Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ctbnfien Structured version   Unicode version

Theorem ctbnfien 30207
Description: An infinite subset of a countable set is countable, without using choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ctbnfien  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  Y )

Proof of Theorem ctbnfien
StepHypRef Expression
1 isfinite 8058 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
21notbii 296 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  <->  -.  A  ~<  om )
3 relen 7511 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~~
43brrelexi 5032 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
~~  om  ->  X  e. 
_V )
5 ssdomg 7551 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  _V  ->  ( A  C_  X  ->  A  ~<_  X ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A 
C_  X  ->  A  ~<_  X ) )
7 domen2 7650 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A  ~<_  X  <->  A  ~<_  om )
)
86, 7sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A 
C_  X  ->  A  ~<_  om ) )
98imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( X  ~~  om  /\  A  C_  X )  ->  A  ~<_  om )
10 brdom2 7535 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  om  <->  ( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
119, 10sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( X  ~~  om  /\  A  C_  X )  -> 
( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
1211adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
1312ord 377 . . . 4  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  A  ~<  om  ->  A  ~~  om ) )
142, 13syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  A  ~~  om ) )
1514impr 619 . 2  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  om )
16 enen2 7648 . . 3  |-  ( Y 
~~  om  ->  ( A 
~~  Y  <->  A  ~~  om ) )
1716ad2antlr 726 . 2  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  ( A  ~~  Y  <->  A  ~~  om ) )
1815, 17mpbird 232 1  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   omcom 6671    ~~ cen 7503    ~<_ cdom 7504    ~< csdm 7505   Fincfn 7506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510
This theorem is referenced by:  fiphp3d  30208  irrapx1  30219
  Copyright terms: Public domain W3C validator