MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csslss Structured version   Unicode version

Theorem csslss 18236
Description: A closed subspace of a pre-Hilbert space is a linear subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
csslss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
csslss.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
csslss  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  e.  L )

Proof of Theorem csslss
StepHypRef Expression
1 eqid 2452 . . . 4  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
2 csslss.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssi 18229 . . 3  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
43adantl 466 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
5 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
65, 1ocvss 18215 . . . 4  |-  ( ( ocv `  W ) `
 S )  C_  ( Base `  W )
76a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  C  ->  (
( ocv `  W
) `  S )  C_  ( Base `  W
) )
8 csslss.l . . . 4  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
95, 1, 8ocvlss 18217 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( ocv `  W
) `  S )  C_  ( Base `  W
) )  ->  (
( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  S ) )  e.  L )
107, 9sylan2 474 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  S ) )  e.  L )
114, 10eqeltrd 2540 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  e.  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3431   ` cfv 5521   Basecbs 14287   LSubSpclss 17131   PreHilcphl 18173   ocvcocv 18205   CSubSpccss 18206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-plusg 14365  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-ghm 15859  df-mgp 16709  df-rng 16765  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lmhm 17221  df-lvec 17302  df-sra 17371  df-rgmod 17372  df-phl 18175  df-ocv 18208  df-css 18209
This theorem is referenced by:  ocvpj  18262  ishil2  18264  cldcss  21055
  Copyright terms: Public domain W3C validator