MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssi Structured version   Unicode version

Theorem cssi 18842
Description: Property of a closed subspace (of a pre-Hilbert space). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssval.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
cssval.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
cssi  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )

Proof of Theorem cssi
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5898 . . . 4  |-  ( S  e.  ( CSubSp `  W
)  ->  W  e.  dom  CSubSp )
2 cssval.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2eleq2s 2565 . . 3  |-  ( S  e.  C  ->  W  e.  dom  CSubSp )
4 cssval.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
54, 2iscss 18841 . . 3  |-  ( W  e.  dom  CSubSp  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( S  e.  C  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
76ibi 241 1  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1395    e. wcel 1819   dom cdm 5008   ` cfv 5594   ocvcocv 18818   CSubSpccss 18819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6299  df-ocv 18821  df-css 18822
This theorem is referenced by:  cssss  18843  cssincl  18846  csslss  18849  cssmre  18851  mrccss  18852  ocvpj  18875  csscld  21815
  Copyright terms: Public domain W3C validator