MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshws0 Structured version   Unicode version

Theorem cshws0 14435
Description: The size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting an empty word is 0. (Contributed by AV, 8-Nov-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwrepswhash1.m  |-  M  =  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W cyclShift  n )  =  w }
Assertion
Ref Expression
cshws0  |-  ( W  =  (/)  ->  ( # `  M )  =  0 )
Distinct variable groups:    n, V, w    n, W, w
Allowed substitution hints:    M( w, n)

Proof of Theorem cshws0
StepHypRef Expression
1 cshwrepswhash1.m . . . 4  |-  M  =  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W cyclShift  n )  =  w }
2 0ex 4572 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
3 eleq1 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  =  (/)  ->  ( W  e.  _V  <->  (/)  e.  _V ) )
42, 3mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  =  (/)  ->  W  e. 
_V )
5 hasheq0 12390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  _V  ->  (
( # `  W )  =  0  <->  W  =  (/) ) )
65bicomd 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  _V  ->  ( W  =  (/)  <->  ( # `  W
)  =  0 ) )
74, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  =  (/)  ->  ( W  =  (/)  <->  ( # `  W
)  =  0 ) )
87ibi 241 . . . . . . . . 9  |-  ( W  =  (/)  ->  ( # `  W )  =  0 )
98oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  (/)  ->  ( 0..^ ( # `  W
) )  =  ( 0..^ 0 ) )
10 fzo0 11808 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
119, 10syl6eq 2519 . . . . . . 7  |-  ( W  =  (/)  ->  ( 0..^ ( # `  W
) )  =  (/) )
1211rexeqdv 3060 . . . . . 6  |-  ( W  =  (/)  ->  ( E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W cyclShift  n )  =  w  <->  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w ) )
1312rabbidv 3100 . . . . 5  |-  ( W  =  (/)  ->  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W cyclShift  n )  =  w }  =  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w } )
14 rex0 3794 . . . . . . . 8  |-  -.  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( W  =  (/)  ->  -.  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w )
1615ralrimivw 2874 . . . . . 6  |-  ( W  =  (/)  ->  A. w  e. Word  V  -.  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w )
17 rabeq0 3802 . . . . . 6  |-  ( { w  e. Word  V  |  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w }  =  (/)  <->  A. w  e. Word  V  -.  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w )
1816, 17sylibr 212 . . . . 5  |-  ( W  =  (/)  ->  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  (/)  ( W cyclShift  n )  =  w }  =  (/) )
1913, 18eqtrd 2503 . . . 4  |-  ( W  =  (/)  ->  { w  e. Word  V  |  E. n  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W cyclShift  n )  =  w }  =  (/) )
201, 19syl5eq 2515 . . 3  |-  ( W  =  (/)  ->  M  =  (/) )
2120fveq2d 5863 . 2  |-  ( W  =  (/)  ->  ( # `  M )  =  (
# `  (/) ) )
22 hash0 12394 . 2  |-  ( # `  (/) )  =  0
2321, 22syl6eq 2519 1  |-  ( W  =  (/)  ->  ( # `  M )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   {crab 2813   _Vcvv 3108   (/)c0 3780   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   0cc0 9483  ..^cfzo 11783   #chash 12362  Word cword 12489   cyclShift ccsh 12711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-hash 12363
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator