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Theorem csbunigVD 37295
Description: Virtual deduction proof of csbunigOLD 37212. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. csbunigOLD 37212 is csbunigVD 37295 without virtual deductions and was automatically derived from csbunigVD 37295.
1::  |-  (. A  e.  V  ->.  A  e.  V ).
2:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) ).
3:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  B  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
4:2,3:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B )  <->  ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) ).
5:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B ) ) ).
6:4,5:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) ).
7:6:  |-  (. A  e.  V  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) ).
8:7:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. y [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) ).
9:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) ) ).
10:8,9:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) ).
11:10:  |-  (. A  e.  V  ->.  A. z ( [. A  /  x ]. E. y (  z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) ).
12:11:  |-  (. A  e.  V  ->.  { z  |  [. A  /  x ]. E. y (  z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) } ).
13:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  ).
14:12,13:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) } ).
15::  |-  U. B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }
16:15:  |-  A. x U. B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }
17:1,16:  |-  (. A  e.  V  ->.  [. A  /  x ]. U. B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) } ).
18:1,17:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ U. B  =  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) } ).
19:14,18:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ U. B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) } ).
20::  |-  U. [_ A  /  x ]_ B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) }
21:19,20:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ U. B  =  U. [_ A  /  x ]_ B ).
qed:21:  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ U. B  =  U. [_ A  /  x ]_ B )
(Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
csbunigVD  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ U. B  =  U. [_ A  /  x ]_ B )

Proof of Theorem csbunigVD
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 36944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (. A  e.  V  ->.  A  e.  V ).
2 sbcg 3333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) )
31, 2e1a 37006 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) ).
4 sbcel2gOLD 36906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  B  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
51, 4e1a 37006 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  B  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) ).
6 pm4.38 883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <-> 
z  e.  y )  /\  ( [. A  /  x ]. y  e.  B  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) )  ->  (
( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B
)  <->  ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) ) )
76ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  B  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B
)  <->  ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) ) ) )
83, 5, 7e11 37067 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  V  ->.  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B )  <->  ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) ).
9 sbcangOLD 36890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B
)  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B ) ) )
101, 9e1a 37006 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B ) ) ).
11 bibi1 329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B
)  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )  <->  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B
)  <->  ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) ) ) )
1211biimprcd 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B
)  <->  ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B
)  <->  ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) ) ) )
138, 10, 12e11 37067 . . . . . . . . . 10  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) ).
1413gen11 36995 . . . . . . . . 9  |-  (. A  e.  V  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. (
z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) ).
15 exbi 1716 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )  -> 
( E. y [. A  /  x ]. (
z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) ) )
1614, 15e1a 37006 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. y [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B
)  <->  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) ).
17 sbcexgOLD 36904 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
181, 17e1a 37006 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
)  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) ) ).
19 bibi1 329 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) )  <->  ( E. y [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B
)  <->  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) ) )
2019biimprcd 229 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. y [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) )  ->  (
( [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B
) )  ->  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) ) ) )
2116, 18, 20e11 37067 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
)  <->  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) ).
2221gen11 36995 . . . . . 6  |-  (. A  e.  V  ->.  A. z ( [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) ) ).
23 abbi 2565 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( [. A  /  x ]. E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
)  <->  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )  <->  { z  |  [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) } )
2423biimpi 198 . . . . . 6  |-  ( A. z ( [. A  /  x ]. E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
)  <->  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )  ->  { z  |  [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) } )
2522, 24e1a 37006 . . . . 5  |-  (. A  e.  V  ->.  { z  | 
[. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) } ).
26 csbabgOLD 37211 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) } )
271, 26e1a 37006 . . . . 5  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) } ).
28 eqeq2 2462 . . . . . 6  |-  ( { z  |  [. A  /  x ]. E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
) }  =  {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  <->  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) } ) )
2928biimpd 211 . . . . 5  |-  ( { z  |  [. A  /  x ]. E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
) }  =  {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  ->  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) } ) )
3025, 27, 29e11 37067 . . . 4  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) } ).
31 df-uni 4199 . . . . . . 7  |-  U. B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }
3231ax-gen 1669 . . . . . 6  |-  A. x U. B  =  {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
) }
33 spsbc 3280 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x U. B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  ->  [. A  /  x ]. U. B  =  {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
) } ) )
341, 32, 33e10 37073 . . . . 5  |-  (. A  e.  V  ->.  [. A  /  x ]. U. B  =  {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
) } ).
35 sbceqg 3773 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. U. B  =  {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
) }  <->  [_ A  /  x ]_ U. B  = 
[_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) } ) )
3635biimpd 211 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. U. B  =  {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
) }  ->  [_ A  /  x ]_ U. B  =  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) } ) )
371, 34, 36e11 37067 . . . 4  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ U. B  =  [_ A  /  x ]_ {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
) } ).
38 eqeq2 2462 . . . . 5  |-  ( [_ A  /  x ]_ {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
) }  =  {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ U. B  =  [_ A  /  x ]_ {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
) }  <->  [_ A  /  x ]_ U. B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) } ) )
3938biimpd 211 . . . 4  |-  ( [_ A  /  x ]_ {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
) }  =  {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ U. B  =  [_ A  /  x ]_ {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  B
) }  ->  [_ A  /  x ]_ U. B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) } ) )
4030, 37, 39e11 37067 . . 3  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ U. B  =  {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) } ).
41 df-uni 4199 . . 3  |-  U. [_ A  /  x ]_ B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) }
42 eqeq2 2462 . . . 4  |-  ( U. [_ A  /  x ]_ B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) }  ->  (
[_ A  /  x ]_ U. B  =  U. [_ A  /  x ]_ B 
<-> 
[_ A  /  x ]_ U. B  =  {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) } ) )
4342biimprcd 229 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ U. B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) }  ->  ( U. [_ A  /  x ]_ B  =  {
z  |  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) }  ->  [_ A  /  x ]_ U. B  =  U. [_ A  /  x ]_ B ) )
4440, 41, 43e10 37073 . 2  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ U. B  =  U. [_ A  /  x ]_ B ).
4544in1 36941 1  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ U. B  =  U. [_ A  /  x ]_ B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   {cab 2437   [.wsbc 3267   [_csb 3363   U.cuni 4198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-uni 4199  df-vd1 36940
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