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Theorem csbxpgVD 37291
Description: Virtual deduction proof of csbxpgOLD 37214. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. csbxpgOLD 37214 is csbxpgVD 37291 without virtual deductions and was automatically derived from csbxpgVD 37291.
1::  |-  (. A  e.  V  ->.  A  e.  V ).
2:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ w  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
3:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ w  =  w ).
4:3:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [_ A  /  x ]_ w  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
5:2,4:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
6:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  [_ A  /  x ]_ y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ).
7:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ y  =  y ).
8:7:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [_ A  /  x ]_ y  e.  [_ A  /  x ]_ C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ).
9:6,8:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ).
10:5,9:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( ( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C )  <->  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ).
11:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C )  <->  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C ) ) ).
12:10,11:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C )  <->  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ).
13:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,.  y >.  <->  z  =  <. w ,  y >. ) ).
14:12,13:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( ( [. A  /  x ]. z  =  <. w  ,. y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
15:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  =  <. w  ,. y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) ) ).
16:14,15:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  =  <. w  ,. y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
17:16:  |-  (. A  e.  V  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
18:17:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. y [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
19:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) ) ).
20:18,19:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
21:20:  |-  (. A  e.  V  ->.  A. w ( [. A  /  x ]. E. y (  z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
22:21:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. w [. A  /  x ]. E. y (  z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
23:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. w E. y (  z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. w [. A  /  x ]. E. y  ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) ) ).
24:22,23:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. w E. y (  z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
25:24:  |-  (. A  e.  V  ->.  A. z ( [. A  /  x ]. E. w E.  y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
26:25:  |-  (. A  e.  V  ->.  { z  |  [. A  /  x ]. E. w E.  y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }  =  { z  |  E. w E. y (  z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }  ).
27:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E.  y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }  =  { z  |  [. A  /  x ].  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) } ).
28:26,27:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E.  y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }  =  { z  |  E. w E. y (  z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }  ).
29::  |-  { <. w ,. y >.  |  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }
30::  |-  ( B  X.  C )  =  { <. w ,. y >.  |  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) }
31:29,30:  |-  ( B  X.  C )  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w  ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }
32:31:  |-  A. x ( B  X.  C )  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }
33:1,32:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) } ).
34:28,33:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } ).
35::  |-  { <. w ,. y >.  |  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
36::  |-  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C )  =  {  <. w ,  y >.  |  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) }
37:35,36:  |-  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C )  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
38:34,37:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C ) ).
qed:38:  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  (  [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C ) )
(Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
csbxpgVD  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C
) )

Proof of Theorem csbxpgVD
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 36944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (. A  e.  V  ->.  A  e.  V ).
2 sbcel12gOLD 36905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ w  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
31, 2e1a 37006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ w  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
4 csbconstg 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ w  =  w )
51, 4e1a 37006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ w  =  w ).
6 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [_ A  /  x ]_ w  =  w  ->  ( [_ A  /  x ]_ w  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
75, 6e1a 37006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [_ A  /  x ]_ w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
8 bibi1 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
[. A  /  x ]. w  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ w  e.  [_ A  /  x ]_ B )  -> 
( ( [. A  /  x ]. w  e.  B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B )  <-> 
( [_ A  /  x ]_ w  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) )
98biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
[. A  /  x ]. w  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ w  e.  [_ A  /  x ]_ B )  -> 
( ( [_ A  /  x ]_ w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B )  ->  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) )
103, 7, 9e11 37067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
11 sbcel12gOLD 36905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  [_ A  /  x ]_ y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )
121, 11e1a 37006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  [_ A  /  x ]_ y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ).
13 csbconstg 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ y  =  y )
141, 13e1a 37006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ y  =  y ).
15 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [_ A  /  x ]_ y  =  y  ->  ( [_ A  /  x ]_ y  e.  [_ A  /  x ]_ C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
) )
1614, 15e1a 37006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [_ A  /  x ]_ y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
) ).
17 bibi1 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
[. A  /  x ]. y  e.  C  <->  [_ A  /  x ]_ y  e.  [_ A  /  x ]_ C )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
)  <->  ( [_ A  /  x ]_ y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
) ) )
1817biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
[. A  /  x ]. y  e.  C  <->  [_ A  /  x ]_ y  e.  [_ A  /  x ]_ C )  -> 
( ( [_ A  /  x ]_ y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
)  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
) ) )
1912, 16, 18e11 37067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
) ).
20 pm4.38 883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. w  e.  B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B )  /\  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C )  <->  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
2120ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
[. A  /  x ]. w  e.  B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C
)  <->  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
2210, 19, 21e11 37067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (. A  e.  V  ->.  ( ( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C )  <->  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ).
23 sbcangOLD 36890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
)  <->  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C ) ) )
241, 23e1a 37006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C )  <->  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C ) ) ).
25 bibi1 329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
)  <->  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C )  <->  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )  <->  ( ( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C
)  <->  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
2625biimprcd 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C
)  <->  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C )  <->  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
)  <->  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
2722, 24, 26e11 37067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C )  <->  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ).
28 sbcg 3333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  <->  z  =  <. w ,  y >.
) )
291, 28e1a 37006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. z  = 
<. w ,  y >.  <->  z  =  <. w ,  y
>. ) ).
30 pm4.38 883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  <->  z  =  <. w ,  y >.
)  /\  ( [. A  /  x ]. (
w  e.  B  /\  y  e.  C )  <->  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
3130expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
)  <->  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. z  = 
<. w ,  y >.  <->  z  =  <. w ,  y
>. )  ->  ( (
[. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ) )
3227, 29, 31e11 37067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A  e.  V  ->.  ( ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y
>.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
33 sbcangOLD 36890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( [. A  /  x ]. z  = 
<. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) ) )
341, 33e1a 37006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y
>.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) ) ).
35 bibi1 329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( [. A  /  x ]. z  = 
<. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )  <-> 
( ( [. A  /  x ]. z  = 
<. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ) )
3635biimprcd 229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. (
z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( [. A  /  x ]. z  = 
<. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ) )
3732, 34, 36e11 37067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
3837gen11 36995 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A  e.  V  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. (
z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
39 exbi 1716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )  ->  ( E. y [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
4038, 39e1a 37006 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. y [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
41 sbcexgOLD 36904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) ) )
421, 41e1a 37006 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) ) ).
43 bibi1 329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) )  ->  (
( [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )  <->  ( E. y [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ) )
4443biimprcd 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. y [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) )  ->  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ) )
4540, 42, 44e11 37067 . . . . . . . . . 10  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
4645gen11 36995 . . . . . . . . 9  |-  (. A  e.  V  ->.  A. w ( [. A  /  x ]. E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
47 exbi 1716 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w ( [. A  /  x ]. E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )  ->  ( E. w [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
4846, 47e1a 37006 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. w [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
49 sbcexgOLD 36904 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. w [. A  /  x ]. E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) ) )
501, 49e1a 37006 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. w [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) ) ).
51 bibi1 329 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[. A  /  x ]. E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. w [. A  /  x ]. E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) )  ->  (
( [. A  /  x ]. E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )  <->  ( E. w [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ) )
5251biimprcd 229 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. w [. A  /  x ]. E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. w [. A  /  x ]. E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) )  ->  ( [. A  /  x ]. E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ) )
5348, 50, 52e11 37067 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
5453gen11 36995 . . . . . 6  |-  (. A  e.  V  ->.  A. z ( [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) ).
55 abbi 2565 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )  <->  { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) }  =  {
z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } )
5655biimpi 198 . . . . . 6  |-  ( A. z ( [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )  ->  { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } )
5754, 56e1a 37006 . . . . 5  |-  (. A  e.  V  ->.  { z  | 
[. A  /  x ]. E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) }  =  {
z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } ).
58 csbabgOLD 37211 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) } )
591, 58e1a 37006 . . . . 5  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }  =  { z  | 
[. A  /  x ]. E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) } ).
60 eqeq2 2462 . . . . . 6  |-  ( { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }  <->  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }  =  { z  |  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } ) )
6160biimpd 211 . . . . 5  |-  ( { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }  ->  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }  =  { z  |  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } ) )
6257, 59, 61e11 37067 . . . 4  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }  =  { z  |  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } ).
63 df-xp 4840 . . . . . . 7  |-  ( B  X.  C )  =  { <. w ,  y
>.  |  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) }
64 df-opab 4462 . . . . . . 7  |-  { <. w ,  y >.  |  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) }  =  { z  |  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) }
6563, 64eqtri 2473 . . . . . 6  |-  ( B  X.  C )  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }
6665ax-gen 1669 . . . . 5  |-  A. x
( B  X.  C
)  =  { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }
67 csbeq2gOLD 36916 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x ( B  X.  C )  =  {
z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C
)  =  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) } ) )
681, 66, 67e10 37073 . . . 4  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C
)  =  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) } ).
69 eqeq2 2462 . . . . 5  |-  ( [_ A  /  x ]_ {
z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  = 
[_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }  <->  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C
)  =  { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } ) )
7069biimpd 211 . . . 4  |-  ( [_ A  /  x ]_ {
z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  = 
[_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C
)  =  { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } ) )
7162, 68, 70e11 37067 . . 3  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C
)  =  { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } ).
72 df-xp 4840 . . . 4  |-  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C )  =  { <. w ,  y >.  |  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) }
73 df-opab 4462 . . . 4  |-  { <. w ,  y >.  |  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) }  =  { z  |  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
7472, 73eqtri 2473 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C )  =  {
z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
75 eqeq2 2462 . . . 4  |-  ( (
[_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C )  =  { z  |  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C
)  <->  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C
)  =  { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } ) )
7675biimprcd 229 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }  ->  ( ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C )  =  {
z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C
) ) )
7771, 74, 76e10 37073 . 2  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C
)  =  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C ) ).
7877in1 36941 1  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   {cab 2437   [.wsbc 3267   [_csb 3363   <.cop 3974   {copab 4460    X. cxp 4832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-opab 4462  df-xp 4840  df-vd1 36940
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