Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  curry2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem curry2 6891
 Description: Composition with turns any binary operation with a constant second operand into a function of the first operand only. This transformation is called "currying." (If this becomes frequently used, we can introduce a new notation for the hypothesis.) (Contributed by NM, 16-Dec-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
curry2.1
Assertion
Ref Expression
curry2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem curry2
StepHypRef Expression
1 fnfun 5673 . . . . 5
2 1stconst 6884 . . . . . 6
3 dff1o3 5820 . . . . . . 7
43simprbi 466 . . . . . 6
52, 4syl 17 . . . . 5
6 funco 5620 . . . . 5
71, 5, 6syl2an 480 . . . 4
8 dmco 5343 . . . . 5
9 fndm 5675 . . . . . . . 8
109adantr 467 . . . . . . 7
1110imaeq2d 5168 . . . . . 6
12 imacnvcnv 5300 . . . . . . . . 9
13 df-ima 4847 . . . . . . . . 9
14 resres 5117 . . . . . . . . . 10
1514rneqi 5061 . . . . . . . . 9
1612, 13, 153eqtri 2477 . . . . . . . 8
17 inxp 4967 . . . . . . . . . . . . 13
18 incom 3625 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 inv1 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . 14
2120xpeq1i 4854 . . . . . . . . . . . . 13
2217, 21eqtri 2473 . . . . . . . . . . . 12
23 snssi 4116 . . . . . . . . . . . . . 14
24 df-ss 3418 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24sylib 200 . . . . . . . . . . . . 13
2625xpeq2d 4858 . . . . . . . . . . . 12
2722, 26syl5eq 2497 . . . . . . . . . . 11
2827reseq2d 5105 . . . . . . . . . 10
2928rneqd 5062 . . . . . . . . 9
30 1stconst 6884 . . . . . . . . . 10
31 f1ofo 5821 . . . . . . . . . 10
32 forn 5796 . . . . . . . . . 10
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . 9
3429, 33eqtrd 2485 . . . . . . . 8
3516, 34syl5eq 2497 . . . . . . 7
3635adantl 468 . . . . . 6
3711, 36eqtrd 2485 . . . . 5
388, 37syl5eq 2497 . . . 4
39 curry2.1 . . . . . 6
4039fneq1i 5670 . . . . 5
41 df-fn 5585 . . . . 5
4240, 41bitri 253 . . . 4
437, 38, 42sylanbrc 670 . . 3
44 dffn5 5910 . . 3
4543, 44sylib 200 . 2
4639fveq1i 5866 . . . . 5
47 dff1o4 5822 . . . . . . . . 9
482, 47sylib 200 . . . . . . . 8
4948simprd 465 . . . . . . 7
50 vex 3048 . . . . . . 7
51 fvco2 5940 . . . . . . 7
5249, 50, 51sylancl 668 . . . . . 6
5352ad2antlr 733 . . . . 5
5446, 53syl5eq 2497 . . . 4
552adantr 467 . . . . . . . . 9
5650a1i 11 . . . . . . . . . 10
57 snidg 3994 . . . . . . . . . . 11
5857adantr 467 . . . . . . . . . 10
59 opelxp 4864 . . . . . . . . . 10
6056, 58, 59sylanbrc 670 . . . . . . . . 9
6155, 60jca 535 . . . . . . . 8
6250a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
6362, 57, 59sylanbrc 670 . . . . . . . . . . 11
64 fvres 5879 . . . . . . . . . . 11
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . 10
6665adantr 467 . . . . . . . . 9
67 op1stg 6805 . . . . . . . . . 10
6867ancoms 455 . . . . . . . . 9
6966, 68eqtrd 2485 . . . . . . . 8
70 f1ocnvfv 6177 . . . . . . . 8
7161, 69, 70sylc 62 . . . . . . 7
7271fveq2d 5869 . . . . . 6
7372adantll 720 . . . . 5
74 df-ov 6293 . . . . 5
7573, 74syl6eqr 2503 . . . 4
7654, 75eqtrd 2485 . . 3
7776mpteq2dva 4489 . 2
7845, 77eqtrd 2485 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  cvv 3045   cin 3403   wss 3404  csn 3968  cop 3974   cmpt 4461   cxp 4832  ccnv 4833   cdm 4834   crn 4835   cres 4836  cima 4837   ccom 4838   wfun 5576   wfn 5577  wfo 5580  wf1o 5581  cfv 5582  (class class class)co 6290  c1st 6791 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-1st 6793  df-2nd 6794 This theorem is referenced by:  curry2f  6892  curry2val  6893
 Copyright terms: Public domain W3C validator