MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshws0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cshws0 15150
Description: The size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting an empty word is 0. (Contributed by AV, 8-Nov-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwrepswhash1.m  |-  M  =  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W cyclShift  n )  =  w }
Assertion
Ref Expression
cshws0  |-  ( W  =  (/)  ->  ( # `  M )  =  0 )
Distinct variable groups:    n, V, w    n, W, w
Allowed substitution hints:    M( w, n)

Proof of Theorem cshws0
StepHypRef Expression
1 cshwrepswhash1.m . . . 4  |-  M  =  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W cyclShift  n )  =  w }
2 0ex 4528 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
3 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  =  (/)  ->  ( W  e.  _V  <->  (/)  e.  _V ) )
42, 3mpbiri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  =  (/)  ->  W  e. 
_V )
5 hasheq0 12582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  _V  ->  (
( # `  W )  =  0  <->  W  =  (/) ) )
65bicomd 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  _V  ->  ( W  =  (/)  <->  ( # `  W
)  =  0 ) )
74, 6syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  =  (/)  ->  ( W  =  (/)  <->  ( # `  W
)  =  0 ) )
87ibi 249 . . . . . . . . 9  |-  ( W  =  (/)  ->  ( # `  W )  =  0 )
98oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  (/)  ->  ( 0..^ ( # `  W
) )  =  ( 0..^ 0 ) )
10 fzo0 11969 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
119, 10syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( W  =  (/)  ->  ( 0..^ ( # `  W
) )  =  (/) )
1211rexeqdv 2980 . . . . . 6  |-  ( W  =  (/)  ->  ( E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W cyclShift  n )  =  w  <->  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w ) )
1312rabbidv 3022 . . . . 5  |-  ( W  =  (/)  ->  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W cyclShift  n )  =  w }  =  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w } )
14 rex0 3737 . . . . . . . 8  |-  -.  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( W  =  (/)  ->  -.  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w )
1615ralrimivw 2810 . . . . . 6  |-  ( W  =  (/)  ->  A. w  e. Word  V  -.  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w )
17 rabeq0 3757 . . . . . 6  |-  ( { w  e. Word  V  |  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w }  =  (/)  <->  A. w  e. Word  V  -.  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w )
1816, 17sylibr 217 . . . . 5  |-  ( W  =  (/)  ->  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w }  =  (/) )
1913, 18eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( W  =  (/)  ->  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W cyclShift  n )  =  w }  =  (/) )
201, 19syl5eq 2517 . . 3  |-  ( W  =  (/)  ->  M  =  (/) )
2120fveq2d 5883 . 2  |-  ( W  =  (/)  ->  ( # `  M )  =  (
# `  (/) ) )
22 hash0 12586 . 2  |-  ( # `  (/) )  =  0
2321, 22syl6eq 2521 1  |-  ( W  =  (/)  ->  ( # `  M )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557  ..^cfzo 11942   #chash 12553  Word cword 12703   cyclShift ccsh 12944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator