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Theorem csbingVD 37139
Description: Virtual deduction proof of csbingOLD 37073. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. csbingOLD 37073 is csbingVD 37139 without virtual deductions and was automatically derived from csbingVD 37139.
1::  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2::  |-  ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  }
20:2:  |-  A. x ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }
30:1,20:  |-  (. A  e.  B  ->.  [. A  /  x ]. ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
3:1,30:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
4:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
5:3,4:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
6:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ).
7:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ).
8:6,7:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D )  ) ).
9:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) ) ).
10:9,8:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
11:10:  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
12:11:  |-  (. A  e.  B  ->.  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ).
13:5,12:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ).
14::  |-  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  =  {  y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }
15:13,14:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) ).
qed:15:  |-  ( A  e.  B  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  (  [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) )
(Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
csbingVD  |-  ( A  e.  B  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) )

Proof of Theorem csbingVD
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 36800 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2 df-in 3443 . . . . . . . 8  |-  ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }
32ax-gen 1665 . . . . . . 7  |-  A. x
( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }
4 spsbc 3312 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  [. A  /  x ]. ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) } ) )
51, 3, 4e10 36929 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  [. A  /  x ]. ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
6 sbceqg 3801 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  <->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ) )
76biimpd 210 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) } ) )
81, 5, 7e11 36923 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
9 csbabgOLD 37069 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) } )
101, 9e1a 36862 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) } ).
11 eqeq1 2426 . . . . . 6  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  = 
[_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) } 
<-> 
[_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) } ) )
1211biimprd 226 . . . . 5  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  = 
[_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ) )
138, 10, 12e11 36923 . . . 4  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
14 sbcangOLD 36745 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
)  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) ) )
151, 14e1a 36862 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) ) ).
16 sbcel2gOLD 36761 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )
171, 16e1a 36862 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
) ).
18 sbcel2gOLD 36761 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )
191, 18e1a 36862 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D
) ).
20 pm4.38 880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C )  /\  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) )
2120ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( (
[. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D
)  <->  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2217, 19, 21e11 36923 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
23 bibi1 328 . . . . . . . 8  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
)  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  <->  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D
)  <->  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2423biimprd 226 . . . . . . 7  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
)  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) )  -> 
( ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
)  <->  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2515, 22, 24e11 36923 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
2625gen11 36851 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
27 abbi 2553 . . . . . 6  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  <->  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) }  =  {
y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } )
2827biimpi 197 . . . . 5  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  ->  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } )
2926, 28e1a 36862 . . . 4  |-  (. A  e.  B  ->.  { y  | 
[. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) }  =  {
y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ).
30 eqeq1 2426 . . . . 5  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  <->  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ) )
3130biimprd 226 . . . 4  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  ( { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ) )
3213, 29, 31e11 36923 . . 3  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ).
33 df-in 3443 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  =  {
y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }
34 eqeq2 2437 . . . 4  |-  ( (
[_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  <->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ) )
3534biimprcd 228 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  ->  ( ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  =  {
y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) ) )
3632, 33, 35e10 36929 . 2  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) ).
3736in1 36797 1  |-  ( A  e.  B  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1868   {cab 2407   [.wsbc 3299   [_csb 3395    i^i cin 3435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-in 3443  df-vd1 36796
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