MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csscld Structured version   Unicode version

Theorem csscld 22113
Description: A "closed subspace" in a complex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
csscld.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
csscld.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
Assertion
Ref Expression
csscld  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem csscld
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
2 csscld.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssi 19178 . . . 4  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
43adantl 467 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
5 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
65, 1ocvss 19164 . . . . 5  |-  ( ( ocv `  W ) `
 S )  C_  ( Base `  W )
7 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
8 eqid 2429 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
9 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
105, 7, 8, 9, 1ocvval 19161 . . . . 5  |-  ( ( ( ocv `  W
) `  S )  C_  ( Base `  W
)  ->  ( ( ocv `  W ) `  ( ( ocv `  W
) `  S )
)  =  { x  e.  ( Base `  W
)  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
116, 10mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  S ) )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
12 riinrab 4378 . . . 4  |-  ( (
Base `  W )  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }
1311, 12syl6eqr 2488 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  S ) )  =  ( ( Base `  W
)  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) )
14 cphnlm 22043 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
1514adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  W  e. NrmMod )
16 nlmngp 21611 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
17 ngptps 21547 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  TopSp )
1815, 16, 173syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  W  e.  TopSp )
19 csscld.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
205, 19istps 19882 . . . . . 6  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
2118, 20sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) ) )
22 toponuni 19873 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  ->  ( Base `  W
)  =  U. J
)
2321, 22syl 17 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  ( Base `  W )  = 
U. J )
2423ineq1d 3669 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( Base `  W )  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
254, 13, 243eqtrd 2474 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  =  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) )
26 topontop 19872 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  ->  J  e.  Top )
2721, 26syl 17 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  J  e.  Top )
286sseli 3466 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ( ocv `  W ) `  S
)  ->  y  e.  ( Base `  W )
)
29 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  e.  _V
30 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )
3130mptiniseg 5349 . . . . . . 7  |-  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e. 
_V  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
3229, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) ) " {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }
33 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
34 simpll 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  W  e.  CPreHil )
3521adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W
) ) )
3635cnmptid 20607 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  x )  e.  ( J  Cn  J
) )
37 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  y  e.  (
Base `  W )
)
3835, 35, 37cnmptc 20608 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  y )  e.  ( J  Cn  J
) )
3919, 33, 7, 34, 35, 36, 38cnmpt1ip 22111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4033cnfldhaus 21716 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
41 cphclm 22060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
428clm0 21996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
4443ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
45 0cn 9634 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
4644, 45syl6eqelr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )
4733cnfldtopon 21714 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
4847toponunii 19878 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
4948sncld 20318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )  ->  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
5040, 46, 49sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
51 cnclima 20215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  /\  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )  -> 
( `' ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) ) " { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
5239, 50, 51syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
5332, 52syl5eqelr 2522 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
5428, 53sylan2 476 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  (
( ocv `  W
) `  S )
)  ->  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
5554ralrimiva 2846 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }  e.  (
Clsd `  J )
)
56 eqid 2429 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
5756riincld 19990 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
5827, 55, 57syl2anc 665 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
5925, 58eqeltrd 2517 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786   _Vcvv 3087    i^i cin 3441    C_ wss 3442   {csn 4002   U.cuni 4222   |^|_ciin 4303    |-> cmpt 4484   `'ccnv 4853   "cima 4857   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   Basecbs 15084  Scalarcsca 15155   .icip 15157   TopOpenctopn 15279   0gc0g 15297  ℂfldccnfld 18905   ocvcocv 19154   CSubSpccss 19155   Topctop 19848  TopOnctopon 19849   TopSpctps 19850   Clsdccld 19962    Cn ccn 20171   Hauscha 20255  NrmGrpcngp 21523  NrmModcnlm 21526  CModcclm 21986   CPreHilccph 22037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-rnghom 17878  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-staf 18008  df-srng 18009  df-lmod 18028  df-lmhm 18180  df-lvec 18261  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-phl 19124  df-ipf 19125  df-ocv 19157  df-css 19158  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-t1 20261  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-nm 21528  df-ngp 21529  df-tng 21530  df-nlm 21532  df-clm 21987  df-cph 22039  df-tch 22040
This theorem is referenced by:  cldcss  22276
  Copyright terms: Public domain W3C validator