HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  csmdsymi Structured version   Unicode version

Theorem csmdsymi 25736
Description: Cross-symmetry implies M-symmetry. Theorem 1.9.1 of [MaedaMaeda] p. 3. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
csmdsym.1  |-  A  e. 
CH
csmdsym.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
csmdsymi  |-  ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B
)  ->  B  MH  A )
Distinct variable group:    B, c
Allowed substitution hint:    A( c)

Proof of Theorem csmdsymi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incom 3541 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  B )  =  ( B  i^i  A
)
21sseq1i 3378 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  x  <->  ( B  i^i  A )  C_  x
)
32biimpri 206 . . . 4  |-  ( ( B  i^i  A ) 
C_  x  ->  ( A  i^i  B )  C_  x )
4 csmdsym.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  e. 
CH
5 chjcom 24907 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( x  vH  B
)  =  ( B  vH  x ) )
64, 5mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  (
x  vH  B )  =  ( B  vH  x ) )
76ineq1d 3549 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( x  vH  B
)  i^i  A )  =  ( ( B  vH  x )  i^i 
A ) )
8 incom 3541 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  vH  x )  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( B  vH  x ) )
97, 8syl6eq 2489 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( x  vH  B
)  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( B  vH  x
) ) )
109ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  =  ( A  i^i  ( B  vH  x ) ) )
114a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  B  e.  CH )
12 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  x  e.  CH )
13 csmdsym.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
CH
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  A  e.  CH )
1511, 12, 143jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CH  ->  ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  A  e. 
CH ) )
1615ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( B  e. 
CH  /\  x  e.  CH 
/\  A  e.  CH ) )
17 inss2 3569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
18 ssid 3373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  C_  B
1917, 18pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  B  /\  B  C_  B )
20 sseq2 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( A  i^i  B
)  C_  x  <->  ( A  i^i  B )  C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )
) )
21 sseq1 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
x  C_  A  <->  if (
x  e.  CH ,  x ,  0H )  C_  A ) )
2220, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A )  <->  ( ( A  i^i  B )  C_  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  C_  A
) ) )
23223anbi2d 1294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A )  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  B  /\  B  C_  B ) )  <-> 
( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  if (
x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  C_  A
)  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  B  /\  B  C_  B
) ) ) )
24 breq1 4293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
x  MH  B  <->  if (
x  e.  CH ,  x ,  0H )  MH  B ) )
2523, 24imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  ->  (
( ( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A
)  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  B  /\  B  C_  B
) )  ->  x  MH  B )  <->  ( ( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  if (
x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  C_  A
)  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  B  /\  B  C_  B
) )  ->  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  MH  B ) ) )
26 h0elch 24656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0H  e.  CH
2726elimel 3850 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  e.  CH
2813, 4, 27, 4mdslmd4i 25735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  if (
x  e.  CH ,  x ,  0H )  /\  if ( x  e. 
CH ,  x ,  0H )  C_  A
)  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  B  /\  B  C_  B
) )  ->  if ( x  e.  CH ,  x ,  0H )  MH  B )
2925, 28dedth 3839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A )  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  B  /\  B  C_  B ) )  ->  x  MH  B
) )
3029com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A )  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  B  /\  B  C_  B ) )  ->  ( x  e. 
CH  ->  x  MH  B
) )
3119, 30mp3an3 1303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( x  e. 
CH  ->  x  MH  B
) )
3231imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  MH  B  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A ) )  /\  x  e.  CH )  ->  x  MH  B
)
3332an32s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  MH  B  /\  x  e.  CH )  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  x  MH  B
)
3433adantlll 717 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  x  MH  B
)
35 breq1 4293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  x  ->  (
c  MH  B  <->  x  MH  B ) )
36 breq2 4294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  x  ->  ( B  MH*  c  <->  B  MH*  x ) )
3735, 36imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  x  ->  (
( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  <->  ( x  MH  B  ->  B  MH*  x ) ) )
3837rspccva 3070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  x  e.  CH )  ->  ( x  MH  B  ->  B  MH*  x )
)
3938adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. c  e. 
CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  ->  (
x  MH  B  ->  B  MH*  x ) )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( x  MH  B  ->  B  MH*  x ) )
4134, 40mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  B  MH*  x
)
42 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  x  C_  A
)
43 dmdi 25704 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  ( B  MH*  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  =  ( A  i^i  ( B  vH  x ) ) )
4416, 41, 42, 43syl12anc 1216 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  =  ( A  i^i  ( B  vH  x ) ) )
4513, 4chincli 24861 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
46 chjcom 24907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) )
4745, 46mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( A  i^i  B
)  vH  x )  =  ( x  vH  ( A  i^i  B ) ) )
481oveq2i 6100 . . . . . . . 8  |-  ( x  vH  ( A  i^i  B ) )  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) )
4947, 48syl6eq 2489 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( A  i^i  B
)  vH  x )  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) ) )
5049ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) ) )
5110, 44, 503eqtr2d 2479 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  x  /\  x  C_  A ) )  ->  ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) ) )
5251ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( A. c  e. 
CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  ->  (
( ( A  i^i  B )  C_  x  /\  x  C_  A )  -> 
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) ) ) )
533, 52sylani 654 . . 3  |-  ( ( ( A. c  e. 
CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B )  /\  x  e.  CH )  ->  (
( ( B  i^i  A )  C_  x  /\  x  C_  A )  -> 
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) ) ) )
5453ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B
)  ->  A. x  e.  CH  ( ( ( B  i^i  A ) 
C_  x  /\  x  C_  A )  ->  (
( x  vH  B
)  i^i  A )  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) ) ) )
554, 13mdsl2bi 25725 . 2  |-  ( B  MH  A  <->  A. x  e.  CH  ( ( ( B  i^i  A ) 
C_  x  /\  x  C_  A )  ->  (
( x  vH  B
)  i^i  A )  =  ( x  vH  ( B  i^i  A ) ) ) )
5654, 55sylibr 212 1  |-  ( ( A. c  e.  CH  ( c  MH  B  ->  B  MH*  c )  /\  A  MH  B
)  ->  B  MH  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713    i^i cin 3325    C_ wss 3326   ifcif 3789   class class class wbr 4290  (class class class)co 6089   CHcch 24329    vH chj 24333   0Hc0h 24335    MH cmd 24366    MH* cdmd 24367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cc 8602  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360  ax-hilex 24399  ax-hfvadd 24400  ax-hvcom 24401  ax-hvass 24402  ax-hv0cl 24403  ax-hvaddid 24404  ax-hfvmul 24405  ax-hvmulid 24406  ax-hvmulass 24407  ax-hvdistr1 24408  ax-hvdistr2 24409  ax-hvmul0 24410  ax-hfi 24479  ax-his1 24482  ax-his2 24483  ax-his3 24484  ax-his4 24485  ax-hcompl 24602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-omul 6923  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-fi 7659  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-acn 8110  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-ioo 11302  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-rlim 12965  df-sum 13162  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-rest 14359  df-topn 14360  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-topgen 14380  df-pt 14381  df-prds 14384  df-xrs 14438  df-qtop 14443  df-imas 14444  df-xps 14446  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-mulg 15546  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-fbas 17812  df-fg 17813  df-cnfld 17817  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-cld 18621  df-ntr 18622  df-cls 18623  df-nei 18700  df-cn 18829  df-cnp 18830  df-lm 18831  df-haus 18917  df-tx 19133  df-hmeo 19326  df-fil 19417  df-fm 19509  df-flim 19510  df-flf 19511  df-xms 19893  df-ms 19894  df-tms 19895  df-cfil 20764  df-cau 20765  df-cmet 20766  df-grpo 23676  df-gid 23677  df-ginv 23678  df-gdiv 23679  df-ablo 23767  df-subgo 23787  df-vc 23922  df-nv 23968  df-va 23971  df-ba 23972  df-sm 23973  df-0v 23974  df-vs 23975  df-nmcv 23976  df-ims 23977  df-dip 24094  df-ssp 24118  df-ph 24211  df-cbn 24262  df-hnorm 24368  df-hba 24369  df-hvsub 24371  df-hlim 24372  df-hcau 24373  df-sh 24607  df-ch 24622  df-oc 24653  df-ch0 24654  df-shs 24709  df-chj 24711  df-md 25682  df-dmd 25683
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator