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Theorem csbuni 4250
Description: Distribute proper substitution through the union of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.) (Revised by NM, 22-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
csbuni  |-  [_ A  /  x ]_ U. B  =  U. [_ A  /  x ]_ B

Proof of Theorem csbuni
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbab 3831 . . . 4  |-  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }
2 sbcex2 3356 . . . . . 6  |-  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B
) )
3 sbcan 3348 . . . . . . . 8  |-  ( [. A  /  x ]. (
z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  (
[. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B
) )
4 sbcg 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) )
54anbi1d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B
)  <->  ( z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B ) ) )
6 sbcel2 3812 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. A  /  x ]. y  e.  B  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
)
76anbi2i 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B )  <->  ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
85, 7syl6bb 264 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B
)  <->  ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) ) )
93, 8syl5bb 260 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B
)  <->  ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) ) )
109exbidv 1761 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. y [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) ) )
112, 10syl5bb 260 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) ) )
1211abbidv 2565 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  { z  |  [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) } )
131, 12syl5eq 2482 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) } )
14 df-uni 4223 . . . 4  |-  U. B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }
1514csbeq2i 3816 . . 3  |-  [_ A  /  x ]_ U. B  =  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }
16 df-uni 4223 . . 3  |-  U. [_ A  /  x ]_ B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) }
1713, 15, 163eqtr4g 2495 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  [_ A  /  x ]_ U. B  =  U. [_ A  /  x ]_ B )
18 csbprc 3804 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  [_ A  /  x ]_ U. B  =  (/) )
19 csbprc 3804 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  [_ A  /  x ]_ B  =  (/) )
2019unieqd 4232 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U.
[_ A  /  x ]_ B  =  U. (/) )
21 uni0 4249 . . . 4  |-  U. (/)  =  (/)
2220, 21syl6req 2487 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (/)  =  U. [_ A  /  x ]_ B )
2318, 22eqtrd 2470 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  [_ A  /  x ]_ U. B  =  U. [_ A  /  x ]_ B )
2417, 23pm2.61i 167 1  |-  [_ A  /  x ]_ U. B  =  U. [_ A  /  x ]_ B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   {cab 2414   _Vcvv 3087   [.wsbc 3305   [_csb 3401   (/)c0 3767   U.cuni 4222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-sn 4003  df-uni 4223
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