MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshws0 Structured version   Unicode version

Theorem cshws0 14458
Description: The size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting an empty word is 0. (Contributed by AV, 8-Nov-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwrepswhash1.m  |-  M  =  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W cyclShift  n )  =  w }
Assertion
Ref Expression
cshws0  |-  ( W  =  (/)  ->  ( # `  M )  =  0 )
Distinct variable groups:    n, V, w    n, W, w
Allowed substitution hints:    M( w, n)

Proof of Theorem cshws0
StepHypRef Expression
1 cshwrepswhash1.m . . . 4  |-  M  =  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W cyclShift  n )  =  w }
2 0ex 4563 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
3 eleq1 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  =  (/)  ->  ( W  e.  _V  <->  (/)  e.  _V ) )
42, 3mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  =  (/)  ->  W  e. 
_V )
5 hasheq0 12407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  _V  ->  (
( # `  W )  =  0  <->  W  =  (/) ) )
65bicomd 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  _V  ->  ( W  =  (/)  <->  ( # `  W
)  =  0 ) )
74, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  =  (/)  ->  ( W  =  (/)  <->  ( # `  W
)  =  0 ) )
87ibi 241 . . . . . . . . 9  |-  ( W  =  (/)  ->  ( # `  W )  =  0 )
98oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  (/)  ->  ( 0..^ ( # `  W
) )  =  ( 0..^ 0 ) )
10 fzo0 11823 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
119, 10syl6eq 2498 . . . . . . 7  |-  ( W  =  (/)  ->  ( 0..^ ( # `  W
) )  =  (/) )
1211rexeqdv 3045 . . . . . 6  |-  ( W  =  (/)  ->  ( E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W cyclShift  n )  =  w  <->  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w ) )
1312rabbidv 3085 . . . . 5  |-  ( W  =  (/)  ->  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W cyclShift  n )  =  w }  =  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w } )
14 rex0 3781 . . . . . . . 8  |-  -.  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( W  =  (/)  ->  -.  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w )
1615ralrimivw 2856 . . . . . 6  |-  ( W  =  (/)  ->  A. w  e. Word  V  -.  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w )
17 rabeq0 3789 . . . . . 6  |-  ( { w  e. Word  V  |  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w }  =  (/)  <->  A. w  e. Word  V  -.  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w )
1816, 17sylibr 212 . . . . 5  |-  ( W  =  (/)  ->  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w }  =  (/) )
1913, 18eqtrd 2482 . . . 4  |-  ( W  =  (/)  ->  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W cyclShift  n )  =  w }  =  (/) )
201, 19syl5eq 2494 . . 3  |-  ( W  =  (/)  ->  M  =  (/) )
2120fveq2d 5856 . 2  |-  ( W  =  (/)  ->  ( # `  M )  =  (
# `  (/) ) )
22 hash0 12411 . 2  |-  ( # `  (/) )  =  0
2321, 22syl6eq 2498 1  |-  ( W  =  (/)  ->  ( # `  M )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   {crab 2795   _Vcvv 3093   (/)c0 3767   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   0cc0 9490  ..^cfzo 11798   #chash 12379  Word cword 12508   cyclShift ccsh 12733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-hash 12380
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator