MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csscld Structured version   Unicode version

Theorem csscld 20761
Description: A "closed subspace" in a complex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
csscld.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
csscld.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
Assertion
Ref Expression
csscld  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem csscld
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
2 csscld.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssi 18109 . . . 4  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
5 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
65, 1ocvss 18095 . . . . 5  |-  ( ( ocv `  W ) `
 S )  C_  ( Base `  W )
7 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
8 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
9 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
105, 7, 8, 9, 1ocvval 18092 . . . . 5  |-  ( ( ( ocv `  W
) `  S )  C_  ( Base `  W
)  ->  ( ( ocv `  W ) `  ( ( ocv `  W
) `  S )
)  =  { x  e.  ( Base `  W
)  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
116, 10mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  S ) )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
12 riinrab 4246 . . . 4  |-  ( (
Base `  W )  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }
1311, 12syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  S ) )  =  ( ( Base `  W
)  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) )
14 cphnlm 20691 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  W  e. NrmMod )
16 nlmngp 20258 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
17 ngptps 20194 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  TopSp )
1815, 16, 173syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  W  e.  TopSp )
19 csscld.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
205, 19istps 18541 . . . . . 6  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
2118, 20sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) ) )
22 toponuni 18532 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  ->  ( Base `  W
)  =  U. J
)
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  ( Base `  W )  = 
U. J )
2423ineq1d 3551 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( Base `  W )  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
254, 13, 243eqtrd 2479 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  =  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) )
26 topontop 18531 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  ->  J  e.  Top )
2721, 26syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  J  e.  Top )
286sseli 3352 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ( ocv `  W ) `  S
)  ->  y  e.  ( Base `  W )
)
29 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  e.  _V
30 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )
3130mptiniseg 5332 . . . . . . 7  |-  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e. 
_V  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
3229, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) ) " {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }
33 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
34 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  W  e.  CPreHil )
3521adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W
) ) )
3635cnmptid 19234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  x )  e.  ( J  Cn  J
) )
37 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  y  e.  (
Base `  W )
)
3835, 35, 37cnmptc 19235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  y )  e.  ( J  Cn  J
) )
3919, 33, 7, 34, 35, 36, 38cnmpt1ip 20759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4033cnfldhaus 20364 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
41 cphclm 20708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
428clm0 20644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
45 0cn 9378 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
4644, 45syl6eqelr 2532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )
4733cnfldtopon 20362 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
4847toponunii 18537 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
4948sncld 18975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )  ->  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
5040, 46, 49sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
51 cnclima 18872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  /\  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )  -> 
( `' ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) ) " { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
5239, 50, 51syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
5332, 52syl5eqelr 2528 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
5428, 53sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  (
( ocv `  W
) `  S )
)  ->  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
5554ralrimiva 2799 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }  e.  (
Clsd `  J )
)
56 eqid 2443 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
5756riincld 18648 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
5827, 55, 57syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
5925, 58eqeltrd 2517 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972    i^i cin 3327    C_ wss 3328   {csn 3877   U.cuni 4091   |^|_ciin 4172    e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   "cima 4843   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282   Basecbs 14174  Scalarcsca 14241   .icip 14243   TopOpenctopn 14360   0gc0g 14378  ℂfldccnfld 17818   ocvcocv 18085   CSubSpccss 18086   Topctop 18498  TopOnctopon 18499   TopSpctps 18501   Clsdccld 18620    Cn ccn 18828   Hauscha 18912  NrmGrpcngp 20170  NrmModcnlm 20173  CModcclm 20634   CPreHilccph 20685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-rnghom 16806  df-drng 16834  df-subrg 16863  df-staf 16930  df-srng 16931  df-lmod 16950  df-lmhm 17103  df-lvec 17184  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-phl 18055  df-ipf 18056  df-ocv 18088  df-css 18089  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-t1 18918  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-nm 20175  df-ngp 20176  df-tng 20177  df-nlm 20179  df-clm 20635  df-cph 20687  df-tch 20688
This theorem is referenced by:  cldcss  20928
  Copyright terms: Public domain W3C validator