MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwidx0mod Structured version   Unicode version

Theorem cshwidx0mod 12750
Description: The symbol at index 0 of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at index N (modulo the length of the word) of the original word. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwidx0mod  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/)  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( W cyclShift  N ) ` 
0 )  =  ( W `  ( N  mod  ( # `  W
) ) ) )

Proof of Theorem cshwidx0mod
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/)  /\  N  e.  ZZ )  ->  W  e. Word  V )
2 simp3 998 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/)  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
3 lennncl 12539 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
4 lbfzo0 11840 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( # `  W
)  e.  NN )
53, 4sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
653adant3 1016 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/)  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
7 cshwidxmod 12749 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( W cyclShift  N ) `  0
)  =  ( W `
 ( ( 0  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) )
81, 2, 6, 7syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/)  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( W cyclShift  N ) ` 
0 )  =  ( W `  ( ( 0  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) )
9 zcn 10879 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
109addid2d 9790 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  +  N )  =  N )
11103ad2ant3 1019 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/)  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  +  N )  =  N )
1211oveq1d 6309 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/)  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 0  +  N
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( N  mod  ( # `  W ) ) )
1312fveq2d 5875 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/)  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( W `  ( (
0  +  N )  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  ( N  mod  ( # `  W
) ) ) )
148, 13eqtrd 2508 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/)  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( W cyclShift  N ) ` 
0 )  =  ( W `  ( N  mod  ( # `  W
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   (/)c0 3790   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   0cc0 9502    + caddc 9505   NNcn 10546   ZZcz 10874  ..^cfzo 11802    mod cmo 11974   #chash 12383  Word cword 12510   cyclShift ccsh 12734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-rp 11231  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-hash 12384  df-word 12518  df-concat 12520  df-substr 12522  df-csh 12735
This theorem is referenced by:  cshwidx0  12751
  Copyright terms: Public domain W3C validator