Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ctbnfien Structured version   Unicode version

Theorem ctbnfien 35113
Description: An infinite subset of a countable set is countable, without using choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ctbnfien  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  Y )

Proof of Theorem ctbnfien
StepHypRef Expression
1 isfinite 8102 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
21notbii 294 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  <->  -.  A  ~<  om )
3 relen 7559 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~~
43brrelexi 4864 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
~~  om  ->  X  e. 
_V )
5 ssdomg 7599 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  _V  ->  ( A  C_  X  ->  A  ~<_  X ) )
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A 
C_  X  ->  A  ~<_  X ) )
7 domen2 7698 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A  ~<_  X  <->  A  ~<_  om )
)
86, 7sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A 
C_  X  ->  A  ~<_  om ) )
98imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( X  ~~  om  /\  A  C_  X )  ->  A  ~<_  om )
10 brdom2 7583 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  om  <->  ( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
119, 10sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( X  ~~  om  /\  A  C_  X )  -> 
( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
1211adantlr 713 . . . . 5  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
1312ord 375 . . . 4  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  A  ~<  om  ->  A  ~~  om ) )
142, 13syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  A  ~~  om ) )
1514impr 617 . 2  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  om )
16 enen2 7696 . . 3  |-  ( Y 
~~  om  ->  ( A 
~~  Y  <->  A  ~~  om ) )
1716ad2antlr 725 . 2  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  ( A  ~~  Y  <->  A  ~~  om ) )
1815, 17mpbird 232 1  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    e. wcel 1842   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   class class class wbr 4395   omcom 6683    ~~ cen 7551    ~<_ cdom 7552    ~< csdm 7553   Fincfn 7554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558
This theorem is referenced by:  fiphp3d  35114  irrapx1  35125
  Copyright terms: Public domain W3C validator