 508 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <-> 
( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E
) ) )
3 cusgra3v.v . . . . . . . 8  |-  V  =  { A ,  B ,  C }
43difeq1i 3475 . . . . . . 7  |-  ( V 
\  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) )
65raleqdv 2928 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) )
76ralbidv 2740 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. k  e.  V  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) )
83raleqi 2926 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E
)
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E
) )
10 sneq 3892 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  { k }  =  { A } )
1110difeq2d 3479 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) )
12 preq2 3960 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  { n ,  k }  =  { n ,  A } )
1312eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  <->  { n ,  A }  e.  ran  E ) )
1411, 13raleqbidv 2936 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E ) )
15 sneq 3892 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  { k }  =  { B } )
1615difeq2d 3479 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) )
17 preq2 3960 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  { n ,  k }  =  { n ,  B } )
1817eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  <->  { n ,  B }  e.  ran  E ) )
1916, 18raleqbidv 2936 . . . . . 6  |-  ( k  =  B  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E ) )
20 sneq 3892 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  C  ->  { k }  =  { C } )
2120difeq2d 3479 . . . . . . 7  |-  ( k  =  C  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) )
22 preq2 3960 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  C  ->  { n ,  k }  =  { n ,  C } )
2322eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( k  =  C  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  <->  { n ,  C }  e.  ran  E ) )
2421, 23raleqbidv 2936 . . . . . 6  |-  ( k  =  C  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E ) )
2514, 19, 24raltpg 3932 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E ) ) )
26253ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E ) ) )
277, 9, 263bitrd 279 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <-> 
( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E ) ) )
28 tprot 3975 . . . . . . . . 9  |-  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  C ,  A }
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  C ,  A } )
3029difeq1d 3478 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  =  ( { B ,  C ,  A }  \  { A } ) )
31 necom 2698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
32 necom 2698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
3331, 32anbi12i 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  <->  ( B  =/=  A  /\  C  =/= 
A ) )
3433biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  -> 
( B  =/=  A  /\  C  =/=  A
) )
35343adant3 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  =/=  A  /\  C  =/=  A ) )
36 diftpsn3 4017 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  =/=  A  /\  C  =/=  A )  -> 
( { B ,  C ,  A }  \  { A } )  =  { B ,  C } )
3735, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { B ,  C ,  A }  \  { A } )  =  { B ,  C }
)
3830, 37eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  =  { B ,  C }
)
39383ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  =  { B ,  C }
)
4039raleqdv 2928 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  { B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E ) )
41 tpcomb 3977 . . . . . . . . 9  |-  { A ,  B ,  C }  =  { A ,  C ,  B }
4241a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  { A ,  B ,  C }  =  { A ,  C ,  B } )
4342difeq1d 3478 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  =  ( { A ,  C ,  B }  \  { B } ) )
44 necom 2698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =/=  C  <->  C  =/=  B )
4544biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  C  ->  C  =/=  B )
4645anim2i 569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  -> 
( A  =/=  B  /\  C  =/=  B
) )
47463adant2 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( A  =/=  B  /\  C  =/=  B ) )
48 diftpsn3 4017 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  C  =/=  B )  -> 
( { A ,  C ,  B }  \  { B } )  =  { A ,  C } )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  C ,  B }  \  { B } )  =  { A ,  C }
)
5043, 49eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  =  { A ,  C }
)
51503ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  =  { A ,  C }
)
5251raleqdv 2928 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E ) )
53 diftpsn3 4017 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B } )
54533adant1 1006 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }
)
55543ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }
)
5655raleqdv 2928 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  { A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E ) )
5740, 52, 563anbi123d 1289 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E )  <-> 
( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E ) ) )
58 preq1 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  B  ->  { n ,  A }  =  { B ,  A }
)
5958eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  ( { n ,  A }  e.  ran  E  <->  { B ,  A }  e.  ran  E ) )
60 preq1 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  C  ->  { n ,  A }  =  { C ,  A }
)
6160eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  C  ->  ( { n ,  A }  e.  ran  E  <->  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
6259, 61ralprg 3930 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
63623adant1 1006 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
64633ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  { B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  <-> 
( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
65 preq1 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  { n ,  B }  =  { A ,  B }
)
6665eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( { n ,  B }  e.  ran  E  <->  { A ,  B }  e.  ran  E ) )
67 preq1 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  C  ->  { n ,  B }  =  { C ,  B }
)
6867eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  C  ->  ( { n ,  B }  e.  ran  E  <->  { C ,  B }  e.  ran  E ) )
6966, 68ralprg 3930 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
70693adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
71703ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
72 preq1 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  { n ,  C }  =  { A ,  C }
)
7372eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( { n ,  C }  e.  ran  E  <->  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
74 preq1 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  B  ->  { n ,  C }  =  { B ,  C }
)
7574eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  ( { n ,  C }  e.  ran  E  <->  { B ,  C }  e.  ran  E ) )
7673, 75ralprg 3930 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
77763adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
78773ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  { A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E  <-> 
( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
7964, 71, 783anbi123d 1289 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) ) )
80 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) )
81803anbi2i 1179 . . . . . 6  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
82 3an6 1299 . . . . . 6  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
8381, 82bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
8483a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) ) )
85 prcom 3958 . . . . . . . . 9  |-  { B ,  A }  =  { A ,  B }
8685eleq1i 2506 . . . . . . . 8  |-  ( { B ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  B }  e.  ran  E )
87 prcom 3958 . . . . . . . . 9  |-  { C ,  B }  =  { B ,  C }
8887eleq1i 2506 . . . . . . . 8  |-  ( { C ,  B }  e.  ran  E  <->  { B ,  C }  e.  ran  E )
89 prcom 3958 . . . . . . . . 9  |-  { A ,  C }  =  { C ,  A }
9089eleq1i 2506 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  C }  e.  ran  E  <->  { C ,  A }  e.  ran  E )
9186, 88, 903anbi123i 1176 . . . . . . 7  |-  ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
92 3anrot 970 . . . . . . 7  |-  ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
9391, 92anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
94 anidm 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
9593, 94bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
9695a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
9779, 84, 963bitrd 279 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
9827, 57, 973bitrrd 280 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  <->  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) )
99 usgrav 23275 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
100 iscusgra 23369 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) ) )
10199, 100syl 16 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) ) )
1021013ad2ant2 1010 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) ) )
1032, 98, 1023bitr4rd 286 1  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   _Vcvv 2977    \ cdif 3330   {csn 3882   {cpr 3884   {ctp 3886   class class class wbr 4297   ran crn 4846   USGrph cusg 23269   ComplUSGrph ccusgra 23335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-br 4298  df-opab 4356  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-dm 4855  df-rn 4856  df-usgra 23271  df-cusgra 23338
This theorem is referenced by:  cusgra3vnbpr  23378
  Copyright terms: Public domain W3C validator