Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssmre Structured version   Unicode version

Theorem cssmre 18914
 Description: The closed subspaces of a pre-Hilbert space are a Moore system. Unlike many of our other examples of closure systems, this one is not usually an algebraic closure system df-acs 15095: consider the Hilbert space of sequences with convergent sum; the subspace of all sequences with finite support is the classic example of a non-closed subspace, but for every finite set of sequences of finite support, there is a finite-dimensional (and hence closed) subspace containing all of the sequences, so if closed subspaces were an algebraic closure system this would violate acsfiel 15160. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssmre.v
cssmre.c
Assertion
Ref Expression
cssmre Moore

Proof of Theorem cssmre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cssmre.v . . . . . 6
2 cssmre.c . . . . . 6
31, 2cssss 18906 . . . . 5
4 selpw 3961 . . . . 5
53, 4sylibr 212 . . . 4
65a1i 11 . . 3
76ssrdv 3447 . 2
81, 2css1 18911 . 2
9 intss1 4241 . . . . . . . . . . . 12
10 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13
1110ocv2ss 18894 . . . . . . . . . . . 12
1210ocv2ss 18894 . . . . . . . . . . . 12
139, 11, 123syl 20 . . . . . . . . . . 11
1413ad2antll 727 . . . . . . . . . 10
15 simprl 756 . . . . . . . . . 10
1614, 15sseldd 3442 . . . . . . . . 9
17 simpl2 1001 . . . . . . . . . . 11
18 simprr 758 . . . . . . . . . . 11
1917, 18sseldd 3442 . . . . . . . . . 10
2010, 2cssi 18905 . . . . . . . . . 10
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9
2216, 21eleqtrrd 2493 . . . . . . . 8
2322expr 613 . . . . . . 7
2423alrimiv 1740 . . . . . 6
25 vex 3061 . . . . . . 7
2625elint 4232 . . . . . 6
2724, 26sylibr 212 . . . . 5
2827ex 432 . . . 4
2928ssrdv 3447 . . 3
30 simp1 997 . . . 4
31 intssuni 4249 . . . . . 6
32313ad2ant3 1020 . . . . 5
33 simp2 998 . . . . . . 7
3473ad2ant1 1018 . . . . . . 7
3533, 34sstrd 3451 . . . . . 6
36 sspwuni 4359 . . . . . 6
3735, 36sylib 196 . . . . 5
3832, 37sstrd 3451 . . . 4
391, 2, 10iscss2 18907 . . . 4
4030, 38, 39syl2anc 659 . . 3
4129, 40mpbird 232 . 2
427, 8, 41ismred 15108 1 Moore
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974  wal 1403   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598   wss 3413  c0 3737  cpw 3954  cuni 4190  cint 4226  cfv 5525  cbs 14733  Moorecmre 15088  cphl 18849  cocv 18881  ccss 18882 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-tpos 6912  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-0g 14948  df-mre 15092  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-mhm 16182  df-grp 16273  df-ghm 16481  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-oppr 17484  df-rnghom 17576  df-staf 17706  df-srng 17707  df-lmod 17726  df-lmhm 17880  df-lvec 17961  df-sra 18030  df-rgmod 18031  df-phl 18851  df-ocv 18884  df-css 18885 This theorem is referenced by:  mrccss  18915
 Copyright terms: Public domain W3C validator