MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csscld Structured version   Unicode version

Theorem csscld 21440
Description: A "closed subspace" in a complex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
csscld.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
csscld.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
Assertion
Ref Expression
csscld  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem csscld
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
2 csscld.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssi 18498 . . . 4  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
5 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
65, 1ocvss 18484 . . . . 5  |-  ( ( ocv `  W ) `
 S )  C_  ( Base `  W )
7 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
8 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
9 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
105, 7, 8, 9, 1ocvval 18481 . . . . 5  |-  ( ( ( ocv `  W
) `  S )  C_  ( Base `  W
)  ->  ( ( ocv `  W ) `  ( ( ocv `  W
) `  S )
)  =  { x  e.  ( Base `  W
)  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
116, 10mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  S ) )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
12 riinrab 4401 . . . 4  |-  ( (
Base `  W )  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }
1311, 12syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  S ) )  =  ( ( Base `  W
)  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) )
14 cphnlm 21370 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  W  e. NrmMod )
16 nlmngp 20937 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
17 ngptps 20873 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  TopSp )
1815, 16, 173syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  W  e.  TopSp )
19 csscld.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
205, 19istps 19220 . . . . . 6  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
2118, 20sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) ) )
22 toponuni 19211 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  ->  ( Base `  W
)  =  U. J
)
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  ( Base `  W )  = 
U. J )
2423ineq1d 3699 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( Base `  W )  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
254, 13, 243eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  =  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) )
26 topontop 19210 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  ->  J  e.  Top )
2721, 26syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  J  e.  Top )
286sseli 3500 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ( ocv `  W ) `  S
)  ->  y  e.  ( Base `  W )
)
29 fvex 5875 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  e.  _V
30 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )
3130mptiniseg 5500 . . . . . . 7  |-  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e. 
_V  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
3229, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) ) " {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }
33 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
34 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  W  e.  CPreHil )
3521adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W
) ) )
3635cnmptid 19913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  x )  e.  ( J  Cn  J
) )
37 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  y  e.  (
Base `  W )
)
3835, 35, 37cnmptc 19914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  y )  e.  ( J  Cn  J
) )
3919, 33, 7, 34, 35, 36, 38cnmpt1ip 21438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4033cnfldhaus 21043 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
41 cphclm 21387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
428clm0 21323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
45 0cn 9587 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
4644, 45syl6eqelr 2564 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )
4733cnfldtopon 21041 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
4847toponunii 19216 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
4948sncld 19654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )  ->  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
5040, 46, 49sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
51 cnclima 19551 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  /\  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )  -> 
( `' ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) ) " { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
5239, 50, 51syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
5332, 52syl5eqelr 2560 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
5428, 53sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  (
( ocv `  W
) `  S )
)  ->  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
5554ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }  e.  (
Clsd `  J )
)
56 eqid 2467 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
5756riincld 19327 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
5827, 55, 57syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
5925, 58eqeltrd 2555 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   {csn 4027   U.cuni 4245   |^|_ciin 4326    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   0cc0 9491   Basecbs 14489  Scalarcsca 14557   .icip 14559   TopOpenctopn 14676   0gc0g 14694  ℂfldccnfld 18207   ocvcocv 18474   CSubSpccss 18475   Topctop 19177  TopOnctopon 19178   TopSpctps 19180   Clsdccld 19299    Cn ccn 19507   Hauscha 19591  NrmGrpcngp 20849  NrmModcnlm 20852  CModcclm 21313   CPreHilccph 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-mhm 15783  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-mulg 15867  df-subg 16000  df-ghm 16067  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-cring 16998  df-oppr 17068  df-dvdsr 17086  df-unit 17087  df-invr 17117  df-dvr 17128  df-rnghom 17160  df-drng 17193  df-subrg 17222  df-staf 17289  df-srng 17290  df-lmod 17309  df-lmhm 17463  df-lvec 17544  df-sra 17613  df-rgmod 17614  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-cnfld 18208  df-phl 18444  df-ipf 18445  df-ocv 18477  df-css 18478  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-t1 19597  df-haus 19598  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-nm 20854  df-ngp 20855  df-tng 20856  df-nlm 20858  df-clm 21314  df-cph 21366  df-tch 21367
This theorem is referenced by:  cldcss  21607
  Copyright terms: Public domain W3C validator