MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshweqrep Structured version   Unicode version

Theorem cshweqrep 12910
Description: If cyclically shifting a word by L position results in the word itself, the symbol at any position is repeated at multiples of L (modulo the length of the word) positions in the word. (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 7-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshweqrep  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. j  e.  NN0  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( j  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, I    j, L    j, V    j, W

Proof of Theorem cshweqrep
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
x  x.  L )  =  ( 0  x.  L ) )
21oveq2d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
I  +  ( x  x.  L ) )  =  ( I  +  ( 0  x.  L
) ) )
32oveq1d 6316 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  =  ( ( I  +  ( 0  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )
43fveq2d 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( W `  ( (
I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  (
( I  +  ( 0  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
54eqeq2d 2436 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( W `  I
)  =  ( W `
 ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  <->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( 0  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
65imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )  <-> 
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( 0  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) ) )
7 oveq1 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  x.  L )  =  ( y  x.  L ) )
87oveq2d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
I  +  ( x  x.  L ) )  =  ( I  +  ( y  x.  L
) ) )
98oveq1d 6316 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  =  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )
109fveq2d 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( W `  ( (
I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
1110eqeq2d 2436 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( W `  I
)  =  ( W `
 ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  <->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
1211imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )  <-> 
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) ) )
13 oveq1 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  x.  L )  =  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )
1413oveq2d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
I  +  ( x  x.  L ) )  =  ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L
) ) )
1514oveq1d 6316 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )
1615fveq2d 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( W `  ( (
I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  (
( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
1716eqeq2d 2436 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( W `  I
)  =  ( W `
 ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  <->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
1817imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )  <-> 
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) ) )
19 oveq1 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  j  ->  (
x  x.  L )  =  ( j  x.  L ) )
2019oveq2d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  j  ->  (
I  +  ( x  x.  L ) )  =  ( I  +  ( j  x.  L
) ) )
2120oveq1d 6316 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  j  ->  (
( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  =  ( ( I  +  ( j  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )
2221fveq2d 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  ( W `  ( (
I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  (
( I  +  ( j  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
2322eqeq2d 2436 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  (
( W `  I
)  =  ( W `
 ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) )  <->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( j  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
2423imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( x  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )  <-> 
( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  (
( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( j  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) ) )
25 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  CC )
2625mul02d 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
0  x.  L )  =  0 )
2726adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  x.  L
)  =  0 )
2827adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( 0  x.  L )  =  0 )
2928oveq2d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( I  +  ( 0  x.  L
) )  =  ( I  +  0 ) )
30 elfzoelz 11920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  I  e.  ZZ )
3130zcnd 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  I  e.  CC )
3231addid1d 9833 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( I  +  0 )  =  I )
3332ad2antll 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( I  + 
0 )  =  I )
3429, 33eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( I  +  ( 0  x.  L
) )  =  I )
3534oveq1d 6316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( ( I  +  ( 0  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  =  ( I  mod  ( # `  W ) ) )
36 zmodidfzoimp 12126 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( I  mod  ( # `  W
) )  =  I )
3736ad2antll 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( I  mod  ( # `  W ) )  =  I )
3835, 37eqtr2d 2464 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  I  =  ( ( I  +  ( 0  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) )
3938fveq2d 5881 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( 0  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )
40 fveq1 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  =  ( W cyclShift  L )  ->  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )  =  ( ( W cyclShift  L ) `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
4140eqcoms 2434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  W  ->  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )  =  ( ( W cyclShift  L ) `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
4241ad2antrl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )  =  ( ( W cyclShift  L ) `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
4342adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )  =  ( ( W cyclShift  L ) `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
44 simprll 770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  W  e. Word  V )
45 simprlr 771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  L  e.  ZZ )
46 elfzo0 11956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( I  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  I  <  ( # `  W
) ) )
47 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  ZZ )
4847adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  ->  I  e.  ZZ )
49 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  ZZ )
50 zmulcl 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( y  x.  L
)  e.  ZZ )
5149, 50sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( y  x.  L
)  e.  ZZ )
5251ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( y  x.  L
)  e.  ZZ )
53 zaddcl 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( y  x.  L
)  e.  ZZ )  ->  ( I  +  ( y  x.  L
) )  e.  ZZ )
5448, 52, 53syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  y  e. 
NN0 ) )  -> 
( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ )
55 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  y  e. 
NN0 ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN )
5654, 55jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  y  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( I  +  ( y  x.  L
) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )
5756ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  y  e. 
NN0 )  ->  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) )
58573adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  I  <  ( # `  W
) )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) ) )
5946, 58sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) )
6059adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) )
6160expd 437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( (
I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 W )  e.  NN ) ) ) )
6261com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) ) )
6362adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( y  e.  NN0  ->  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) ) ) )
6463imp 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) )
6564impcom 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( (
I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 W )  e.  NN ) )
66 zmodfzo 12118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( (
I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
68 cshwidxmod 12895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ  /\  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( W cyclShift  L ) `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) )  =  ( W `  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) ) ) )
6944, 45, 67, 68syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( ( W cyclShift  L ) `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) )  =  ( W `  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) ) ) )
70 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  RR )
71 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
72 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
73 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  RR+ )
74 remulcl 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( y  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( y  x.  L
)  e.  RR )
7574ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  x.  L
)  e.  RR )
76 readdcl 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( I  e.  RR  /\  ( y  x.  L
)  e.  RR )  ->  ( I  +  ( y  x.  L
) )  e.  RR )
7775, 76sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( I  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  ( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  RR )
7877ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( I  +  ( y  x.  L
) )  e.  RR )
7978adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR+  /\  (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR ) )  ->  (
I  +  ( y  x.  L ) )  e.  RR )
80 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR+  /\  (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR ) )  ->  L  e.  RR )
81 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR+  /\  (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR ) )  ->  ( # `
 W )  e.  RR+ )
82 modaddmod 12135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  ( # `
 W )  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) )  +  L )  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) ) )
8379, 80, 81, 82syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR+  /\  (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR ) )  ->  (
( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) ) )
84 recn 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( I  e.  RR  ->  I  e.  CC )
8584adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  I  e.  CC )
8674recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( y  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( y  x.  L
)  e.  CC )
8786ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  x.  L
)  e.  CC )
8887adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( y  x.  L )  e.  CC )
89 recn 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( L  e.  RR  ->  L  e.  CC )
9089adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  L  e.  CC )
9190adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  L  e.  CC )
9285, 88, 91addassd 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  +  L )  =  ( I  +  ( ( y  x.  L )  +  L ) ) )
93 recn 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
9493adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
95 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
9694, 95, 90adddird 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  x.  L
)  =  ( ( y  x.  L )  +  ( 1  x.  L ) ) )
9789mulid2d 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( L  e.  RR  ->  (
1  x.  L )  =  L )
9897adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  x.  L
)  =  L )
9998oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  x.  L )  +  ( 1  x.  L ) )  =  ( ( y  x.  L )  +  L ) )
10096, 99eqtr2d 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  x.  L )  +  L
)  =  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )
101100adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( y  x.  L )  +  L )  =  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )
102101oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( I  +  ( ( y  x.  L )  +  L
) )  =  ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) ) )
10392, 102eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  +  L )  =  ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) ) )
104103adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR+  /\  (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR ) )  ->  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  +  L )  =  ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L
) ) )
105104oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR+  /\  (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR ) )  ->  (
( ( I  +  ( y  x.  L
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) )
10683, 105eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR+  /\  (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR ) )  ->  (
( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) )
107106ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  W )  e.  RR+  ->  ( (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  +  L )  mod  ( # `
 W ) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )
10873, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( (
( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  +  L )  mod  ( # `
 W ) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )
109108expd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
I  e.  RR  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
110109com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( # `  W
)  e.  NN  ->  ( I  e.  RR  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
11171, 72, 110syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  e.  NN  ->  ( I  e.  RR  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
112111com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  RR  ->  (
( # `  W )  e.  NN  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
11370, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
114113imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  y  e. 
NN0 )  ->  (
( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
1151143adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  I  <  ( # `  W
) )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
11646, 115sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
117116expd 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( (
( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) )  +  L )  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
118117adantld 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
119118adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) ) )
120119impcom 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) )  +  L )  mod  ( # `
 W ) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )
121120impcom 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) )  +  L )  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) )
122121fveq2d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( W `  ( ( ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) )  +  L
)  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  (
( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
12343, 69, 1223eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )  =  ( W `
 ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )
124123eqeq2d 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )  <->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
125124biimpd 210 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) ) )  ->  ( ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
126125ex 435 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( ( W `
 I )  =  ( W `  (
( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) ) )
127126a2d 29 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( y  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) )  ->  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( ( y  +  1 )  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) ) )
1286, 12, 18, 24, 39, 127nn0ind 11030 . . . 4  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( j  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
129128com12 32 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  ( j  e. 
NN0  ->  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( j  x.  L ) )  mod  ( # `  W
) ) ) ) )
130129ralrimiv 2837 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )  ->  A. j  e.  NN0  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( j  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) ) )
131130ex 435 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( ( W cyclShift  L )  =  W  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  A. j  e.  NN0  ( W `  I )  =  ( W `  ( ( I  +  ( j  x.  L
) )  mod  ( # `
 W ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   class class class wbr 4420   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   RR+crp 11302  ..^cfzo 11915    mod cmo 12095   #chash 12514  Word cword 12648   cyclShift ccsh 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-sup 7958  df-inf 7959  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-hash 12515  df-word 12656  df-concat 12658  df-substr 12660  df-csh 12881
This theorem is referenced by:  cshw1  12911  cshwsidrepsw  15051
  Copyright terms: Public domain W3C validator