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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cusgra2v | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: A graph with two (different) vertices is complete if and only if there is an edge between these two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
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cusgra2v |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | usgrav 25077 |
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2 | 1 | adantr 467 |
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3 | iscusgra 25196 |
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4 | 2, 3 | syl 17 |
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5 | 3simpa 1006 |
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6 | 5 | adantl 468 |
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7 | sneq 3980 |
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8 | 7 | difeq2d 3553 |
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9 | preq2 4055 |
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10 | 9 | eleq1d 2515 |
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11 | 8, 10 | raleqbidv 3003 |
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12 | sneq 3980 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | difeq2d 3553 |
. . . . . . 7
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14 | preq2 4055 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | eleq1d 2515 |
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16 | 13, 15 | raleqbidv 3003 |
. . . . . 6
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17 | 11, 16 | ralprg 4023 |
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18 | 6, 17 | syl 17 |
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19 | ibar 507 |
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20 | 19 | adantr 467 |
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21 | difprsn1 4111 |
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22 | 21 | 3ad2ant3 1032 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | adantl 468 |
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24 | 23 | raleqdv 2995 |
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25 | preq1 4054 |
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26 | 25 | eleq1d 2515 |
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27 | 26 | ralsng 4008 |
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28 | 27 | 3ad2ant2 1031 |
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29 | 28 | adantl 468 |
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30 | 24, 29 | bitrd 257 |
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31 | difprsn2 4112 |
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32 | 31 | 3ad2ant3 1032 |
. . . . . . . . 9
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33 | 32 | adantl 468 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | raleqdv 2995 |
. . . . . . 7
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35 | preq1 4054 |
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36 | 35 | eleq1d 2515 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 36 | ralsng 4008 |
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38 | 37 | 3ad2ant1 1030 |
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39 | 38 | adantl 468 |
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40 | 34, 39 | bitrd 257 |
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41 | 30, 40 | anbi12d 718 |
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42 | prcom 4053 |
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43 | 42 | eleq1i 2522 |
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44 | 43 | anbi1i 702 |
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45 | anidm 650 |
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46 | 44, 45 | bitri 253 |
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47 | 41, 46 | syl6bb 265 |
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48 | 18, 20, 47 | 3bitr3d 287 |
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49 | 4, 48 | bitrd 257 |
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50 | 49 | expcom 437 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1671 ax-4 1684 ax-5 1760 ax-6 1807 ax-7 1853 ax-9 1898 ax-10 1917 ax-11 1922 ax-12 1935 ax-13 2093 ax-ext 2433 ax-sep 4528 ax-nul 4537 ax-pr 4642 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3an 988 df-tru 1449 df-ex 1666 df-nf 1670 df-sb 1800 df-eu 2305 df-mo 2306 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2583 df-ne 2626 df-ral 2744 df-rex 2745 df-rab 2748 df-v 3049 df-sbc 3270 df-dif 3409 df-un 3411 df-in 3413 df-ss 3420 df-nul 3734 df-if 3884 df-sn 3971 df-pr 3973 df-op 3977 df-br 4406 df-opab 4465 df-xp 4843 df-rel 4844 df-cnv 4845 df-dm 4847 df-rn 4848 df-usgra 25072 df-cusgra 25161 |
This theorem is referenced by: (None) |
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