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Theorem cshweqrep 12460
Description: If cyclically shifting a word by L position results in the word itself, the symbol at any position is repeated at multiples of L (modulo the length of the word) positions in the word. (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 7-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshweqrep  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. j  e.  NN0  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( j  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, I    j, L    j, V    j, W

Proof of Theorem cshweqrep
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
x  x.  L )  =  ( 0  x.  L ) )
21oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
I  +  ( x  x.  L ) )  =  ( I  +  ( 0  x.  L
) ) )
32oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  =  ( ( I  +  ( 0  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )
43fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( W `  ( (
I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  (
( I  +  ( 0  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
54eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( W `  I
)  =  ( W `
 ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  <->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( 0  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
65imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )  <-> 
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( 0  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) ) )
7 oveq1 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  x.  L )  =  ( y  x.  L ) )
87oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
I  +  ( x  x.  L ) )  =  ( I  +  ( y  x.  L
) ) )
98oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  =  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )
109fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( W `  ( (
I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
1110eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( W `  I
)  =  ( W `
 ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  <->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
1211imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )  <-> 
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) ) )
13 oveq1 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  x.  L )  =  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )
1413oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
I  +  ( x  x.  L ) )  =  ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L
) ) )
1514oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )
1615fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( W `  ( (
I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  (
( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
1716eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( W `  I
)  =  ( W `
 ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  <->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
1817imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )  <-> 
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) ) )
19 oveq1 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  j  ->  (
x  x.  L )  =  ( j  x.  L ) )
2019oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  j  ->  (
I  +  ( x  x.  L ) )  =  ( I  +  ( j  x.  L
) ) )
2120oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  j  ->  (
( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  =  ( ( I  +  ( j  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )
2221fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  ( W `  ( (
I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  (
( I  +  ( j  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
2322eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  (
( W `  I
)  =  ( W `
 ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  <->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( j  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
2423imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )  <-> 
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( j  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) ) )
25 zcn 10656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  CC )
2625mul02d 9572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
0  x.  L )  =  0 )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  x.  L
)  =  0 )
2827adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( 0  x.  L )  =  0 )
2928oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( I  +  ( 0  x.  L
) )  =  ( I  +  0 ) )
30 elfzoelz 11558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  I  e.  ZZ )
31 zcn 10656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  CC )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  I  e.  CC )
3332addid1d 9574 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( I  +  0 )  =  I )
3433ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( I  + 
0 )  =  I )
3529, 34eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( I  +  ( 0  x.  L
) )  =  I )
3635oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( ( I  +  ( 0  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  =  ( I  mod  ( # `  W ) ) )
37 zmodidfzoimp 11743 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( I  mod  ( # `  W
) )  =  I )
3837ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( I  mod  ( # `  W ) )  =  I )
3936, 38eqtr2d 2476 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  I  =  ( ( I  +  ( 0  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) )
4039fveq2d 5700 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( 0  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )
41 fveq1 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  =  ( W cyclShift  L )  ->  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )  =  ( ( W cyclShift  L ) `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
4241eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  W  ->  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )  =  ( ( W cyclShift  L ) `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
4342ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )  =  ( ( W cyclShift  L ) `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
4443adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )  =  ( ( W cyclShift  L ) `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
45 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  W  e. Word  V )
46 simprlr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  L  e.  ZZ )
47 elfzo0 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( I  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  I  <  ( # `  W
) ) )
48 nn0z 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  ZZ )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  ->  I  e.  ZZ )
50 nn0z 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  ZZ )
51 zmulcl 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( y  x.  L
)  e.  ZZ )
5250, 51sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( y  x.  L
)  e.  ZZ )
5352ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( y  x.  L
)  e.  ZZ )
54 zaddcl 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( y  x.  L
)  e.  ZZ )  ->  ( I  +  ( y  x.  L
) )  e.  ZZ )
5549, 53, 54syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  y  e. 
NN0 ) )  -> 
( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ )
56 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  y  e. 
NN0 ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN )
5755, 56jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  y  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( I  +  ( y  x.  L
) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )
5857ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  y  e. 
NN0 )  ->  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) )
59583adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  I  <  ( # `  W
) )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) ) )
6047, 59sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) )
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) )
6261expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( (
I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 W )  e.  NN ) ) ) )
6362com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) ) )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( y  e.  NN0  ->  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) ) ) )
6564imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) )
6665impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( (
I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 W )  e.  NN ) )
67 zmodfzo 11735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( (
I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
69 cshwidxmod 12445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ  /\  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( W cyclShift  L ) `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) )  =  ( W `  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) ) ) )
7045, 46, 68, 69syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( ( W cyclShift  L ) `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) )  =  ( W `  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) ) ) )
71 nn0re 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  RR )
72 zre 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
73 nn0re 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
74 nnrp 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  RR+ )
75 remulcl 9372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( y  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( y  x.  L
)  e.  RR )
7675ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  x.  L
)  e.  RR )
77 readdcl 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( I  e.  RR  /\  ( y  x.  L
)  e.  RR )  ->  ( I  +  ( y  x.  L
) )  e.  RR )
7876, 77sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( I  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  ( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  RR )
7978ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( I  +  ( y  x.  L
) )  e.  RR )
8079adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR+  /\  (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR ) )  ->  (
I  +  ( y  x.  L ) )  e.  RR )
81 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR+  /\  (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR ) )  ->  L  e.  RR )
82 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR+  /\  (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR ) )  ->  ( # `
 W )  e.  RR+ )
83 modaddmod 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  ( # `
 W )  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) )  +  L )  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) ) )
8480, 81, 82, 83syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR+  /\  (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR ) )  ->  (
( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) ) )
85 recn 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( I  e.  RR  ->  I  e.  CC )
8685adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  I  e.  CC )
8775recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( y  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( y  x.  L
)  e.  CC )
8887ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  x.  L
)  e.  CC )
8988adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( y  x.  L )  e.  CC )
90 recn 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( L  e.  RR  ->  L  e.  CC )
9190adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  L  e.  CC )
9291adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  L  e.  CC )
9386, 89, 92addassd 9413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  +  L )  =  ( I  +  ( ( y  x.  L )  +  L ) ) )
94 recn 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
9594adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
96 ax-1cn 9345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  1  e.  CC
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
9895, 97, 91adddird 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  x.  L
)  =  ( ( y  x.  L )  +  ( 1  x.  L ) ) )
9990mulid2d 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( L  e.  RR  ->  (
1  x.  L )  =  L )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  x.  L
)  =  L )
101100oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  x.  L )  +  ( 1  x.  L ) )  =  ( ( y  x.  L )  +  L ) )
10298, 101eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  x.  L )  +  L
)  =  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )
103102adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( y  x.  L )  +  L )  =  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )
104103oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( I  +  ( ( y  x.  L )  +  L
) )  =  ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) ) )
10593, 104eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  +  L )  =  ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) ) )
106105adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR+  /\  (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR ) )  ->  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  +  L )  =  ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L
) ) )
107106oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR+  /\  (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR ) )  ->  (
( ( I  +  ( y  x.  L
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) )
10884, 107eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR+  /\  (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR ) )  ->  (
( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) )
109108ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  W )  e.  RR+  ->  ( (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  +  L )  mod  ( # `
 W ) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )
11074, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  +  L )  mod  ( # `
 W ) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )
111110expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
I  e.  RR  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
112111com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( # `  W
)  e.  NN  ->  ( I  e.  RR  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
11372, 73, 112syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  e.  NN  ->  ( I  e.  RR  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
114113com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  RR  ->  (
( # `  W )  e.  NN  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
11571, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
116115imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  y  e. 
NN0 )  ->  (
( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
1171163adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  I  <  ( # `  W
) )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
11847, 117sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
119118expd 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( (
( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) )  +  L )  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
120119adantld 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
121120adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
122121impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  +  L )  mod  ( # `
 W ) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )
123122impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) )  +  L )  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) )
124123fveq2d 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( W `  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  (
( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
12544, 70, 1243eqtrd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )  =  ( W `
 ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )
126125eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )  <->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
127126biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
128127ex 434 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( ( W `
 I )  =  ( W `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) ) )
129128a2d 26 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )  ->  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) ) )
1306, 12, 18, 24, 40, 129nn0ind 10743 . . . 4  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( j  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
131130com12 31 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( j  e. 
NN0  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( j  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
132131ralrimiv 2803 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  A. j  e.  NN0  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( j  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) ) )
133132ex 434 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. j  e.  NN0  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( j  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   RR+crp 10996  ..^cfzo 11553    mod cmo 11713   #chash 12108  Word cword 12226   cyclShift ccsh 12430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-hash 12109  df-word 12234  df-concat 12236  df-substr 12238  df-csh 12431
This theorem is referenced by:  cshw1  12461  cshwsidrepsw  14125
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