Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  curry1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem curry1 6907
 Description: Composition with turns any binary operation with a constant first operand into a function of the second operand only. This transformation is called "currying." (Contributed by NM, 28-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
curry1.1
Assertion
Ref Expression
curry1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem curry1
StepHypRef Expression
1 fnfun 5683 . . . . 5
2 2ndconst 6904 . . . . . 6
3 dff1o3 5834 . . . . . . 7
43simprbi 471 . . . . . 6
52, 4syl 17 . . . . 5
6 funco 5627 . . . . 5
71, 5, 6syl2an 485 . . . 4
8 dmco 5350 . . . . 5
9 fndm 5685 . . . . . . . 8
109adantr 472 . . . . . . 7
1110imaeq2d 5174 . . . . . 6
12 imacnvcnv 5307 . . . . . . . . 9
13 df-ima 4852 . . . . . . . . 9
14 resres 5123 . . . . . . . . . 10
1514rneqi 5067 . . . . . . . . 9
1612, 13, 153eqtri 2497 . . . . . . . 8
17 inxp 4972 . . . . . . . . . . . . 13
18 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 inv1 3764 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14
2120xpeq2i 4860 . . . . . . . . . . . . 13
2217, 21eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12
23 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . 14
24 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13
2625xpeq1d 4862 . . . . . . . . . . . 12
2722, 26syl5eq 2517 . . . . . . . . . . 11
2827reseq2d 5111 . . . . . . . . . 10
2928rneqd 5068 . . . . . . . . 9
30 2ndconst 6904 . . . . . . . . . 10
31 f1ofo 5835 . . . . . . . . . 10
32 forn 5809 . . . . . . . . . 10
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . 9
3429, 33eqtrd 2505 . . . . . . . 8
3516, 34syl5eq 2517 . . . . . . 7
3635adantl 473 . . . . . 6
3711, 36eqtrd 2505 . . . . 5
388, 37syl5eq 2517 . . . 4
39 curry1.1 . . . . . 6
4039fneq1i 5680 . . . . 5
41 df-fn 5592 . . . . 5
4240, 41bitri 257 . . . 4
437, 38, 42sylanbrc 677 . . 3
44 dffn5 5924 . . 3
4543, 44sylib 201 . 2
4639fveq1i 5880 . . . . 5
47 dff1o4 5836 . . . . . . . . 9
482, 47sylib 201 . . . . . . . 8
4948simprd 470 . . . . . . 7
50 vex 3034 . . . . . . . 8
51 fvco2 5955 . . . . . . . 8
5250, 51mpan2 685 . . . . . . 7
5349, 52syl 17 . . . . . 6
5453ad2antlr 741 . . . . 5
5546, 54syl5eq 2517 . . . 4
562adantr 472 . . . . . . . . 9
57 snidg 3986 . . . . . . . . . . . 12
5857, 50jctir 547 . . . . . . . . . . 11
59 opelxp 4869 . . . . . . . . . . 11
6058, 59sylibr 217 . . . . . . . . . 10
6160adantr 472 . . . . . . . . 9
6256, 61jca 541 . . . . . . . 8
63 fvres 5893 . . . . . . . . . . 11
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . 10
65 op2ndg 6825 . . . . . . . . . . 11
6650, 65mpan2 685 . . . . . . . . . 10
6764, 66eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
6867adantr 472 . . . . . . . 8
69 f1ocnvfv 6195 . . . . . . . 8
7062, 68, 69sylc 61 . . . . . . 7
7170fveq2d 5883 . . . . . 6
7271adantll 728 . . . . 5
73 df-ov 6311 . . . . 5
7472, 73syl6eqr 2523 . . . 4
7555, 74eqtrd 2505 . . 3
7675mpteq2dva 4482 . 2
7745, 76eqtrd 2505 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  csn 3959  cop 3965   cmpt 4454   cxp 4837  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842   ccom 4843   wfun 5583   wfn 5584  wfo 5587  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308  c2nd 6811 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-1st 6812  df-2nd 6813 This theorem is referenced by:  curry1val  6908  curry1f  6909
 Copyright terms: Public domain W3C validator