MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csscld Structured version   Unicode version

Theorem csscld 20720
Description: A "closed subspace" in a complex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
csscld.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
csscld.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
Assertion
Ref Expression
csscld  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem csscld
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
2 csscld.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssi 18068 . . . 4  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
43adantl 463 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
5 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
65, 1ocvss 18054 . . . . 5  |-  ( ( ocv `  W ) `
 S )  C_  ( Base `  W )
7 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
8 eqid 2441 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
9 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
105, 7, 8, 9, 1ocvval 18051 . . . . 5  |-  ( ( ( ocv `  W
) `  S )  C_  ( Base `  W
)  ->  ( ( ocv `  W ) `  ( ( ocv `  W
) `  S )
)  =  { x  e.  ( Base `  W
)  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
116, 10mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  S ) )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
12 riinrab 4243 . . . 4  |-  ( (
Base `  W )  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }
1311, 12syl6eqr 2491 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  S ) )  =  ( ( Base `  W
)  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) )
14 cphnlm 20650 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
1514adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  W  e. NrmMod )
16 nlmngp 20217 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
17 ngptps 20153 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  TopSp )
1815, 16, 173syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  W  e.  TopSp )
19 csscld.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
205, 19istps 18500 . . . . . 6  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
2118, 20sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) ) )
22 toponuni 18491 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  ->  ( Base `  W
)  =  U. J
)
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  ( Base `  W )  = 
U. J )
2423ineq1d 3548 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( Base `  W )  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
254, 13, 243eqtrd 2477 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  =  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) )
26 topontop 18490 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  ->  J  e.  Top )
2721, 26syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  J  e.  Top )
286sseli 3349 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ( ocv `  W ) `  S
)  ->  y  e.  ( Base `  W )
)
29 fvex 5698 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  e.  _V
30 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )
3130mptiniseg 5329 . . . . . . 7  |-  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e. 
_V  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
3229, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) ) " {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }
33 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
34 simpll 748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  W  e.  CPreHil )
3521adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W
) ) )
3635cnmptid 19193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  x )  e.  ( J  Cn  J
) )
37 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  y  e.  (
Base `  W )
)
3835, 35, 37cnmptc 19194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  y )  e.  ( J  Cn  J
) )
3919, 33, 7, 34, 35, 36, 38cnmpt1ip 20718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4033cnfldhaus 20323 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
41 cphclm 20667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
428clm0 20603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
4443ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
45 0cn 9374 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
4644, 45syl6eqelr 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )
4733cnfldtopon 20321 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
4847toponunii 18496 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
4948sncld 18934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )  ->  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
5040, 46, 49sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
51 cnclima 18831 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  /\  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )  -> 
( `' ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) ) " { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
5239, 50, 51syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
5332, 52syl5eqelr 2526 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
5428, 53sylan2 471 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  (
( ocv `  W
) `  S )
)  ->  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
5554ralrimiva 2797 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }  e.  (
Clsd `  J )
)
56 eqid 2441 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
5756riincld 18607 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
5827, 55, 57syl2anc 656 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
5925, 58eqeltrd 2515 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   {csn 3874   U.cuni 4088   |^|_ciin 4169    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   "cima 4839   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278   Basecbs 14170  Scalarcsca 14237   .icip 14239   TopOpenctopn 14356   0gc0g 14374  ℂfldccnfld 17777   ocvcocv 18044   CSubSpccss 18045   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   TopSpctps 18460   Clsdccld 18579    Cn ccn 18787   Hauscha 18871  NrmGrpcngp 20129  NrmModcnlm 20132  CModcclm 20593   CPreHilccph 20644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-rnghom 16796  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-staf 16910  df-srng 16911  df-lmod 16930  df-lmhm 17081  df-lvec 17162  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-phl 18014  df-ipf 18015  df-ocv 18047  df-css 18048  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-t1 18877  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-nm 20134  df-ngp 20135  df-tng 20136  df-nlm 20138  df-clm 20594  df-cph 20646  df-tch 20647
This theorem is referenced by:  cldcss  20887
  Copyright terms: Public domain W3C validator