MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssss Structured version   Unicode version

Theorem cssss 19179
Description: A closed subspace is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cssss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
cssss  |-  ( S  e.  C  ->  S  C_  V )

Proof of Theorem cssss
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . 3  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
2 cssss.c . . 3  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssi 19178 . 2  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
4 cssss.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
54, 1ocvss 19164 . 2  |-  ( ( ocv `  W ) `
 ( ( ocv `  W ) `  S
) )  C_  V
63, 5syl6eqss 3520 1  |-  ( S  e.  C  ->  S  C_  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442   ` cfv 5601   Basecbs 15084   ocvcocv 19154   CSubSpccss 19155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-ocv 19157  df-css 19158
This theorem is referenced by:  cssmre  19187  ocvpj  19211  hlhillcs  35241
  Copyright terms: Public domain W3C validator