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Theorem cshwlemma1 30494
Description: If a word is a cyclically shifted word, and a second word is the result of cyclically shifting the same word, then the second word is the result of cyclically shifting the first word. (Contributed by AV, 11-May-2018.) (Revised by AV, 12-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwlemma1  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )  /\  E. m  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, K    m, N, n    m, V, n    m, X, n   
m, Y, n    m, Z, n

Proof of Theorem cshwlemma1
StepHypRef Expression
1 difelfznle 30493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  m  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  m )  ->  ( ( m  +  N )  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
213exp 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( -.  K  <_  m  ->  ( ( m  +  N )  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
32ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( -.  K  <_  m  ->  (
( m  +  N
)  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
43imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( -.  K  <_  m  -> 
( ( m  +  N )  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) ) )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  ( -.  K  <_  m  ->  (
( m  +  N
)  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) )
65com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  K  <_  m  ->  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  -> 
( ( m  +  N )  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) ) )
76adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m )  ->  (
( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  -> 
( ( m  +  N )  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) ) )
87imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m )  /\  (
( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) ) )  ->  (
( m  +  N
)  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
9 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  Y  e. Word  V
)
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  Y  e. Word  V )
11 elfzelz 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  K  e.  ZZ )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  ZZ )
14 elfz2 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( (
0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
15 elfzelz 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  ZZ )
16 zaddcl 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( m  +  N
)  e.  ZZ )
1716adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( m  +  N )  e.  ZZ )
18 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
1917, 18zsubcld 10757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( (
m  +  N )  -  K )  e.  ZZ )
2019ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( m  +  N )  -  K )  e.  ZZ ) )
2115, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( m  +  N )  -  K )  e.  ZZ ) )
2221com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( m  +  N )  -  K )  e.  ZZ ) )
23223adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( m  +  N )  -  K
)  e.  ZZ ) )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  N ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( (
m  +  N )  -  K )  e.  ZZ ) )
2514, 24sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( m  +  N )  -  K
)  e.  ZZ ) )
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\ 
-.  K  <_  m
) )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( m  +  N )  -  K
)  e.  ZZ ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( m  +  N
)  -  K )  e.  ZZ )
28 2cshw 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  K  e.  ZZ  /\  (
( m  +  N
)  -  K )  e.  ZZ )  -> 
( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) )  =  ( Y cyclShift  ( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) ) ) )
2910, 13, 27, 28syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( Y cyclShift  K ) cyclShift  (
( m  +  N
)  -  K ) )  =  ( Y cyclShift  ( K  +  (
( m  +  N
)  -  K ) ) ) )
3018, 19zaddcld 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) )  e.  ZZ )
3130ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  e.  ZZ ) )
3215, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  e.  ZZ ) )
3332com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  e.  ZZ ) )
34333adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) )  e.  ZZ ) )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  N ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) )  e.  ZZ ) )
3614, 35sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) )  e.  ZZ ) )
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\ 
-.  K  <_  m
) )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) )  e.  ZZ ) )
3837imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  e.  ZZ )
39 cshwsublen 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( K  +  (
( m  +  N
)  -  K ) )  e.  ZZ )  ->  ( Y cyclShift  ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) ) )  =  ( Y cyclShift  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) )  -  ( # `  Y
) ) ) )
4010, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( Y cyclShift  ( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) ) )  =  ( Y cyclShift  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  ( # `
 Y ) ) ) )
4129, 40eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( Y cyclShift  K ) cyclShift  (
( m  +  N
)  -  K ) )  =  ( Y cyclShift  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  ( # `
 Y ) ) ) )
42 elfz2nn0 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
43 elfznn0 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  NN0 )
44 nn0cn 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  CC )
45 nn0cn 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
46 nn0cn 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
4745, 46anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )
48 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( m  e.  CC  /\  ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  K  e.  CC )
49 addcl 9369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( m  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( m  +  N
)  e.  CC )
5049adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( m  e.  CC  /\  ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  ( m  +  N )  e.  CC )
5148, 50pncan3d 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( m  e.  CC  /\  ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) )  =  ( m  +  N
) )
5251oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( m  e.  CC  /\  ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  ( ( m  +  N )  -  N
) )
53 pncan 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( m  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( m  +  N )  -  N
)  =  m )
5453adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( m  e.  CC  /\  ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  ( (
m  +  N )  -  N )  =  m )
5552, 54eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( m  e.  CC  /\  ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m )
5644, 47, 55syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m )
5756ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  N
)  =  m ) )
5843, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  N
)  =  m ) )
5958com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m ) )
60593adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  N
)  =  m ) )
6142, 60sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  N
)  =  m ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m ) )
63 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  Y )  =  N  ->  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) )  -  ( # `  Y
) )  =  ( ( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) )  -  N ) )
6463eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  Y )  =  N  ->  ( ( ( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) )  -  ( # `  Y ) )  =  m  <->  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m ) )
6564imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  Y )  =  N  ->  ( ( m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  ( # `
 Y ) )  =  m )  <->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m ) ) )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  ( # `  Y
) )  =  m )  <->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m ) ) )
6766adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) )  -  ( # `  Y ) )  =  m )  <->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m ) ) )
6862, 67mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  ( # `  Y
) )  =  m ) )
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\ 
-.  K  <_  m
) )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  ( # `
 Y ) )  =  m ) )
7069imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) )  -  ( # `  Y ) )  =  m )
7170oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( Y cyclShift  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  ( # `
 Y ) ) )  =  ( Y cyclShift  m ) )
7241, 71eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( Y cyclShift  m )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( m  +  N
)  -  K ) ) )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  = 
0  /\  -.  K  <_  m ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( Y cyclShift  m )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) ) )
74 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K ) )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K ) ) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  = 
0  /\  -.  K  <_  m ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K ) )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) ) )
7673, 75eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  = 
0  /\  -.  K  <_  m ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( Y cyclShift  m )  =  ( X cyclShift  ( (
m  +  N )  -  K ) ) )
7776exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( ( -.  m  =  0  /\ 
-.  K  <_  m
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( Y cyclShift  m )  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K ) ) ) ) ) )
7877com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( -.  m  =  0  /\ 
-.  K  <_  m
)  ->  ( Y cyclShift  m )  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) ) ) ) ) )
7978imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  ->  ( Y cyclShift  m )  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) ) )
8079eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  <->  Z  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) ) ) )
8180biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K ) ) ) )
8281impancom 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  ( ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
)  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K ) ) ) )
8382impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m )  /\  (
( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) ) )  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K ) ) )
84 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( ( m  +  N )  -  K )  ->  ( X cyclShift  n )  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) ) )
8584eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( ( m  +  N )  -  K )  ->  ( Z  =  ( X cyclShift  n )  <->  Z  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) ) ) )
8685rspcev 3078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  +  N )  -  K
)  e.  ( 0 ... N )  /\  Z  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N
)  -  K ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) )
878, 83, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m )  /\  (
( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) )
8887exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  m  =  0  -> 
( -.  K  <_  m  ->  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
89 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  0  ->  ( Y cyclShift  m )  =  ( Y cyclShift  0 ) )
9089eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  0  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  <->  Z  =  ( Y cyclShift  0 ) ) )
91 cshw0 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  e. Word  V  ->  ( Y cyclShift  0 )  =  Y )
9291adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( Y cyclShift  0 )  =  Y )
9392eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( Z  =  ( Y cyclShift  0 )  <->  Z  =  Y ) )
94 fznn0sub2 11493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N
) )
9594adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
96 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  Y )  =  N  ->  ( (
# `  Y )  -  K )  =  ( N  -  K ) )
9796eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  Y )  =  N  ->  ( ( ( # `  Y
)  -  K )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) )
9897ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( # `  Y )  -  K )  e.  ( 0 ... N
)  <->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) )
9995, 98mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `
 Y )  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )
)  ->  ( ( # `
 Y )  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
101 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( X cyclShift  ( (
# `  Y )  -  K ) )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  Y
)  -  K ) ) )
102 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  ->  Y  e. Word  V )
103 2cshwid 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  Y
)  -  K ) )  =  Y )
104102, 11, 103syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `
 Y )  -  K ) )  =  Y )
105101, 104sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )
)  ->  ( X cyclShift  ( ( # `  Y
)  -  K ) )  =  Y )
106105eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )
)  ->  Y  =  ( X cyclShift  ( ( # `  Y )  -  K
) ) )
107 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  ( ( # `  Y )  -  K
)  ->  ( X cyclShift  n )  =  ( X cyclShift  ( ( # `  Y
)  -  K ) ) )
108107eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  ( ( # `  Y )  -  K
)  ->  ( Y  =  ( X cyclShift  n )  <-> 
Y  =  ( X cyclShift  ( ( # `  Y
)  -  K ) ) ) )
109108rspcev 3078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( # `  Y
)  -  K )  e.  ( 0 ... N )  /\  Y  =  ( X cyclShift  ( (
# `  Y )  -  K ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) )
110100, 106, 109syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) )
111110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  Z  =  Y )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) )
112 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Z  =  Y  ->  ( Z  =  ( X cyclShift  n )  <->  Y  =  ( X cyclShift  n ) ) )
113112rexbidv 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Z  =  Y  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n )  <->  E. n  e.  (
0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) )
114113adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  Z  =  Y )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n )  <->  E. n  e.  (
0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) )
115111, 114mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  Z  =  Y )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) )
116115exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( Z  =  Y  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
117116com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( Z  =  Y  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
11893, 117sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( Z  =  ( Y cyclShift  0 )  -> 
( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
119118com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  0 )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
120119impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  0 )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
121120com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  =  ( Y cyclShift  0
)  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
122121a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z  =  ( Y cyclShift  0
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
12390, 122syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  0  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
124123com24 87 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  0  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
125124com15 93 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  ( m  =  0  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
126125imp41 593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  ( m  =  0  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
127126com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
128 difelfzle 30492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  m  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  m )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) )
1291283exp 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  <_  m  ->  ( m  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
130129ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( K  <_  m  ->  ( m  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
131130imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  <_  m  ->  (
m  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  ( K  <_  m  ->  ( m  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) )
133132impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  <_  m  /\  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
1349ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  Y  e. Word  V )
13512ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  ZZ )
136 zsubcl 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  -  K
)  e.  ZZ )
137136ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
13815, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
13911, 138syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( m  -  K
)  e.  ZZ ) )
140139ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  K  <_  m )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( m  -  K
)  e.  ZZ ) )
141140imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
m  -  K )  e.  ZZ )
142 2cshw 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  K  e.  ZZ  /\  (
m  -  K )  e.  ZZ )  -> 
( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( m  -  K
) )  =  ( Y cyclShift  ( K  +  ( m  -  K ) ) ) )
143134, 135, 141, 142syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( Y cyclShift  K ) cyclShift  (
m  -  K ) )  =  ( Y cyclShift  ( K  +  (
m  -  K ) ) ) )
144 zcn 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
14515zcnd 10753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  CC )
146 pncan3 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( K  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
147144, 145, 146syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
148147ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m ) )
14911, 148syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  +  ( m  -  K ) )  =  m ) )
150149ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  K  <_  m )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  +  ( m  -  K ) )  =  m ) )
151150imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
152151oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( Y cyclShift  ( K  +  ( m  -  K ) ) )  =  ( Y cyclShift  m ) )
153143, 152eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( Y cyclShift  m )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( m  -  K ) ) )
154153adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( Y cyclShift  m )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( m  -  K
) ) )
155 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( X cyclShift  ( m  -  K ) )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( m  -  K ) ) )
156155eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( ( Y cyclShift  m )  =  ( X cyclShift  ( m  -  K
) )  <->  ( Y cyclShift  m )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( m  -  K ) ) ) )
157156adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( ( Y cyclShift  m )  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) )  <-> 
( Y cyclShift  m )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( m  -  K
) ) ) )
158154, 157mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( Y cyclShift  m )  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) ) )
159158eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( Z  =  ( Y cyclShift  m )  <->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) ) ) )
160159biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) ) ) )
161160exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( K  <_  m  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K
) ) ) ) ) ) )
162161com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  <_  m  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K
) ) ) ) ) ) )
163162imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  <_  m  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) ) ) ) )
164163com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  ( K  <_  m  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) ) ) ) )
165164imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  ( K  <_  m  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) ) ) )
166165impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  <_  m  /\  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) ) )  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K
) ) )
167 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  ( X cyclShift  n )  =  ( X cyclShift  ( m  -  K
) ) )
168167eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  ( Z  =  ( X cyclShift  n )  <->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K
) ) ) )
169168rspcev 3078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  -  K
)  e.  ( 0 ... N )  /\  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) )
170133, 166, 169syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  <_  m  /\  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) )
171170ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  <_  m  ->  (
( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
17288, 127, 171pm2.61ii 165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) )
173172ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
174173rexlimdva 2846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )
)  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
175174ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
176175com23 78 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
177176ex 434 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
178177com24 87 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
1791783imp 1181 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )  /\  E. m  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  -> 
( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
180179com12 31 1  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )  /\  E. m  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   0cc0 9287    + caddc 9290    <_ cle 9424    - cmin 9600   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ...cfz 11442   #chash 12108  Word cword 12226   cyclShift ccsh 12430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-hash 12109  df-word 12234  df-concat 12236  df-substr 12238  df-csh 12431
This theorem is referenced by:  eleclclwwlknlem1  30495
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