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Theorem csbxp 5090
Description: Distribute proper substitution through the Cartesian product of two classes. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.) (Revised by NM, 23-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
csbxp  |-  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C
)

Proof of Theorem csbxp
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbab 3860 . . 3  |-  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }
2 sbcex2 3381 . . . . 5  |-  ( [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. w [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) )
3 sbcex2 3381 . . . . . . 7  |-  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) )
4 sbcan 3370 . . . . . . . . 9  |-  ( [. A  /  x ]. (
z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( [. A  /  x ]. z  = 
<. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )
5 sbcg 3399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  <->  z  =  <. w ,  y >.
) )
6 sbcan 3370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. A  /  x ]. (
w  e.  B  /\  y  e.  C )  <->  (
[. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C
) )
7 sbcel2 3839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B )
8 sbcel2 3839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
)
97, 8anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
[. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C
)  <->  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )
106, 9bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. A  /  x ]. (
w  e.  B  /\  y  e.  C )  <->  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
)  <->  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
125, 11anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
13 sbcex 3337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. A  /  x ]. (
w  e.  B  /\  y  e.  C )  ->  A  e.  _V )
1413con3i 135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -. 
[. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )
1514intnand 916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) )
16 noel 3797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  y  e.  (/)
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  y  e.  (/) )
18 csbprc 3830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  [_ A  /  x ]_ C  =  (/) )
1917, 18neleqtrrd 2570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  y  e.  [_ A  /  x ]_ C )
2019intnand 916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )
2120intnand 916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
2215, 212falsed 351 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
2312, 22pm2.61i 164 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
244, 23bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( [. A  /  x ]. (
z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
2524exbii 1668 . . . . . . 7  |-  ( E. y [. A  /  x ]. ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
263, 25bitri 249 . . . . . 6  |-  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
2726exbii 1668 . . . . 5  |-  ( E. w [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
282, 27bitri 249 . . . 4  |-  ( [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
2928abbii 2591 . . 3  |-  { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
301, 29eqtri 2486 . 2  |-  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
31 df-xp 5014 . . . 4  |-  ( B  X.  C )  =  { <. w ,  y
>.  |  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) }
32 df-opab 4516 . . . 4  |-  { <. w ,  y >.  |  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) }  =  { z  |  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) }
3331, 32eqtri 2486 . . 3  |-  ( B  X.  C )  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }
3433csbeq2i 3844 . 2  |-  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  = 
[_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }
35 df-xp 5014 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C )  =  { <. w ,  y >.  |  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) }
36 df-opab 4516 . . 3  |-  { <. w ,  y >.  |  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) }  =  { z  |  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
3735, 36eqtri 2486 . 2  |-  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C )  =  {
z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
3830, 34, 373eqtr4i 2496 1  |-  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   {cab 2442   _Vcvv 3109   [.wsbc 3327   [_csb 3430   (/)c0 3793   <.cop 4038   {copab 4514    X. cxp 5006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-opab 4516  df-xp 5014
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