Theorem csbima12g 4276

Description: Move class substitution in and out of the image of a function. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
csbima12g	|- (A e. C -> [_A / x]_(F"B) = ([_A / x]_F"[_A / x]_B))

Proof of Theorem csbima12g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1317	. . . 4 |- (A e. C -> A.y A e. C)
2		ax-17 1317	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
3	2	hbcsb1g 2567	. . . 4 |- (A e. C -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_F -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_F))
4	2	hbcsb1g 2567	. . . 4 |- (A e. C -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_B -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_B))
5	1, 3, 4	hbimad 4275	. . 3 |- (A e. C -> (z e. ([_A / y]_[_y / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B) -> A.y z e. ([_A / y]_[_y / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B)))
6		a9e 1483	. . . . . 6 |- E.x x = y
7		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
8		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (z e. y -> A.x z e. y)
9	7, 8	hbcsb1 2568	. . . . . . . 8 |- (z e. [_y / x]_(F"B) -> A.x z e. [_y / x]_(F"B))
10	7, 8	hbcsb1 2568	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_F -> A.x z e. [_y / x]_F)
11	7, 8	hbcsb1 2568	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_B -> A.x z e. [_y / x]_B)
12	10, 11	hbima 4273	. . . . . . . 8 |- (z e. ([_y / x]_F"[_y / x]_B) -> A.x z e. ([_y / x]_F"[_y / x]_B))
13	9, 12	hbeq 1995	. . . . . . 7 |- ([_y / x]_(F"B) = ([_y / x]_F"[_y / x]_B) -> A.x[_y / x]_(F"B) = ([_y / x]_F"[_y / x]_B))
14		csbeq1a 2546	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> F = [_y / x]_F)
15	14	imaeq1d 4263	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (F"B) = ([_y / x]_F"B))
16		csbeq1a 2546	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (F"B) = [_y / x]_(F"B))
17		csbeq1a 2546	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> B = [_y / x]_B)
18	17	imaeq2d 4264	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ([_y / x]_F"B) = ([_y / x]_F"[_y / x]_B))
19	15, 16, 18	3eqtr3d 1934	. . . . . . 7 |- (x = y -> [_y / x]_(F"B) = ([_y / x]_F"[_y / x]_B))
20	13, 19	19.23ai 1412	. . . . . 6 |- (E.x x = y -> [_y / x]_(F"B) = ([_y / x]_F"[_y / x]_B))
21	6, 20	ax-mp 7	. . . . 5 |- [_y / x]_(F"B) = ([_y / x]_F"[_y / x]_B)
22	21	a1i 8	. . . 4 |- (y = A -> [_y / x]_(F"B) = ([_y / x]_F"[_y / x]_B))
23		csbeq1a 2546	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_F = [_A / y]_[_y / x]_F)
24	23	imaeq1d 4263	. . . 4 |- (y = A -> ([_y / x]_F"[_y / x]_B) = ([_A / y]_[_y / x]_F"[_y / x]_B))
25		csbeq1a 2546	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_B = [_A / y]_[_y / x]_B)
26	25	imaeq2d 4264	. . . 4 |- (y = A -> ([_A / y]_[_y / x]_F"[_y / x]_B) = ([_A / y]_[_y / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B))
27	22, 24, 26	3eqtrd 1929	. . 3 |- (y = A -> [_y / x]_(F"B) = ([_A / y]_[_y / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B))
28	5, 27	csbiegf 2575	. 2 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_(F"B) = ([_A / y]_[_y / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B))
29		csbcog 2547	. 2 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_(F"B) = [_A / x]_(F"B))
30		csbcog 2547	. . . 4 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_F = [_A / x]_F)
31	30	imaeq1d 4263	. . 3 |- (A e. C -> ([_A / y]_[_y / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B) = ([_A / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B))
32		csbcog 2547	. . . 4 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_B = [_A / x]_B)
33	32	imaeq2d 4264	. . 3 |- (A e. C -> ([_A / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B) = ([_A / x]_F"[_A / x]_B))
34	31, 33	eqtrd 1925	. 2 |- (A e. C -> ([_A / y]_[_y / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B) = ([_A / x]_F"[_A / x]_B))
35	28, 29, 34	3eqtr3d 1934	1 |- (A e. C -> [_A / x]_(F"B) = ([_A / x]_F"[_A / x]_B))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  [_csb 2540  "cima 3989

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007

Copyright terms: Public domain