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Theorem csbren 21952
Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
csbrn.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
csbrn.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
csbren  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem csbren
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 10627 . . . . 5  |-  2  e.  CC
2 csbrn.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 csbrn.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 csbrn.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
53, 4remulcld 9641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
62, 5fsumrecl 13568 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  RR )
76recnd 9639 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  CC )
8 sqmul 12234 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  e.  CC )  -> 
( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) ) )
91, 7, 8sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) ) )
10 sq2 12267 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
1110oveq1i 6306 . . . 4  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )
129, 11syl6eq 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) ) )
133resqcld 12339 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
142, 13fsumrecl 13568 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  e.  RR )
15 2re 10626 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
16 remulcl 9594 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
1715, 6, 16sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
184resqcld 12339 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
192, 18fsumrecl 13568 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 )  e.  RR )
202adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e. 
Fin )
2113adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
22 simplr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  x  e.  RR )
2322resqcld 12339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
2421, 23remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
25 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( B  x.  C
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  e.  RR )
2615, 5, 25sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  RR )
2726adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  RR )
2827, 22remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x )  e.  RR )
2924, 28readdcld 9640 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  e.  RR )
3018adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
3129, 30readdcld 9640 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
323adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3332, 22remulcld 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  x )  e.  RR )
344adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
3533, 34readdcld 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  x.  x
)  +  C )  e.  RR )
3635sqge0d 12340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( ( ( B  x.  x )  +  C ) ^ 2 ) )
3733recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  x )  e.  CC )
3834recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
39 binom2 12286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  x.  x
)  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( ( B  x.  x )  +  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  x ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
4037, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B  x.  x )  +  C
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  x
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
4132recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4222recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  x  e.  CC )
4341, 42sqmuld 12325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  x.  x
) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) ) )
4441, 42, 38mul32d 9807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  C )  =  ( ( B  x.  C )  x.  x ) )
4544oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) )  =  ( 2  x.  ( ( B  x.  C )  x.  x
) ) )
46 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  2  e.  CC )
475adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
4847recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
4946, 48, 42mulassd 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x )  =  ( 2  x.  ( ( B  x.  C )  x.  x
) ) )
5045, 49eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) )  =  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )
5143, 50oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B  x.  x ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  x.  x
) ) )
5251oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( ( B  x.  x ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5340, 52eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B  x.  x )  +  C
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5436, 53breqtrd 4480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5520, 31, 54fsumge0 13621 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5624recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
5728recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x )  e.  CC )
5856, 57addcld 9632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  e.  CC )
5930recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
6020, 58, 59fsumadd 13573 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^
2 ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
6120, 56, 57fsumadd 13573 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  sum_ k  e.  A  ( (
2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) ) )
62 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
6362recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
6463sqcld 12311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x ^ 2 )  e.  CC )
6521recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
6620, 64, 65fsummulc1 13612 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  =  sum_ k  e.  A  (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) ) )
67 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  2  e.  CC )
6820, 67, 48fsummulc2 13611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  =  sum_ k  e.  A  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) )
6968oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) )  x.  x )  =  (
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )
7026recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
7170adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
7220, 63, 71fsummulc1 13612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sum_ k  e.  A  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x )  = 
sum_ k  e.  A  ( ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )
7369, 72eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) )  x.  x )  =  sum_ k  e.  A  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )
7466, 73oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( (
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )  =  (
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  sum_ k  e.  A  ( (
2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) ) )
7561, 74eqtr4d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  x.  x ) ) )
7675oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sum_ k  e.  A  (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7760, 76eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^
2 ) )  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7855, 77breqtrd 4480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7914, 17, 19, 78discr 12306 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )
8017resqcld 12339 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  e.  RR )
81 4re 10633 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
8214, 19remulcld 9641 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
83 remulcl 9594 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8481, 82, 83sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8580, 84suble0d 10164 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ) ^
2 )  -  (
4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0  <->  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
8679, 85mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
8712, 86eqbrtrrd 4478 . 2  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
886resqcld 12339 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  e.  RR )
8981a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
90 4pos 10652 . . . 4  |-  0  <  4
9190a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  4 )
92 lemul2 10416 . . 3  |-  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 )  <_ 
( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  <->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
9388, 82, 89, 91, 92syl112anc 1232 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  <->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
9487, 93mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   2c2 10606   4c4 10608   ^cexp 12169   sum_csu 13520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ico 11560  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521
This theorem is referenced by:  trirn  21953
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