MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssincl Structured version   Unicode version

Theorem cssincl 19017
Description: The zero subspace is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
css0.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
cssincl  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  ( A  i^i  B )  e.  C )

Proof of Theorem cssincl
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
31, 2ocvss 18999 . . . . 5  |-  ( ( ocv `  W ) `
 A )  C_  ( Base `  W )
41, 2ocvss 18999 . . . . 5  |-  ( ( ocv `  W ) `
 B )  C_  ( Base `  W )
53, 4unssi 3618 . . . 4  |-  ( ( ( ocv `  W
) `  A )  u.  ( ( ocv `  W
) `  B )
)  C_  ( Base `  W )
6 css0.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
71, 6, 2ocvcss 19016 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( ( ocv `  W
) `  A )  u.  ( ( ocv `  W
) `  B )
)  C_  ( Base `  W ) )  -> 
( ( ocv `  W
) `  ( (
( ocv `  W
) `  A )  u.  ( ( ocv `  W
) `  B )
) )  e.  C
)
85, 7mpan2 669 . . 3  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( ( ocv `  W ) `  (
( ( ocv `  W
) `  A )  u.  ( ( ocv `  W
) `  B )
) )  e.  C
)
92, 6cssi 19013 . . . . . 6  |-  ( A  e.  C  ->  A  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  A )
) )
102, 6cssi 19013 . . . . . 6  |-  ( B  e.  C  ->  B  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  B )
) )
119, 10ineqan12d 3643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  ( A  i^i  B
)  =  ( ( ( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  A ) )  i^i  ( ( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  B ) ) ) )
122unocv 19009 . . . . 5  |-  ( ( ocv `  W ) `
 ( ( ( ocv `  W ) `
 A )  u.  ( ( ocv `  W
) `  B )
) )  =  ( ( ( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  A ) )  i^i  ( ( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  B ) ) )
1311, 12syl6eqr 2461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  ( A  i^i  B
)  =  ( ( ocv `  W ) `
 ( ( ( ocv `  W ) `
 A )  u.  ( ( ocv `  W
) `  B )
) ) )
1413eleq1d 2471 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  ( ( A  i^i  B )  e.  C  <->  ( ( ocv `  W ) `  ( ( ( ocv `  W ) `  A
)  u.  ( ( ocv `  W ) `
 B ) ) )  e.  C ) )
158, 14syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  ( A  i^i  B )  e.  C ) )
16153impib 1195 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  ( A  i^i  B )  e.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    u. cun 3412    i^i cin 3413    C_ wss 3414   ` cfv 5569   Basecbs 14841   PreHilcphl 18957   ocvcocv 18989   CSubSpccss 18990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-grp 16381  df-ghm 16589  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-oppr 17592  df-rnghom 17684  df-staf 17814  df-srng 17815  df-lmod 17834  df-lmhm 17988  df-lvec 18069  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-phl 18959  df-ocv 18992  df-css 18993
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator