Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ctbnfien Structured version   Unicode version

Theorem ctbnfien 29295
Description: An infinite subset of a countable set is countable, without using choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ctbnfien  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  Y )

Proof of Theorem ctbnfien
StepHypRef Expression
1 isfinite 7959 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
21notbii 296 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  <->  -.  A  ~<  om )
3 relen 7415 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~~
43brrelexi 4977 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
~~  om  ->  X  e. 
_V )
5 ssdomg 7455 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  _V  ->  ( A  C_  X  ->  A  ~<_  X ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A 
C_  X  ->  A  ~<_  X ) )
7 domen2 7554 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A  ~<_  X  <->  A  ~<_  om )
)
86, 7sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A 
C_  X  ->  A  ~<_  om ) )
98imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( X  ~~  om  /\  A  C_  X )  ->  A  ~<_  om )
10 brdom2 7439 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  om  <->  ( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
119, 10sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( X  ~~  om  /\  A  C_  X )  -> 
( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
1211adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
1312ord 377 . . . 4  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  A  ~<  om  ->  A  ~~  om ) )
142, 13syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  A  ~~  om ) )
1514impr 619 . 2  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  om )
16 enen2 7552 . . 3  |-  ( Y 
~~  om  ->  ( A 
~~  Y  <->  A  ~~  om ) )
1716ad2antlr 726 . 2  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  ( A  ~~  Y  <->  A  ~~  om ) )
1815, 17mpbird 232 1  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1758   _Vcvv 3068    C_ wss 3426   class class class wbr 4390   omcom 6576    ~~ cen 7407    ~<_ cdom 7408    ~< csdm 7409   Fincfn 7410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414
This theorem is referenced by:  fiphp3d  29296  irrapx1  29307
  Copyright terms: Public domain W3C validator