MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgra3v Structured version   Unicode version

Theorem cusgra3v 24140
Description: A graph with three (different) vertices is complete if and only if there is an edge between each of these three vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgra3v.v  |-  V  =  { A ,  B ,  C }
Assertion
Ref Expression
cusgra3v  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )

Proof of Theorem cusgra3v
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 997 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  V USGrph  E )
21biantrurd 508 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <-> 
( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E
) ) )
3 cusgra3v.v . . . . . . . 8  |-  V  =  { A ,  B ,  C }
43difeq1i 3618 . . . . . . 7  |-  ( V 
\  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) )
65raleqdv 3064 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) )
76ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. k  e.  V  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) )
83raleqi 3062 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E
)
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E
) )
10 sneq 4037 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  { k }  =  { A } )
1110difeq2d 3622 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) )
12 preq2 4107 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  { n ,  k }  =  { n ,  A } )
1312eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  <->  { n ,  A }  e.  ran  E ) )
1411, 13raleqbidv 3072 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E ) )
15 sneq 4037 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  { k }  =  { B } )
1615difeq2d 3622 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) )
17 preq2 4107 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  { n ,  k }  =  { n ,  B } )
1817eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  <->  { n ,  B }  e.  ran  E ) )
1916, 18raleqbidv 3072 . . . . . 6  |-  ( k  =  B  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E ) )
20 sneq 4037 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  C  ->  { k }  =  { C } )
2120difeq2d 3622 . . . . . . 7  |-  ( k  =  C  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) )
22 preq2 4107 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  C  ->  { n ,  k }  =  { n ,  C } )
2322eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( k  =  C  ->  ( { n ,  k }  e.  ran  E  <->  { n ,  C }  e.  ran  E ) )
2421, 23raleqbidv 3072 . . . . . 6  |-  ( k  =  C  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E ) )
2514, 19, 24raltpg 4078 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E ) ) )
26253ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E ) ) )
277, 9, 263bitrd 279 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E  <-> 
( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E ) ) )
28 tprot 4122 . . . . . . . . 9  |-  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  C ,  A }
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  C ,  A } )
3029difeq1d 3621 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  =  ( { B ,  C ,  A }  \  { A } ) )
31 necom 2736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
32 necom 2736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
3331, 32anbi12i 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  <->  ( B  =/=  A  /\  C  =/= 
A ) )
3433biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  -> 
( B  =/=  A  /\  C  =/=  A
) )
35343adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  =/=  A  /\  C  =/=  A ) )
36 diftpsn3 4165 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  =/=  A  /\  C  =/=  A )  -> 
( { B ,  C ,  A }  \  { A } )  =  { B ,  C } )
3735, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { B ,  C ,  A }  \  { A } )  =  { B ,  C }
)
3830, 37eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  =  { B ,  C }
)
39383ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  =  { B ,  C }
)
4039raleqdv 3064 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  { B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E ) )
41 tpcomb 4124 . . . . . . . . 9  |-  { A ,  B ,  C }  =  { A ,  C ,  B }
4241a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  { A ,  B ,  C }  =  { A ,  C ,  B } )
4342difeq1d 3621 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  =  ( { A ,  C ,  B }  \  { B } ) )
44 necom 2736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =/=  C  <->  C  =/=  B )
4544biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  C  ->  C  =/=  B )
4645anim2i 569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  -> 
( A  =/=  B  /\  C  =/=  B
) )
47463adant2 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( A  =/=  B  /\  C  =/=  B ) )
48 diftpsn3 4165 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  C  =/=  B )  -> 
( { A ,  C ,  B }  \  { B } )  =  { A ,  C } )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  C ,  B }  \  { B } )  =  { A ,  C }
)
5043, 49eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  =  { A ,  C }
)
51503ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  =  { A ,  C }
)
5251raleqdv 3064 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E ) )
53 diftpsn3 4165 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B } )
54533adant1 1014 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }
)
55543ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }
)
5655raleqdv 3064 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E  <->  A. n  e.  { A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E ) )
5740, 52, 563anbi123d 1299 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { n ,  C }  e.  ran  E )  <-> 
( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E ) ) )
58 preq1 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  B  ->  { n ,  A }  =  { B ,  A }
)
5958eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  ( { n ,  A }  e.  ran  E  <->  { B ,  A }  e.  ran  E ) )
60 preq1 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  C  ->  { n ,  A }  =  { C ,  A }
)
6160eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  C  ->  ( { n ,  A }  e.  ran  E  <->  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
6259, 61ralprg 4076 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
63623adant1 1014 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
64633ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  { B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  <-> 
( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
65 preq1 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  { n ,  B }  =  { A ,  B }
)
6665eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( { n ,  B }  e.  ran  E  <->  { A ,  B }  e.  ran  E ) )
67 preq1 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  C  ->  { n ,  B }  =  { C ,  B }
)
6867eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  C  ->  ( { n ,  B }  e.  ran  E  <->  { C ,  B }  e.  ran  E ) )
6966, 68ralprg 4076 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
70693adant2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
71703ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
72 preq1 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  { n ,  C }  =  { A ,  C }
)
7372eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( { n ,  C }  e.  ran  E  <->  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
74 preq1 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  B  ->  { n ,  C }  =  { B ,  C }
)
7574eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  ( { n ,  C }  e.  ran  E  <->  { B ,  C }  e.  ran  E ) )
7673, 75ralprg 4076 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
77763adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
78773ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( A. n  e.  { A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E  <-> 
( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
7964, 71, 783anbi123d 1299 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) ) )
80 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) )
81803anbi2i 1188 . . . . . 6  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
82 3an6 1309 . . . . . 6  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
8381, 82bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
8483a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) ) )
85 prcom 4105 . . . . . . . . 9  |-  { B ,  A }  =  { A ,  B }
8685eleq1i 2544 . . . . . . . 8  |-  ( { B ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  B }  e.  ran  E )
87 prcom 4105 . . . . . . . . 9  |-  { C ,  B }  =  { B ,  C }
8887eleq1i 2544 . . . . . . . 8  |-  ( { C ,  B }  e.  ran  E  <->  { B ,  C }  e.  ran  E )
89 prcom 4105 . . . . . . . . 9  |-  { A ,  C }  =  { C ,  A }
9089eleq1i 2544 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  C }  e.  ran  E  <->  { C ,  A }  e.  ran  E )
9186, 88, 903anbi123i 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
92 3anrot 978 . . . . . . 7  |-  ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
9391, 92anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
94 anidm 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
9593, 94bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
9695a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
9779, 84, 963bitrd 279 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( A. n  e. 
{ B ,  C }  { n ,  A }  e.  ran  E  /\  A. n  e.  { A ,  C }  { n ,  B }  e.  ran  E  /\  A. n  e. 
{ A ,  B }  { n ,  C }  e.  ran  E )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
9827, 57, 973bitrrd 280 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  (
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  <->  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) )
99 usgrav 24014 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
100 iscusgra 24132 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) ) )
10199, 100syl 16 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) ) )
1021013ad2ant2 1018 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { k } ) { n ,  k }  e.  ran  E ) ) )
1032, 98, 1023bitr4rd 286 1  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  V USGrph  E  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   {csn 4027   {cpr 4029   {ctp 4031   class class class wbr 4447   ran crn 5000   USGrph cusg 24006   ComplUSGrph ccusgra 24094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010  df-usgra 24009  df-cusgra 24097
This theorem is referenced by:  cusgra3vnbpr  24141
  Copyright terms: Public domain W3C validator