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Theorem curfcl 14284
Description: The curry functor of a functor  F : C  X.  D --> E is a functor curryF  ( F ) : C --> ( D --> E ). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
curfcl.g  |-  G  =  ( <. C ,  D >. curryF  F
)
curfcl.q  |-  Q  =  ( D FuncCat  E )
curfcl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
curfcl.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
curfcl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
) )
Assertion
Ref Expression
curfcl  |-  ( ph  ->  G  e.  ( C 
Func  Q ) )

Proof of Theorem curfcl
Dummy variables  w  g  x  y  z 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 curfcl.g . . . 4  |-  G  =  ( <. C ,  D >. curryF  F
)
2 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
3 curfcl.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 curfcl.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
5 curfcl.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
) )
6 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
7 eqid 2404 . . . 4  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
8 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
9 eqid 2404 . . . 4  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
10 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10curfval 14275 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  <. (
x  e.  ( Base `  C )  |->  <. (
y  e.  ( Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F
) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >. )
12 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( Base `  C )  e.  _V
1312mptex 5925 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. )  e.  _V
1412, 12mpt2ex 6384 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  e.  _V
1513, 14op1std 6316 . . . . 5  |-  ( G  =  <. ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >.  ->  ( 1st `  G )  =  ( x  e.  (
Base `  C )  |-> 
<. ( y  e.  (
Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >. ) )
1611, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st `  G
)  =  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. ) )
1713, 14op2ndd 6317 . . . . 5  |-  ( G  =  <. ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >.  ->  ( 2nd `  G )  =  ( x  e.  (
Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C )  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  |->  ( z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g ( <. x ,  z
>. ( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) )
1811, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  G
)  =  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) )
1916, 18opeq12d 3952 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( 1st `  G
) ,  ( 2nd `  G ) >.  =  <. ( x  e.  ( Base `  C )  |->  <. (
y  e.  ( Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F
) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >. )
2011, 19eqtr4d 2439 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  <. ( 1st `  G ) ,  ( 2nd `  G
) >. )
21 curfcl.q . . . . 5  |-  Q  =  ( D FuncCat  E )
2221fucbas 14112 . . . 4  |-  ( D 
Func  E )  =  (
Base `  Q )
23 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( D Nat 
E )  =  ( D Nat  E )
2421, 23fuchom 14113 . . . 4  |-  ( D Nat 
E )  =  (  Hom  `  Q )
25 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Id
`  Q )  =  ( Id `  Q
)
26 eqid 2404 . . . 4  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
27 eqid 2404 . . . 4  |-  (comp `  Q )  =  (comp `  Q )
28 funcrcl 14015 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
)  ->  ( ( C  X.c  D )  e.  Cat  /\  E  e.  Cat )
)
295, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  X.c  D
)  e.  Cat  /\  E  e.  Cat )
)
3029simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
3121, 4, 30fuccat 14122 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  Cat )
32 opex 4387 . . . . . 6  |-  <. (
y  e.  ( Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F
) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >.  e.  _V
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >.  e.  _V )
343adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  C  e.  Cat )
354adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  D  e.  Cat )
365adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
37 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
38 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( ( 1st `  G ) `
 x )  =  ( ( 1st `  G
) `  x )
391, 2, 34, 35, 36, 6, 37, 38curf1cl 14280 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( 1st `  G ) `  x )  e.  ( D  Func  E )
)
4033, 16, 39fmpt2d 5857 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st `  G
) : ( Base `  C ) --> ( D 
Func  E ) )
41 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
42 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( x (  Hom  `  C
) y )  e. 
_V
4342mptex 5925 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C )
y )  |->  ( z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g (
<. x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) )  e.  _V
4441, 43fnmpt2i 6379 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  Fn  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )
4518fneq1d 5495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd `  G
)  Fn  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  <->  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  Fn  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) ) )
4644, 45mpbiri 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  G
)  Fn  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )
47 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( Base `  D )  e.  _V
4847mptex 5925 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g (
<. x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) )  e.  _V
4948a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) )  e.  _V )
5018oveqd 6057 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x ( 2nd `  G ) y )  =  ( x ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) y ) )
5141ovmpt4g 6155 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) )  e.  _V )  ->  ( x ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) y )  =  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
5243, 51mp3an3 1268 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
x ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) y )  =  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
5350, 52sylan9eq 2456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  (
x ( 2nd `  G
) y )  =  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  |->  ( z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g ( <. x ,  z
>. ( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
543ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  C  e.  Cat )
554ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  D  e.  Cat )
565ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
) )
57 simplrl 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  x  e.  ( Base `  C ) )
58 simplrr 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
y  e.  ( Base `  C ) )
59 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) )
60 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  g )  =  ( ( x ( 2nd `  G ) y ) `
 g )
611, 2, 54, 55, 56, 6, 9, 10, 57, 58, 59, 60, 23curf2cl 14283 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
( ( x ( 2nd `  G ) y ) `  g
)  e.  ( ( ( 1st `  G
) `  x )
( D Nat  E ) ( ( 1st `  G
) `  y )
) )
6249, 53, 61fmpt2d 5857 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  (
x ( 2nd `  G
) y ) : ( x (  Hom  `  C ) y ) --> ( ( ( 1st `  G ) `  x
) ( D Nat  E
) ( ( 1st `  G ) `  y
) ) )
63 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  X.c  D )  =  ( C  X.c  D )
6463, 2, 6xpcbas 14230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  D
) )  =  (
Base `  ( C  X.c  D ) )
65 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( Id
`  ( C  X.c  D
) )  =  ( Id `  ( C  X.c  D ) )
66 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( Id
`  E )  =  ( Id `  E
)
67 relfunc 14014 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  (
( C  X.c  D ) 
Func  E )
68 1st2ndbr 6355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  ( ( C  X.c  D )  Func  E
)  /\  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)  ->  ( 1st `  F ) ( ( C  X.c  D )  Func  E
) ( 2nd `  F
) )
6967, 5, 68sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1st `  F
) ( ( C  X.c  D )  Func  E
) ( 2nd `  F
) )
7069ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( 1st `  F ) ( ( C  X.c  D ) 
Func  E ) ( 2nd `  F ) )
71 opelxpi 4869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  D ) ) )
7271adantll 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  D ) ) )
7364, 65, 66, 70, 72funcid 14022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  ( ( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( Id `  E
) `  ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  y >.
) ) )
743ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  C  e.  Cat )
754ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  D  e.  Cat )
7637adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
77 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  y  e.  ( Base `  D
) )
7863, 74, 75, 2, 6, 8, 10, 65, 76, 77xpcid 14241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  <. (
( Id `  C
) `  x ) ,  ( ( Id
`  D ) `  y ) >. )
7978fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  ( ( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  <. (
( Id `  C
) `  x ) ,  ( ( Id
`  D ) `  y ) >. )
)
80 df-ov 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Id `  C
) `  x )
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) )  =  ( ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  y >.
) `  <. ( ( Id `  C ) `
 x ) ,  ( ( Id `  D ) `  y
) >. )
8179, 80syl6eqr 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  ( ( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  y >.
) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) )
825ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
831, 2, 74, 75, 82, 6, 76, 38, 77curf11 14278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )  =  ( x ( 1st `  F ) y ) )
84 df-ov 6043 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( 1st `  F
) y )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. x ,  y >. )
8583, 84syl6req 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  F
) `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
)
8685fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( Id `  E
) `  ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( Id `  E
) `  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G ) `  x
) ) `  y
) ) )
8773, 81, 863eqtr3d 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  y >.
) ( ( Id
`  D ) `  y ) )  =  ( ( Id `  E ) `  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) )
8887mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( ( Id `  C ) `
 x ) (
<. x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( Id
`  E ) `  ( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) ) )
8930adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  E  e.  Cat )
90 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  E )  =  (
Base `  E )
9190, 66cidfn 13859 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  Cat  ->  ( Id `  E )  Fn  ( Base `  E
) )
9289, 91syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( Id `  E )  Fn  ( Base `  E ) )
93 dffn2 5551 . . . . . . . 8  |-  ( ( Id `  E )  Fn  ( Base `  E
)  <->  ( Id `  E ) : (
Base `  E ) --> _V )
9492, 93sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( Id `  E ) : (
Base `  E ) --> _V )
95 relfunc 14014 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ( D  Func  E )
96 1st2ndbr 6355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Rel  ( D  Func  E )  /\  ( ( 1st `  G ) `
 x )  e.  ( D  Func  E
) )  ->  ( 1st `  ( ( 1st `  G ) `  x
) ) ( D 
Func  E ) ( 2nd `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) )
9795, 39, 96sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) ( D  Func  E ) ( 2nd `  (
( 1st `  G
) `  x )
) )
986, 90, 97funcf1 14018 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) : ( Base `  D ) --> ( Base `  E ) )
99 fcompt 5863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Id `  E
) : ( Base `  E ) --> _V  /\  ( 1st `  ( ( 1st `  G ) `
 x ) ) : ( Base `  D
) --> ( Base `  E
) )  ->  (
( Id `  E
)  o.  ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) )  =  ( y  e.  ( Base `  D )  |->  ( ( Id `  E ) `
 ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) ) )
10094, 98, 99syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( Id `  E )  o.  ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) )  =  ( y  e.  ( Base `  D )  |->  ( ( Id `  E ) `
 ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) ) )
10188, 100eqtr4d 2439 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( ( Id `  C ) `
 x ) (
<. x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) )  =  ( ( Id
`  E )  o.  ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) ) )
1022, 9, 8, 34, 37catidcl 13862 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( Id `  C ) `  x )  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )
103 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( x ( 2nd `  G ) x ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )
1041, 2, 34, 35, 36, 6, 9, 10, 37, 37, 102, 103curf2 14281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( y  e.  ( Base `  D )  |->  ( ( ( Id `  C
) `  x )
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) ) )
10521, 25, 66, 39fucid 14123 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( Id `  Q ) `  ( ( 1st `  G
) `  x )
)  =  ( ( Id `  E )  o.  ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) ) )
106101, 104, 1053eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  Q
) `  ( ( 1st `  G ) `  x ) ) )
10733ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
108107adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  C  e.  Cat )
10943ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  D  e.  Cat )
110109adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  D  e.  Cat )
11153ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
112111adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
113 simp21 990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
114113adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
115 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  w  e.  ( Base `  D
) )
1161, 2, 108, 110, 112, 6, 114, 38, 115curf11 14278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w )  =  ( x ( 1st `  F ) w ) )
117 df-ov 6043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ( 1st `  F
) w )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. x ,  w >. )
118116, 117syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w )  =  ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. )
)
119 simp22 991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
120119adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
121 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1st `  G ) `
 y )  =  ( ( 1st `  G
) `  y )
1221, 2, 108, 110, 112, 6, 120, 121, 115curf11 14278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  y )
) `  w )  =  ( y ( 1st `  F ) w ) )
123 df-ov 6043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y ( 1st `  F
) w )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. y ,  w >. )
124122, 123syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  y )
) `  w )  =  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. )
)
125118, 124opeq12d 3952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >.  =  <. ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. ) >. )
126 simp23 992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  C )
)
127126adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  z  e.  ( Base `  C
) )
128 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  G ) `
 z )  =  ( ( 1st `  G
) `  z )
1291, 2, 108, 110, 112, 6, 127, 128, 115curf11 14278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )  =  ( z ( 1st `  F ) w ) )
130 df-ov 6043 . . . . . . . . . 10  |-  ( z ( 1st `  F
) w )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. z ,  w >. )
131129, 130syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )  =  ( ( 1st `  F ) `  <. z ,  w >. )
)
132125, 131oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. ( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
)  =  ( <.
( ( 1st `  F
) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F
) `  <. y ,  w >. ) >. (comp `  E ) ( ( 1st `  F ) `
 <. z ,  w >. ) ) )
133 simp3r 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) )
134133adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) )
135 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g )  =  ( ( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g )
1361, 2, 108, 110, 112, 6, 9, 10, 120, 127, 134, 135, 115curf2val 14282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( y ( 2nd `  G ) z ) `  g
) `  w )  =  ( g (
<. y ,  w >. ( 2nd `  F )
<. z ,  w >. ) ( ( Id `  D ) `  w
) ) )
137 df-ov 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( g ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) )  =  ( ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
138136, 137syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( y ( 2nd `  G ) z ) `  g
) `  w )  =  ( ( <.
y ,  w >. ( 2nd `  F )
<. z ,  w >. ) `
 <. g ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. ) )
139 simp3l 985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )
140139adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )
141 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f )  =  ( ( x ( 2nd `  G ) y ) `
 f )
1421, 2, 108, 110, 112, 6, 9, 10, 114, 120, 140, 141, 115curf2val 14282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( x ( 2nd `  G ) y ) `  f
) `  w )  =  ( f (
<. x ,  w >. ( 2nd `  F )
<. y ,  w >. ) ( ( Id `  D ) `  w
) ) )
143 df-ov 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( f ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) )  =  ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) `  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
144142, 143syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( x ( 2nd `  G ) y ) `  f
) `  w )  =  ( ( <.
x ,  w >. ( 2nd `  F )
<. y ,  w >. ) `
 <. f ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. ) )
145132, 138, 144oveq123d 6061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g ) `  w
) ( <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) )  =  ( ( ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
( <. ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  F
) `  <. z ,  w >. ) ) ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) `  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
) )
146 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  (  Hom  `  ( C  X.c  D ) )  =  (  Hom  `  ( C  X.c  D ) )
147 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  (comp `  ( C  X.c  D )
)  =  (comp `  ( C  X.c  D )
)
148 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  (comp `  E )  =  (comp `  E )
14967, 112, 68sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( 1st `  F ) ( ( C  X.c  D ) 
Func  E ) ( 2nd `  F ) )
150 opelxpi 4869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
151113, 150sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
152 opelxpi 4869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( Base `  C )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. y ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
153119, 152sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. y ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
154 opelxpi 4869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( Base `  C )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. z ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
155126, 154sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. z ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
1566, 7, 10, 110, 115catidcl 13862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( Id `  D
) `  w )  e.  ( w (  Hom  `  D ) w ) )
157 opelxpi 4869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  ( ( Id `  D ) `  w
)  e.  ( w (  Hom  `  D
) w ) )  ->  <. f ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >.  e.  ( ( x (  Hom  `  C
) y )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
158140, 156, 157syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  ( ( x (  Hom  `  C ) y )  X.  ( w (  Hom  `  D )
w ) ) )
15963, 2, 6, 9, 7, 114, 115, 120, 115, 146xpchom2 14238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. x ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
y ,  w >. )  =  ( ( x (  Hom  `  C
) y )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
160158, 159eleqtrrd 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  (
<. x ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
y ,  w >. ) )
161 opelxpi 4869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z )  /\  ( ( Id `  D ) `  w
)  e.  ( w (  Hom  `  D
) w ) )  ->  <. g ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >.  e.  ( ( y (  Hom  `  C
) z )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
162134, 156, 161syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  ( ( y (  Hom  `  C ) z )  X.  ( w (  Hom  `  D )
w ) ) )
16363, 2, 6, 9, 7, 120, 115, 127, 115, 146xpchom2 14238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. y ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )  =  ( ( y (  Hom  `  C
) z )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
164162, 163eleqtrrd 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  (
<. y ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. ) )
16564, 146, 147, 148, 149, 151, 153, 155, 160, 164funcco 14023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  ( <.
g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
) )  =  ( ( ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
( <. ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  F
) `  <. z ,  w >. ) ) ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) `  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
) )
166 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
16763, 2, 6, 9, 7, 114, 115, 120, 115, 26, 166, 147, 127, 115, 140, 156, 134, 156xpcco2 14239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
)  =  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( ( Id `  D ) `  w
) ( <. w ,  w >. (comp `  D
) w ) ( ( Id `  D
) `  w )
) >. )
1686, 7, 10, 110, 115, 166, 115, 156catlid 13863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( Id `  D ) `  w
) ( <. w ,  w >. (comp `  D
) w ) ( ( Id `  D
) `  w )
)  =  ( ( Id `  D ) `
 w ) )
169168opeq2d 3951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( ( Id `  D ) `  w
) ( <. w ,  w >. (comp `  D
) w ) ( ( Id `  D
) `  w )
) >.  =  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. )
170167, 169eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
)  =  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. )
171170fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  ( <.
g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
) )  =  ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. ) )
172 df-ov 6043 . . . . . . . 8  |-  ( ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ( <.
x ,  w >. ( 2nd `  F )
<. z ,  w >. ) ( ( Id `  D ) `  w
) )  =  ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. )
173171, 172syl6eqr 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  ( <.
g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
) )  =  ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) ) )
174145, 165, 1733eqtr2rd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) )  =  ( ( ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g ) `  w
) ( <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) ) )
175174mpteq2dva 4255 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( w  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( ( ( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g ) `  w ) ( <.
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) ) ) )
1762, 9, 26, 107, 113, 119, 126, 139, 133catcocl 13865 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z ) )
177 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )
1781, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 113, 126, 176, 177curf2 14281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( w  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) ) ) )
1791, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 113, 119, 139, 141, 23curf2cl 14283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) y ) `  f )  e.  ( ( ( 1st `  G
) `  x )
( D Nat  E ) ( ( 1st `  G
) `  y )
) )
1801, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 119, 126, 133, 135, 23curf2cl 14283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
y ( 2nd `  G
) z ) `  g )  e.  ( ( ( 1st `  G
) `  y )
( D Nat  E ) ( ( 1st `  G
) `  z )
) )
18121, 23, 6, 148, 27, 179, 180fucco 14114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g ) (
<. ( ( 1st `  G
) `  x ) ,  ( ( 1st `  G ) `  y
) >. (comp `  Q
) ( ( 1st `  G ) `  z
) ) ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) )  =  ( w  e.  (
Base `  D )  |->  ( ( ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g ) `  w
) ( <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) ) ) )
182175, 178, 1813eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g ) (
<. ( ( 1st `  G
) `  x ) ,  ( ( 1st `  G ) `  y
) >. (comp `  Q
) ( ( 1st `  G ) `  z
) ) ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) ) )
1832, 22, 9, 24, 8, 25, 26, 27, 3, 31, 40, 46, 62, 106, 182isfuncd 14017 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1st `  G
) ( C  Func  Q ) ( 2nd `  G
) )
184 df-br 4173 . . 3  |-  ( ( 1st `  G ) ( C  Func  Q
) ( 2nd `  G
)  <->  <. ( 1st `  G
) ,  ( 2nd `  G ) >.  e.  ( C  Func  Q )
)
185183, 184sylib 189 . 2  |-  ( ph  -> 
<. ( 1st `  G
) ,  ( 2nd `  G ) >.  e.  ( C  Func  Q )
)
18620, 185eqeltrd 2478 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( C 
Func  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   <.cop 3777   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835    o. ccom 4841   Rel wrel 4842    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   Basecbs 13424    Hom chom 13495  compcco 13496   Catccat 13844   Idccid 13845    Func cfunc 14006   Nat cnat 14093   FuncCat cfuc 14094    X.c cxpc 14220   curryF ccurf 14262
This theorem is referenced by:  uncfcurf  14291  diagcl  14293  curf2ndf  14299  yoncl  14314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-hom 13508  df-cco 13509  df-cat 13848  df-cid 13849  df-func 14010  df-nat 14095  df-fuc 14096  df-xpc 14224  df-curf 14266
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