Theorem csboprgOLD 4911

Description: Move class substitution in and out of an operation.

Assertion

Ref	Expression
csboprgOLD	|- (A e. D -> [_A / x]_(BFC) = ([_A / x]_B[_A / x]_F[_A / x]_C))

Proof of Theorem csboprgOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1317	. . . 4 |- (A e. D -> A.y A e. D)
2		ax-17 1317	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
3	2	hbcsb1g 2567	. . . 4 |- (A e. D -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_B -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_B))
4	2	hbcsb1g 2567	. . . 4 |- (A e. D -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_F -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_F))
5	2	hbcsb1g 2567	. . . 4 |- (A e. D -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_C -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_C))
6	1, 3, 4, 5	hboprd 4905	. . 3 |- (A e. D -> (z e. ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C) -> A.y z e. ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C)))
7		a9e 1483	. . . . . 6 |- E.x x = y
8		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
9		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (z e. y -> A.x z e. y)
10	8, 9	hbcsb1 2568	. . . . . . . 8 |- (z e. [_y / x]_(BFC) -> A.x z e. [_y / x]_(BFC))
11	8, 9	hbcsb1 2568	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_B -> A.x z e. [_y / x]_B)
12	8, 9	hbcsb1 2568	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_F -> A.x z e. [_y / x]_F)
13	8, 9	hbcsb1 2568	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_C -> A.x z e. [_y / x]_C)
14	11, 12, 13	hbopr 4904	. . . . . . . 8 |- (z e. ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C) -> A.x z e. ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
15	10, 14	hbeq 1995	. . . . . . 7 |- ([_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C) -> A.x[_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
16		csbeq1a 2546	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> B = [_y / x]_B)
17		csbeq1a 2546	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> C = [_y / x]_C)
18	16, 17	opreq12d 4900	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (BFC) = ([_y / x]_BF[_y / x]_C))
19		csbeq1a 2546	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (BFC) = [_y / x]_(BFC))
20		csbeq1a 2546	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> F = [_y / x]_F)
21	20	opreqd 4899	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ([_y / x]_BF[_y / x]_C) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
22	18, 19, 21	3eqtr3d 1934	. . . . . . 7 |- (x = y -> [_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
23	15, 22	19.23ai 1412	. . . . . 6 |- (E.x x = y -> [_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
24	7, 23	ax-mp 7	. . . . 5 |- [_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C)
25	24	a1i 8	. . . 4 |- (y = A -> [_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
26		csbeq1a 2546	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_B = [_A / y]_[_y / x]_B)
27		csbeq1a 2546	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_C = [_A / y]_[_y / x]_C)
28	26, 27	opreq12d 4900	. . . 4 |- (y = A -> ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C) = ([_A / y]_[_y / x]_B[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C))
29		csbeq1a 2546	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_F = [_A / y]_[_y / x]_F)
30	29	opreqd 4899	. . . 4 |- (y = A -> ([_A / y]_[_y / x]_B[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C) = ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C))
31	25, 28, 30	3eqtrd 1929	. . 3 |- (y = A -> [_y / x]_(BFC) = ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C))
32	6, 31	csbiegf 2575	. 2 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_(BFC) = ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C))
33		csbcog 2547	. 2 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_(BFC) = [_A / x]_(BFC))
34		csbcog 2547	. . . 4 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_B = [_A / x]_B)
35		csbcog 2547	. . . 4 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_C = [_A / x]_C)
36	34, 35	opreq12d 4900	. . 3 |- (A e. D -> ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C) = ([_A / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / x]_C))
37		csbcog 2547	. . . 4 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_F = [_A / x]_F)
38	37	opreqd 4899	. . 3 |- (A e. D -> ([_A / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / x]_C) = ([_A / x]_B[_A / x]_F[_A / x]_C))
39	36, 38	eqtrd 1925	. 2 |- (A e. D -> ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C) = ([_A / x]_B[_A / x]_F[_A / x]_C))
40	32, 33, 39	3eqtr3d 1934	1 |- (A e. D -> [_A / x]_(BFC) = ([_A / x]_B[_A / x]_F[_A / x]_C))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  [_csb 2540  (class class class)co 4884

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-opr 4886

Copyright terms: Public domain