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Theorem csbxp 5079
Description: Distribute proper substitution through the Cartesian product of two classes. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.) (Revised by NM, 23-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
csbxp  |-  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C
)

Proof of Theorem csbxp
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbab 3855 . . 3  |-  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }
2 sbcex2 3385 . . . . 5  |-  ( [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. w [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) )
3 sbcex2 3385 . . . . . . 7  |-  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) )
4 sbcan 3374 . . . . . . . . 9  |-  ( [. A  /  x ]. (
z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( [. A  /  x ]. z  = 
<. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )
5 sbcg 3405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  <->  z  =  <. w ,  y >.
) )
6 sbcan 3374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. A  /  x ]. (
w  e.  B  /\  y  e.  C )  <->  (
[. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C
) )
7 sbcel2 3831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B )
8 sbcel2 3831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
)
97, 8anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
[. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C
)  <->  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )
106, 9bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. A  /  x ]. (
w  e.  B  /\  y  e.  C )  <->  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
)  <->  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
125, 11anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
13 sbcex 3341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. A  /  x ]. (
w  e.  B  /\  y  e.  C )  ->  A  e.  _V )
1413con3i 135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -. 
[. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )
1514intnand 914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) )
16 noel 3789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  y  e.  (/)
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  y  e.  (/) )
18 csbprc 3821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  [_ A  /  x ]_ C  =  (/) )
1917, 18neleqtrrd 2580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  y  e.  [_ A  /  x ]_ C )
2019intnand 914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )
2120intnand 914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
2215, 212falsed 351 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
2312, 22pm2.61i 164 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
244, 23bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( [. A  /  x ]. (
z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
2524exbii 1644 . . . . . . 7  |-  ( E. y [. A  /  x ]. ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
263, 25bitri 249 . . . . . 6  |-  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
2726exbii 1644 . . . . 5  |-  ( E. w [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
282, 27bitri 249 . . . 4  |-  ( [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
2928abbii 2601 . . 3  |-  { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
301, 29eqtri 2496 . 2  |-  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
31 df-xp 5005 . . . 4  |-  ( B  X.  C )  =  { <. w ,  y
>.  |  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) }
32 df-opab 4506 . . . 4  |-  { <. w ,  y >.  |  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) }  =  { z  |  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) }
3331, 32eqtri 2496 . . 3  |-  ( B  X.  C )  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }
3433csbeq2i 3836 . 2  |-  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  = 
[_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }
35 df-xp 5005 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C )  =  { <. w ,  y >.  |  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) }
36 df-opab 4506 . . 3  |-  { <. w ,  y >.  |  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) }  =  { z  |  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
3735, 36eqtri 2496 . 2  |-  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C )  =  {
z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
3830, 34, 373eqtr4i 2506 1  |-  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   _Vcvv 3113   [.wsbc 3331   [_csb 3435   (/)c0 3785   <.cop 4033   {copab 4504    X. cxp 4997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-opab 4506  df-xp 5005
This theorem is referenced by:  csbres  5274
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